<p class="ql-block">以创建学习型社会为契机 建议在中小学校推广普及</p><p class="ql-block"> </p><p class="ql-block">张一701</p><p class="ql-block">2021-06-20 · 数理研究所工程师、所长</p><p class="ql-block">可充实强化拓展“中国剩余定理”原始创新“剩余倍分法”</p><p class="ql-block">2010年2月17日，山西省数学会，山西省工业与应用数学会联合举办了以“山西省数学研究现状及未来发展”为主题的学术茶座会。</p><p class="ql-block">山西省科协主席侯晋川说，众所周知，数学在山西仍是相对弱势的学科，造成这种现状的原因很多，其中政策环境、科技评价体系对数学的负面影响导致从事数学研究的人不能充分发挥才华，不能心情顺畅地工作，更重要的是学科逐渐失去对年轻人的吸引力。对此，他们要有危机感，要重视年轻人，注重“造血”功能。当前，存在一个社会问题，即社会对数学学科的态度和认识，数学普及除了课堂教学、趣味数学等外，其它知识的普及都很困难。</p><p class="ql-block">侯晋川指出，数学学科是重要的基础学科，与全民的科学素质息息相关。虽然每个人在学校都上过很多年数学课程，但大部分人认为学数学是浪费时间，数学无用，造成数学远离社会，人们敬而远之。大部分学生数学兴趣不浓，学习仅是为了应付考试。这种情形必须改变，否则我国公民的数学素养不能满足公民科学素质的要求。现在是数字化时代，公民必须具备足够的数学素质。为什么从小学到研究生阶段都一直开设数学课？其中的道理值得全社会好好深思。在座的都是数学造诣较高的数学工作者和教育者，我们应尽量发挥作用，以令人信服的道理，影响周围的人。</p><p class="ql-block">一 孙子定理与剩余倍分法</p><p class="ql-block">人类进步史已雄辩地证明，科学技术是人类进步和社会发展的巨大历史动力。而科学普及作为科学技术通向人类社会的桥梁，则是人类历史永恒的主题。由于近代计算机科学和应用数学科学的发展，《初等数论》相关理论，如“孙子定理”，（国际上称“中国剩余定理”）理论在现代数字化科学技术很多方面得到了广泛的实际应用。</p><p class="ql-block">“孙子定理、（公元纪年前后）大衍求一术（公元1247年）”堪称数学史上明垂百世的成就，是我国在全世界影响较大的数学成果，其数学思想一直启发和指引着历代数学家们。可以说世界上每一本《初等数论》和《数论基础》都引入“孙子定理”的理论。在我国以往介绍、研究这方面的专家学者，从乾隆中期形成高潮，清代有代表性学者张敦仁、骆腾凤、时日醇、黄宗宪等等，在这方面做出了贡献，尤其是黄宗宪改进的算法《求一术通解》最为简单快捷。</p><p class="ql-block">在西方直到欧拉、拉格朗日、高斯三代数学家才对此问题进行过研究，高斯的方法与秦九韶的“大衍求一术”基本相同，可那已是19世纪了。1957年由德国玛赫勒发表的“中国剩余定理”文章，奠定了首次用中国来命名的这一伟大成果。</p><p class="ql-block">民国初期有代表性的学者李俨、钱宝琮等开创古代数学史近代研究的先河。现代学者吴文俊、白尚恕、李迪、沈康身、李继闵、郭书春、何绍更、李文林、袁向东、万哲先等许多人用各种方法研究“孙子定理、大衍求一术”，在著书立论解释这一成就。吴文俊认为“大衍求一术”它体现了中国古代数学构造性与机械化两大特色，很符合现代计算机的时代要求。然而先哲们的研究时至今日也未能把“孙子定理、大衍求一术”有突破性进展，简化普及。其主要原因是，先哲们的研究忽略了对同余式“模”之间存在相互关联关系的探索，由此造成人们从认知到理论的重点偏移至求定数</p><p class="ql-block">的解数。“剩余倍分式”充分考虑先哲们研究方法的不足进行了补偏救弊，将同余式中</p><p class="ql-block">两个量放在同等对称地位考量，发现其模之间存在的是相互对称关系，从而将</p><p class="ql-block">两个量统一起来进行计算求解倍数、反倍数，乘数、反乘数，来阐述它们之间存在规律（性质与概念）和一般表达式。这就是以上数学家力图推广“孙子定理”而又推不开的原因。从而使我国古代先哲遗留的宝贵遗产“孙子定理，大衍求一术”得不到有效普及，在一千多年的历史长河中，在民间只作为猜谜的形式出现，从而导致古代先哲的数学思想没能尽早进入中小学教科书进行普及。</p><p class="ql-block">中国科学院应用数学研究所冯贝叶研究员在讨论“剩余倍分法”时说：其问题的关键存在着“以往研究‘孙子物不知数’和后来的同余式</p><p class="ql-block">ax≡1(modm)时，是把a与m放在不对称的地位，所以尽管研究发表文章很多，却是没有较大突破，现在‘剩余倍分法’所提出的相对乘数fa,b,fb,a的新概念，则将afa,b＋bfba±1=ab上述同余式中的两个量放在同等对称地位去考虑问题，并由此发现了相对乘数fa,b,fb,a之间是一相互对称关系，在此基础上，又给出了计算乘数（大衍求一术称用数）、反乘数、倍数（乘率）、反倍数的一种新算法。</p><p class="ql-block">这种方法在计算量上与传统的辗转相除法本质上相同或稍少，但是可以同时得到一对‘相对乘数，相对乘率’，所获得的信息量也多一些。此外，这种算法在直观上每一步的意义比较清楚，而辗转相除法在返回运算时，中间所出现的p1,p2…则指是一些中间量，没有明显的算术意义</p><p class="ql-block">，该方法在观点和方法上有一定新意”。因为基础数学理论“剩余倍分法”开始研究时没有受到已成定型的“孙子定理”、高斯同余理论的约束，从考虑的角度和研究的方法都比较简单有效具有科学合理性，所以突破千百年来“孙子定理”未能简化的难题，为“孙子定理”在中小学普及铺平了道路。</p><p class="ql-block">二 数学</p><p class="ql-block">基础理论“剩余倍分法”算法及其原理与特点</p><p class="ql-block">冯贝叶研究员说：</p><p class="ql-block">“1在应用孙子定理时，按照通常的办法，是先做辗转相除法，再往回逐次算出寄数；这样最后得出的答案，既可能是乘数，也可能是反乘数；而此法是往回逐次算出乘数，最后的答案一定就是乘数。</p><p class="ql-block">2.该方法中间计算过程每一步都有明显的与问题相关的含义，而不是仅作为一个中间数据出现。</p><p class="ql-block">3.这种方法可以把求乘数和反乘数，倍数和反倍数统一起来计算，一次完成。</p><p class="ql-block">4.这一方法的每一步都有一个自我验算的步骤，可以同步即时纠错”。</p><p class="ql-block">数学是一门基础科学，是描述大自然与社会的基础语言，是科学与技术发展的基础科学，也是推动科学技术澎湃发展不可缺少的重要的动力。以往人们只看到科学技术发展的种种现象，享受科学技术进步带来的各种成果，而忽略了其背后支撑这些发展与成果的数学科学。在不少人的心目中，数学只是研究古老难题的学科，数学只是为了应付考试才要学一门学科。美国前总统的一位科学顾问说过，“很少有人认识到，当今社会被广泛称颂的高科技，其本质上就是数学技术的发展”。“剩余倍分法”的最主要特点就是适应当代计算机科学发展和基础数学发展和应用。</p><p class="ql-block">山西财经大学教授宋建华指出：今天，不可以数字化的都在数字化，山西数学界最终要靠自己的力量解决学科问题。其中，局部的学术交流一定要坚持，要长期不懈地讨论，从量变到质变，逐渐会出现无形的变化，学科建设也会取得进步。这种学术交流方式要争取普及开。</p><p class="ql-block">三 关于基础数学“剩余倍分法”的由来：</p><p class="ql-block">1980年左右，山西省长子县大堡头镇老马沟村的张春荣老先生（现年68岁），无意中得到了一本少年儿童出版社1979出版《有趣的数学》，书中有一道“物不知数”的中国古题，因为发现古题的答案解答有误，故张先生给少年出版社去信提出问题所在，然而发出的信确没有回音，从此张先生开始了长达三十年的研究，2000年左右张先生带上自己研究的问题三上北京，无数次的到省城各大院校寻求论证无功而返，当时张先生自己也说不清楚搞的是什么东西（不知是那位教授给起名为“多除数除法”），就在张先生灰心快要放弃的时候，张先生遇到了当时任长治市华康木糖有限公司糠醛厂厂长的张景刚，2007年张景刚通过半年的认真分析研究并在网上检索，终于弄清张先生研究的问题就是我国古代先哲宝贵遗产“孙子定理”。且是张先生在没有任何参考资料，没有受到以往已成定型的“孙子定理、大衍求一术、高斯的同余理论”的影响，是张先生独立闭门创造得出的东西，张景刚觉得老先生的研究很有创造性，为什么哪么多专家教授就没能认识呢？为此张景刚辞去厂长职位，专心致志的重新开始研究完善张先生研究的问题，因为他们两个农民没有多少数学知识，研究起来困难就可想而知，为了彻底搞清同余理论和“大衍求一术”，张景刚只有住进省城查阅各大图书馆有关资料和已发表的有关文献报道，并请教专家学者，经过两年多的时间，2008年10月，他们白话版的“原创剩余倍分法重解中国剩余定理”的论文在 山西省《数学爱好者》杂志上发表http://qk.Jianghan-edu.gov.cn/jyqk/DetailQikan.aspx?pykm=SXAG&nian=2008&qi=12，文章虽然发表但是并没有引起社会和学界重视，其关键原因在于他们不会用现代数学语言、数学公式表达，且不能与现行数学理论、数学教育理论接轨，从而形成好像他们的文章很神秘，使人费解的假象，所以引不起人们重视。随后张景刚通过认真刻苦学习数学和《初等数论》理论，2009年11月26在国家教育部举办的中国科技论文在线，发表了他们的论文“剩余倍分法之两两互素求相对乘数的新方法”http://www.paper.edu.cn/index.php/default/releasepaper/content/37045。其同行专家评议：对一个未知联立同余式组，通常求解用“孙子定理”，国际上称“中国剩余定理”。是《初等数论》教材里介绍的主要方法，已成为解决此类问题时的重要模式，但“孙子定理”求解同余式组并不完善，且解法惟一。本文作者发现了剩余倍分法[1]“倍分式”应用简单的移位法和四则运算，把a,b 两两互素求乘数、反乘数、倍数（乘率）、反倍数统一起来进行，虽然计算量偏大，但它每一步都有自我检验，且有同步纠错功能。同时,可以借助计算机来完成，它也是充实和强化“孙子定理”的新方法，是“剩余倍分法”的核心计算工具。我相信，本文的方法不仅在数论，而且在其它数学学科，如：计算机算法、组合数学等方面会得到应用。同时把该论文评为五星级精品论文。2010年4月18中国科技论文在线再次发表他们的论文：剩余倍分法之两两互素求相对乘数的新方法（续）http://www.paper.edu.cn/index.php/default/releasepaper/content/42044。。</p><p class="ql-block">2010年3月3日他们把剩余倍分法论文投稿于在太原召开(ICCASM 2010)计算机应用与系统建模国际会议。</p><p class="ql-block">中北大学的专家审查他们的论文后回复如下：(尹志喜 博士3月5日iccasm@nuc.edu.cn ) 经专家评阅后，一致认为：该文章很有创新性，但是不符合会议的主题内容，请选择数学专业比较强的期刊或会议发表。</p><p class="ql-block">四 普及应用经过充实强化拓展“孙子定理”及基础数学“剩余倍分法”：</p><p class="ql-block">中国数学科学与教育发展论坛 2006.6.30-7.2 中国 杭州年会会词：</p><p class="ql-block">“中国的数学有着辉煌的历史，《九章算术》，“中国剩余定理”等成果都在人类科学史上留下了不可磨灭的贡献。中华民族的聪明才智毋庸置疑，中国总有一天会重新崛起成为世界数学强国。为了这一目标，他们需要让公众和年轻人对数学有更多的认识，让数学的真与美更加深入人心。已有的数学理论不是被新的理论所推翻或否定，而是不断的得到充实和强化，迸发出新的生命力，所以在历史的大背景下看待数学就显得尤为重要。相信这可以让公众更好的体会到数学的美妙与功用，必将对推动中国数学的普及与发展产生深远的影响”。</p><p class="ql-block">针对社会上的“数学无用”论，太原科技大学教授王希云讲到，数学的功劳不可替代，数学教学的目的是培养一种思维、理解的能力，其中数学的逻辑教育更是发挥了很大的作用，是无形的作用，一种简洁的美，能看到问题的本质，所以数学教师讲课时应提到背景；说数学没用，是没学懂数学。</p><p class="ql-block">就我国现行基础教育直言，很大程度存在着应试教育模式，也就是考什么教什么，不考试就不授课的怪圈，所以就出现了再好的科普著作及新方法，在基础教育推广普及上存在障碍。也就是我国的科普教育比较落后。所以他们研究的新方法在推广普及上也同样存在困难，还有很大程度存在以往“孙子定理”没有彻底突破，以至于“孙子定理”在以往几百上千年历史长河中，仅仅作为数学游戏有零星出现。</p><p class="ql-block">中北大学理学院院长靳祯谈到：在山西，数学学科的地位越来越边缘化，服务经济的政策导向是一个原因，偏重基础的研究方向也需认真反思；数学学科未做大……</p><p class="ql-block">当我国真正建立起“学习型社会”时，就会为社会发展提供源源不断的人才资源。我们伟大祖国在党的科学发展观的指引下，未来会更加繁荣富强。</p><p class="ql-block">Zhangyi003 2010.03</p>