2024年上海中考数学试卷和对部分考题的解析

稳心颗粒

满分

平行四边形

抛物线

分第问

四边形

解析

本大题

向量

联结

交于

上海市四平中学尹永林

2024年上海中考数学试卷点评

　　今年2024年的上海中考数学试卷，结构基本稳定，它重视考查初中数学基础知识、基本技能及基本数学思想方法，突出通性通法，融合运算与推理，体现过程与结果的并重；它凸显对数学思维的考查，关注考生对数学本质的理解，引导考生从数学本质出发思考和解决问题；它着眼数学核心素养，注重通过探索性、情境性和实践性问题考查考生解决问题的能力；它重视数学应用，将生活中的实际问题转化为数学问题，体现数学学科在现实生活中的工具价值；它要求考生在解决与几何有关的问题上，不仅要具备逻辑推理、‌语言转换、‌空间想象能力之外，‌还要求考生具有创造性思维能力。试卷总难度比2023年略高，主要反映在选择题第5题特殊四边形的判断和第6题两圆位置关系的判断上，都需要学生自己画图，填充题第17题图形的翻折也需要学生自己画图和分类讨论，第18题的新定义有学生看不懂题意，一道简单的阅读理解题就这样丢了全部分。特别是解答题22题是一道图形的组合题，也是一道实践操作题，很多年没有考过，失分率也较高，并由此影响了考生在后面的发挥。压轴题层次更清晰，立意更新颖，平时只靠刷题是得不了高分的。

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置】

1.已知x>y，则下列判断正确的是( )

A.x+5<y+5; B.x-5<y-5;

C.5x>5y; D.-5x>-5y.

2.下列方程中的有两个相等实根的是( )

A.x²-6x=0; B.x²-9=0;

C. x²-6x+6=0; D.x²-6x+9=0.

3.函数f(x)=(2-x)/(x-3)的定义域( )

A.x<2; B.x≠2; C.x>3; D.x≠3.

4．已知某个人要种植，且种子有四种类别：甲、乙、丙、丁、对于每一种种子，发芽天数与稳定性（标准差）如下所示，在同时考量稳定性与种了能快速发芽的情况下，他应该选择.( )

甲：发芽天数是2.3，标准差1.05；

乙：发芽天数是2.3，标准差0.78；

丙：发芽天数是3.1，标准差1.05；

丁：发芽天数是2.8，标准差0.78

A.甲； B.乙; C.丙； D.丁

5.在矩形ABCD中，过点A、C作BD的垂线，过点B、D作AC的垂线，如果这四条垂线可以围成一个四边形，那么这个四边形是( )

A．菱形； B．矩形；

C．等腰梯形； D．直角梯形

特殊四边形

5.解析：此题考核了特殊四边形的判定。

由题意得如图所示,

∵ MA⊥BD, CN⊥BD，∴ME∥NF，

同理MF∥NE，∴平行四边形MENF；

可证MA=MB， EA=FB，∴NE=MF，

平行四边形MENF是菱形，选A.

6．在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，且⊙A半径为1，⊙B半径为2，⊙A与半径为3的⊙P内切，如果点P在△ABC内部，那么⊙P与⊙B的位置关系为( )

A. 内切；B. 相交；C. 外切；D. 外离．

两圆位置关系

6.解析：此题考核了两圆位置关系和点的极限位置。

∵AB=5，AC=3，BC=4，∴∠C=90°，

⊙A的半径r₁=1，⊙P的半径R=3,

∵⊙P与⊙A内切，∴AP=3-1=2，

∴BP极小=5-2=3，BP极大√(4²-1)=√17,

即3<BP<17，

∵⊙B的半径r₂=2，∴R+r₂=5，R-r₂=1,

∴R-r₂<BP<R+r₂

∴⊙P与⊙B的位置关系为相交，选B.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

【考生应在答题纸的相应位置直接填写结果】

7.计算：(4x²)³=＿_＿_。

8.计算：(b+a)(b-a)=＿＿__。

9.解方程：√(2x-1)=1的结果为＿＿__。10.我国研发了超级光盘它的储存量是2x10⁵GB，普通光盘的存储量是25GB，那么超级光盘的存储量是普通光盘存储量的＿_＿_倍（用科学记数法表示）

11.已知正比例函数y -kx过（7,-13)，则y随x增大而＿_＿_（填入增大或减小）

12.四边形ABCD为菱形，∠ABC=66°，则∠BAC=＿_＿_。

13.袋子里有若干白球和绿球，球除了颜色不同其他完全相同，小明从袋中随机摸出一个球，要使摸出3绿球的概率为3/5，则最少要在袋中放＿_＿_个绿球。

14.某家公司研发产品后销售，销售时投放了广告, 设广告投入为x(0≤x≤100）万元，销售额为y 万元，且y关于x的关系恰好符合一次函数，当广告投入10万元时，销售额为1000万元；当广告投入90万时，销售额为5000万元，则当广告投入为80万时，销售额为＿_＿_万元。

15.如图，在平行四边形 ABCD中, 点 E在边BC上, 且向量AE=2向量CE, 联结DE,若向量AC=向量a, 向量DE=向量b，则用向量a与向量b表示向量BC的结果为＿_＿＿＿。

16.有两万人前往博物馆参观，在调查问卷访问后的1000个人当中，发现其中700个人不需要讲解，300个要且不定项的讲解（每个人可以重复选择）。讲解提供的方式如图所示，则在这两万人当中，需要AR的人数为＿_＿_。

17.在平行四边形ABCD中，将点C,D沿直线l翻折，点C、D对应的点C'、D'均在对直线 AB上，如果 AC'：AB：BC=1:3:7，那么∠ABC的余弦值为＿_＿_。

翻折问题

17.解析：考核了图形翻折和分类讨论。

∵C'D'与AB共线，

∴折线是平形四边形的中位线．

1°当C'在AB上时，

cos∠ABC=C'B/CB=2/7；

2°当C'在BA的延长线上时，

cos∠ABC=C'B/CB=4/7；

答案：2/7或4/7

18.在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线y=a(x-m)²+k（其中a、m、 k均为常数，且a≠0) 上的点 P(x',y')，当x'-m=y'-k≠0时，如果用2|x'-m|的值表示这条抛物线的开口大小，那么抛物线y=-x²/2+x/3+3的开口大小是＿_＿_。

新定义问题

18.解析：考核了阅读理解以及二次函数图像。

∵ y=-(x-1/3)²/2+55/18，

∴P'(x', -(x'-1/3)²/2+55/18)

∵x'-m=y'-k≠0，

∴(x'-1/3)=-(x'-1/3)²/2 ,且x'-1/3≠0，

∴x'-1/3=-2，∴2|x'-1/3|=4

答案：4

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19.（本大题满分10分）

计算：

|1-√3|+24的1/2幂+1/(2+√3)-(1+√3)⁰

20.（本大题满分10分）

解方程组：x²-3xy-4y²=0且x+2y=6

21.（本大题满分10分，第（1）问满分4分，第（2）问满分6分）

已知反比例函数y=k/x经过点A(-3,m)，与直线y= -2x+4交于点 B(3,n).

(1) 求m、k 的值；

(2）若直线y=-2x+4上有一点C，且AC//x轴，联结OC，求∠OCA的正弦值

22.（本大题满分10分，第（1）问满分6分，其中①问2分，②问4分，第（2）问满分4分）

在一场同学的设计活动当中，给定了两套三角尺（每一组包含30°与45°的两个直角三角形，且两个三角形斜边上的高相等），他们用两组三角板拼成了一个大平行四边形，且中间包含了一个小平行四边形，设三角板斜边上的高均为h.

（1）如图(1)所示为一种平行四边形的拼法．①用h表示两种三角形的直角边，

②求出中间小平行四边形的面积；

(2）利用这两套三角板拼接成一个与图(1)不同的平行四边形，并画出三角形的直角边．

实践应用题

22．解析：此题考核解直角三角形、平行四边形和空间想象能力。

(1）据题意：

等腰直角三角形边长：√2h；

30度的直角三角形边长分别为2h,2√3h/3,

易证图中小四边形为矩形，长和宽分别为

√2h-2√3h/3和2h-√2h，

∴它的面积=(√2h-2√3h/3)(2h-√2h)

=(2√2-2-4√3/3+2√6/3)h²

(2）如下图：拼接一种即可，

23.（本大题满分12分，第（1）问满分5分，第（2）问满分7分）

如图所示，在矩形 ABCD中，点E在边CD上，联结 AE,BD，且 AE⊥BD，点F在边AE 延长线上，联结CF.

(1）求证：AD²=DE×DC;

(2）若EF=FC=BD/2，求证：CE=AD.

几何证明题

23. 解析：考核相似三角形与全等三角形。

证明：

(1）∵矩形ABCD，∴AB=CD且

∠EDA=∠DAB=90°=∠EDB+∠BDA，

∵AE⊥AB，∴∠AED+∠EDB=90°，

∴∠AED=∠BDA，又∠EDA=∠DAB，

∴△EDA~△DAB，∴AD/AB=DE/AD，

∴AD²=AB×DE, ∵AB=CD，

∴AD²=DE×DC

(2）联结AC交BD于点O,

∵矩形ABCD，∴OA=DO=BD/2,

∵EF=FC=BD/2，∴DO=OA=EF=CF，

∴∠FEC=∠FCE，∠ODA=∠OAD，

∵∠FEC=∠AED=∠BDA，

∴∠ECF=∠OAD=∠FCE=∠OAD，

又∵EF=OD，∴△FEC≌△ODA(AAS)，

∴CE=AD.

24.（本大题满分 12分，第（1）问满分3分，第（2）问满分8分，其中①问4分、②问5分）

在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x²/3平移，使得新抛物线经过A(0,-5/3)、B(5,0).

(1）求新抛物线的解析式：

(2）若直线x=m(m>0）与新抛物线交于点 P，与原抛物线交于点Q.

①当线段PQ<3时，求m的取值范围；

②设点P平移前的对应点是P'，若四边形 P'BPQ 中存在一组对边平行，求点P的坐标．

函数综合题

24. 解析：考点：二次函数图像的平移以及存在性问题等。

解：(1)设抛物线：y=x²/3+bx-5/3，

∵它过B(5, 0)，∴b=-4/3，

∴所求的抛物线为y=x²/3-4x/3-5/3.

(2)①由题意P(m，m²/3-4m/3-5/3)，

Q(m，m²/3)，(m>0)，

∵PQ<3 ，∴m²/3-4m/3-5/3-m²/3<3,

∴m<1, ∴0<m<1.

②∵y=x²/3-4x/3-5/3=(x-2)²/3-3，

∴它是由y=x²/3向右平移2个单位，向下平移了3个单位到的，根据点的平移的相对性，可得∴P'(m-2,(m-2)²/3)，

由P'BPQ是四边形，可知P在点B左侧，

∴m>5，

1°当P'B//PQ时，m-2=5，∴m=7，

∴P(7, 16/3)；

2°当P'Q//PB时，

∴BP的斜率(k₁)=P'Q的斜率(k₂)，∵m>5，

∴k₁=(m²/3-4m/3-5/3)/(m-5)

=(m-5)(m+1)/3/(m-5)=(m+1)/3，

k₂=(m²/3-4m/3+4/3-m²/3)/(m-2-m)

=2(m-1)/3，

∴(m+1)/3=2(m-1)/3，∴m=3(舍去)，

综上所述：P(7, 16/3).

25.（本大题满分14分，第（1）问满分 4，第（2）问满分10分，其中 ①、②问满分各5分）

在梯形ABCD中，AD//BC，点E在边AB上，且AE=AB/3.

(1）如图（1）所示，点 F在边CD上，且DF=CD/3，联结 EF，求证：EF//BC;

(2）①已知AD=AE=1，联结DE，若△ADE的外接圆圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE外接圆半径；

③如图（3）所示，若点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于点N, 如果BC=4，且CD²=DN×DM,∠DMC=∠CEM，求边CD的长．

几何综合题

25. 解析：考核平移型、母子三角形，解三角形、圆的有关性质等

(1）

方法一：

联结 AF并延长交BC的延长线于点H，

∵AD∥BH，∴ AF/AH=DF/DC=1/3，

∵AE/AB=1/3，∴AE/AB=AF/AH，

∴EF//BC.

方法二：

延长BA、CD交于点S，

∵AD//BC，∴AS/AB=DS/DC,

∵AE=AB/3，DF=CD/3，

∴AS/AE=DS/DF,

∴AD//EF，∵AD//BC，∴EF//BC .

（2）

①设外接圆圆心为O，联结OA、OE、OD，AO交ED于点F，

∵AE=AD=1，OE=OA=OD，

∴AO⊥ED于F, EF=DF，

∴∠EAF=∠DAF=∠BAD/2，

∵AD//BC，∴∠BAD+∠ABC=180°,

∵∠ABO=∠OBC=∠ABC/2，

∴∠EAF+∠ABO=90°，

∴∠AOB=90°，又∵ED⊥AO

∴ED//BO，∴AF/AO=AB/AB=1/3,

设OA=3a，AF=a，则OF=2a,

∵OA⊥ED, ∵(3a)²-(2a)²=1²-a²，

∴a=√6/6，∴半径OE=√6/2.

②

作AJ//CD交BC于点J，

∵AD∥JC，∴AJ=DC，CJ=AD=1，

∴BJ=4-1=3，

∵CD²=DN×DM，∠NDC=∠CDM，

∴△NDC~△CDM，∴∠ECD=∠DMC，

∵∠DMC=∠CEM，∴∠CEM=∠ECD，

∴EM∥CD，∵AJ∥DC, ∴EM//AJ，

∴BE/AB=BM/BJ=EM/AJ=EM/DC=2/3,

∴BM=2，MJ=1, CD=3a，EM=2a，

∵EM∥ CD，

∴MN/DN=EM/CD=EN/NC=2/3,

设EN=2b, NC=3b, MN=2k，DN=3k,

解法一：

∵CD²=DN×DM，∴15k²=9a²,

∴k=(√15/5)a，∴DM=√15a，

在等腰△BEM中，cos∠BME=a/2，

∵EM∥CD, ∴∠DCM=∠BME,

∴cos∠MCD=a/2，

作 ME⊥CD于R, ∴CR=a，DR=2a，

∴在Rt△MRD中，MR=√11a，

∴在Rt△MCR中,(√11a)²+a²=2²，

∴a=√3/3，∴CD=3a=√3.

解法二：

由上可得DC=(3/2)EM, CN=3b, CE=5b,

∵∠NCM=∠MCE，∠NMC=∠MEC，

∴△NMC～△MEC，∴CN×CE=CM²=4，

∴15b²=4，∴b=2√15/15，

∴CE=5b=2√15/3，

在△BEC由余弦定理：

cosB=[2²+4²-(2√15/3)²]/(2×2×4)=5/6，

在△BEM 由余弦定理：

EM=√(2²+2²-2×2×2×5/6)=2√3/3，

∴CD=(3/2)EM=√3.

解法三：

延长BA、CD及于点S，∵EM∥SC，

∴∠S=∠BEM，∠BCS=∠BME，

∵BE=BM，∴∠BEM=∠BME，

∴∠S=∠BCS，

∵CD²=DN×DM，∴DN/CD=CD/DM，

∵∠NDC=∠CDM，∴∠NDC～∠CDM,

∴∠DNC=∠DCM=∠SCB,

∴∠S=∠SCB=∠DNC，

∴△NCD~△SCE，∴CN/SC=CD/CE，

∴CN×CE=SC×CD=4a×3a=12a²，

∵∠NCM=∠MCE, ∠NMC=∠MEC,

∴△NMC～△MEC，

∴CN×CE=CM²=4，∴12a²=4，

∴a=√3/3，∴CD=√3