维度空间中相邻维度几何意义的探究

鉴贤

序言：

在几何学的学习过程中，我们不曾提及到点线面体这四个概念，这四个概念和空间中的维度是一一对应的：点是零维，线是一维，面是二维，体是三维，但对于更高维度的世界，过于深奥，以我的现有知识无法对其几何意义进行讨论，但或许在探究中会得出一些启发以解决这些高维度的问题。

首先，我们来思考一个问题（以下简称Q1）：三条不重合的直线可以确定几个平面呢？这个答案很简单，显然是三个或是一个。一个的结论无需再多解释，但在这之中，得出三个答案时，我们总是会把两条直线拿出来先确定一个平面，然后每两个都会成一个平面，则就会得出三条直线可以确定三个平面的结论。但是，倘若有一个问题是这样的（以下简称Q2）：三个不重合的点可以确定几个平面呢？那答案显而易见，就是一个。但是我们又再转念一想，倘若我们用Q1的思路去对这一个题目去进行探究——先取三点中的两个点，他可以确定无数个面，而两两配对结论就是无数个面了，这与我们之前的判断有极大地差别。但为什么在Q1中，我们可以在思考的过程中摒弃其中的一个点而去只考虑另外的两个点呢，而在这种思路下考虑出来的结论竟然不会与事实相违背。究竟是方法出了问题，还是数学几何世界的扭曲？我百思不得其解。

在不断地反思中，我发现或许可以从维度的角度去思考这个问题，在Q1中，直线和平面分别为一维和二维，只相差了一个维度；而在Q2中，点和平面分别为零维和二维，中间相差了两个维度。我认为，是因为维度的差距之变数，而造成了解决的方法之变数。然而事实真是如此吗，为此我做了一系列探究，但由于能力有限，只能对于点线面体，也就是零一二三这四个维度进行探究。所以，在点线面体的四维空间中，我分别对于两个相邻维度，三个相邻维度，和四个相邻维度这三个问题做出了一些探究。

正文：

问题一：两相邻维度之间的关系

在问题一中，我们以Q1为例子，对于点线面体的“三个不重合的n维物体可以确定几个（n+1）维物体呢？（满足：①n≥0；②当n≥1时，三个不重合的n维物体必须满足相交或平行）”这一问题进行深入地探究。

探究一：点线之间的关系

若我们有三个不重合的点，当三个点位于一条直线上时，则可以看做是只确定了一条直线（如图一）。但若这三个点散乱排布，则每取出两个点出来，就会有一条直线，而从三个中会出现C23 =3!/(3-2)!*2!=3种不同的情况，也就是可以确定三条直线（如图二）。所以“三个不重合的点可以确定几条直线”的答案是一条或三条。

图一

图二

探究二：线面之间的关系

同理，除了异面的情况下，即直线为相交或平行时，有三条不重合的直线，若三条直线都处一个相同的平面上，这可能出现多种情况（如图三、四，但还会有更多情况），则是三条线确定一个平面。而后若在同样的限定范围下，三条直线任意排布，无论是否有特殊的情况出现（例如，在三直线不共面的前提下，三直线交于一点（如图五）、两直线相互平行（如图六）），这样因为这两条直线在限定条件下不会出现异面，所以都总有两条直线确定一个平面，和探究一一样的道理，会有C23 =3!/(3-2)!*2!=3种不同的情况，所以可以确定三个不同的平面。所以“三条不重合非异面的直线可以确定几个平面?”的答案也是一个或三个。

图三

图四

图五

图六

探究三：面体之间的关系

为了探究体，我们应当先了解一下体的概念，“占据着空间的有限部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形”。所以，若我选取的三个平面可以围成一个空间，便可以称作是体这一概念，但这一范围过于范了。那么我们就不妨令两两平面相交或平行所形成的三维空间称为体，若三维空间图形近似于封闭则就可以只看作是一个体，若不然，则每两两平面相交或平行所形成的三维空间分别成一个体，这样定义，以便我们接下来的研究。

那么接下来，有了确定的概念，便可以有的放矢，对于“三个不重合的平面可以确定几条直线？”这一问题进行研究。首先，我们可以通过空间的构造得出，因为面是可以无限延伸的，故当三个平面两两相交时，则会有一个类似于棱柱的体（如图七），或由两个棱锥所构成的组合体的体出现（如图八），这些平面相互牵制，有一个类似于封闭的图形出现，所以只形成了一个体。而若不然，则可能会出现两平面两两平行的情况，而导致三平面互相平行（如图十），又或是一平面相交于两平行平面中（如图九），这样则不可以形成一个近似封闭的图形，又因两两之间的平行关系就相当于体，所以形成了三个体。

其实，同样的我们也可以和探究一探究二用一样的思路去解决这个问题。首先，得出三个体很好解释，因为三个面只要可以围成一个圈似的三维空间，便会有一个体。那么，对于形成三个体的结论我们依旧可以利用计数原理，每两个平面间可以形成一个体，那么在没有围成一个圈的时候，会有C23 =3!/(3-2)!*2!=3个体出现。

所以这一问题的结论是：“三个不重合的平面可以确定一个或三个体。”

图七

图八

图九

图十

总结：

对于两维度间的关系我们不难发现，在点线面体这四个维度里，满足当n≥1时，三个不重合的n维物体必须满足相交或平行的条件下，总会有“三个不重合的n维物体可以确定一个或三个（n+1）维物体”的结论。虽然或许有些牵强，但还是完全可以解释得通的。但是，虽然以我现在的能力无法对更高阶的事物进行探究，但我认为在点线面体之后的维度中，对于这个问题的研究依旧可以继续，而我认为，得出的结论依旧适用，但是否真是如此，我希望有朋友可以给出证明来继续研究或是推翻我的这一理论。

问题二：三个相邻维度之间的关系

在问题一中，我们只对于点线面体中的相邻两维度之间的关系进行了探究，然而，对于这一问题，我们可以举一反三，再由问题一的结论推出点线面体范围内三维间的关系，同样的，我们先确定一个研究的题目：“两个不重合的（n+1）维物体和两个分别穿插于其中的两个不重合n维物体可以确定几个（n+2）维物体呢？（满足：①n≥0；②当n≥1时，不重合的n维物体必须满足相交或平行）”

探究一：点线面三维间的关系

两相交或平行的直线上分别有两个不重合的两点，那么可以确定几个几个平面呢。当这两条直线是平行的时候，则分别位于两直线上的两点可以确定一条直线，则这三条直线可以确定一个面（如图十一）；若这条直线是相交的话，分别位于这两条直线上的两个点会确定一条直线，三条直线会构成一个三角形，确定一个平面（如图十二）。所以在点线面三个维度中，有结论“两个不重合的非异面直线和两个分别穿插于其中的两个不重合的点只可以确定一个平面”。

图十一

图十二

探究二：线面体三维间的关系

同样的，在这里，我们再次回顾之前对于体的定义：两两平面相交或平行所形成的三维空间称为体，若三维空间图形近似于封闭则就可以只看作是一个体，若不然，则每两两平面相交或平行所形成的三维空间分别成一个体。那么，当两平面相交时，两个非异面的直线穿插于两平面之间，这两直线则会形成一个确定的穿插于原先两平面中的平面，那么则无论是这三个平面是交于一点，形成两个棱锥所构成的组合体的体，还是围成一个类似于三棱柱的三维物体，所以只有一个体出现（如图十三）。如果两平面平行，则两直线形成的平面穿插于两个平行平面中，那么会有三个体出现（如图十四）。所以，结论为“两个不重合的相交或平行的平面和两个分别穿插于其中的两个不重合的线可以确定一个或三个体”。

图十三

图十四

总结：

在点线面体中，对于相邻的三个维度之间的结论，我们不难发现，在零一二维中两个不重合的非异面直线和两个分别穿插于其中的两个不重合的点只可以确定一个平面，但在一二三维中，却有两个不重合的相交或平行的平面和两个分别穿插于其中的两个不重合的线可以确定一个或三个体。通过在点线面体中的两个结论，我们并不能得出一些具体的规律，但可以稍微合理外推一下：当0≤n＜1时，两个不重合的n维物体和两个分别穿插于其中的两个不重合（n-1）维物体可以确定一个（n+1）维物体;当1≤n时，两个不重合的n维物体和两个分别穿插于其中的两个不重合（n-1）维物体可以确定一个（n+1）维物体（都满足：①n≥0；②当n≥1时，三个不重合的n维物体必须满足相交或平行）。

但对于更高维度的几何意义，我所得出的推论是否真是我说的如此，我无法研究，同样希望有朋友能够可以继续研究下去。

问题三：四个相邻维度之间的关系

类似于问题二，我们可以先指出一个探究的题目：“两个不重合的（n+1）维物体与两个分别穿插于其中的两个不重合n维物体和两个分别穿插于其中的两个不重合（n-1）维物体可以确定几个（n+2）维物体呢？（满足：①n≥0；②当n≥1时，三个不重合的n维物体必须满足相交或平行）”。

探究一：点线面体四维间的关系

我们先把题目翻译成点线面体的形式：“两个不重合的面与两条分别穿插于其中的不重合的直线和两个分别穿插于其中的不重合的点可以确定几个体呢？”这里体的定义和之前都完全相同，不再过多赘述，我们直接开始分析。

两个分别穿插于两个面中的不重合的点可以确定一条直线，这条直线和两条分别穿插于其中的不重合的直线可以确定一个面，而这个面同样是穿插于另外两个不重合的面中，这三个面则会形成体，会形成一个或者三个体。论证过程和之前问题二的探究二相似，依旧不过多赘述。所以，便会有结论：两个不重合的面与两条分别穿插于其中的不重合的直线和两个分别穿插于其中的不重合的点可以确定一个或者三个体。

总结：

同样的，在点线面体中，有结论：两个不重合的面与两条分别穿插于其中的不重合的直线和两个分别穿插于其中的不重合的点可以确定一个或者体。

然而是否有“两个不重合的（n+1）维物体与两个分别穿插于其中的两个不重合n维物体和两个分别穿插于其中的两个不重合（n-1）维物体可以确定一个（n+2）维物体（满足：①n≥0；②当n≥1时，三个不重合的n维物体必须满足相交或平行）”的结论，还需要各位朋友来进行验证。

全文总结：

我的三个结论：

在点线面体（即零一二三）四个维度里，总有：

（1）三个不重合的n维物体可以确定一个或三个（n+1）维物体满足：①n≥0；②当n≥1时，三个不重合的n维物体必须满足相交或平行；

（2）①当0≤n＜1时，两个不重合的n维物体和两个分别穿插于其中的两个不重合（n-1）维物体可以确定一个（n+1）维物体;②当n≥1时，两个不重合的n维物体和两个分别穿插于其中的两个不重合（n-1）维物体可以确定一个（n+1）维物体（都满足：①n≥0；②当n≥1时，三个不重合的n维物体必须满足相交或平行）

（3）两个不重合的（n+1）维物体与两个分别穿插于其中的两个不重合n维物体和两个分别穿插于其中的两个不重合（n-1）维物体可以确定一个（n+2）维物体（满足：①n≥0；②当n≥1时，三个不重合的n维物体必须满足相交或平行）

但是否此结论在后续的维度中继续适用，还待求证！

后记：

到这里，我的文章也就结束了，但我想，对这个问题的研究还未结束，或许可以研究到更高维度的世界中，而我所探究出的结论是否在整个数学几何体系中都适用，如果适用，那么我也算是为了数学的事业贡献上了我自己的一份绵薄之力，如果不适用，又或是有前人已经发现但我并不知情，那么这也是对我的一次锻炼，进行了深度的思考，提升了我的数学能力，也算是我与数学世界的一次美好的邂逅，毕竟这个理论，在点线面体这四个维度中依旧适用，对于我和各位而言也是一个有用的小结论。

而我更加希望有志同道合的朋友可以推翻我的理论，对我的理论进行反驳，指出我的错误之处，同时也希望认为我的理论有道理的朋友能够继续将这个问题研究下去，去探寻更高维的世界。文章很枯燥，感谢能够坚持看到这里的朋友，向每一位数学爱好者致敬！

2024年6月6日

上饶中学高一八班

叶昊源同学

　　

初稿：