5、2024河南中考几何压轴解析——“邻等对补四边形”

珍见儿

山东与河南临省，都是考试大省。2024年河南中考，压轴题，23题，也考了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”。此题是一道“新定义”题型，即给出一个学生没有学过的定义，让学生通过阅读去理解这个定义，并且根据这个新定义结合初中所学的知识去解决问题。重在考查学生对新知识的理解掌握并应用的能力。 我们先来看看题。 23. (10分)综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验。请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究。定义:至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形。(1)操作判断：用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有____ (填序号)。(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质。下面研究与对角线相关的性质。如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB = AD ，AC是它的一条对角线。①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC =m，DC =n，∠BCD = 2a，求AC的长(用含m，n，a的式子表示)。(3)拓展应用如图3，在Rt△ABC中，∠B=90° ，AB=3，BC =4，分别在边BC ，AC上取点M，N使四边形ABMN是邻等对补四边形。当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长。 这是新定义为背景的综合题。主要考查角平分线的性质、旋转、三角形全等(相似)、解直角三角形、勾股定理，锐角三角函数等知识。此题综合性强，难度大。 第一问 23. (10分)综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验。请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究。定义:至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形。(1)操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有____(填序号)。 第一问是对定义的直接考查，只要学生能够读明白概念，对照着概念里的要求去看四边形应该很容易找到正确答案:②④。很好的考察了学生的审题能力。 第二问 (2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质。下面研究与对角线相关的性质。如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB = AD ，AC是它的一条对角线。①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC =m，DC =n，∠BCD = 2a，求AC的长(用含m，n，a的式子表示)。 第(2)①题，学生通过观察可以猜测出两个角相等，但是要证明就需要利用三角形全等、角平分线的判定或者旋转加三角形全等的知识来解决，相对来讲还不是太难。 第(2)①，方法很多，下面一一道来。方法1:通过构造全等三角形证角相等 可以截长或补短证全等 延长CB至点E，使BE=DC，连接AE。 方法2：也可以直接旋转某边到某△，证三点共线。 方法3：双垂直法(向两边作垂线) 通过证角平分线得角相等过点A分别作BC，DC的垂线，(双垂线法）证明△ABF≌△ADE (AAS) ，从而得到AE=AF，利用“到角两边距离相等的点在角平分线上”得出AC是∠BCD的角平分线。 方法4：做辅助圆 方法3: A、B、C、D四点共圆，由弦相等得出所对的圆周角相等。 第(2)②题要运用到锐角三角函数的知识，就有一定的难度。 ②过点A作AF⊥EC,垂足为点F。 自己完成吧。 第三问 第(3)问要从四种不同的情况，紧扣定义来逐一分析，在求值上要用到的解锐角三角函数的知识和勾股定理知识以及它们的综合运用，对学生的数学素养的要求较高。难度相对较大。 (3)拓展应用如图3，在Rt△ABC中,∠B=90° ，AB=3，BC =4，分别在边BC ，AC上取点M，N使四边形ABMN是邻等对补四边形。当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长。 由一般到特殊，90°的对角互补模型哦！ 分情况讨论：