中考数学压轴题——圆与相似

稳心颗粒

上海市四平中学尹永林 　　我们知道圆在全国中考数学中占据着较大的比重，有难到惹哭考生的圆综合压轴题，也有的难度适中，但能拉开学生间一定差距的圆与相似综合题，由于让不少学生心理上害怕圆的综合题，所以心态的原因使之能得分的也失分了，实质只要调理好心态，掌握正确方法，不少的圆与相似的综合题大部分同学都是能拿下的。 【试题】如图, 以AB为直径的半圆中, 点O为圆心, 点C在圆上,过点C作CD∥AB，CD=OB．连接AD, 分别交OC, BC于点E、F, 与⊙O交于点G, 若∠ABC＝45°． （1）求证：①△ABF∽△DCF, ②CD是⊙O的切线．（2）求EF/FG的值． 【分析】 （1）①因为AB与CD平行，所以△ABF与△DCF是一组X字型的相似，直接可以得到结论。 ②因为∠ABC=45°，所以∠AOC=90°，那么可以得到∠OCD=∠AOC=90°，即可得到CD为⊙O的切线。（2）求EF与FG的比值，但是题目并没有给出具体的长度，那么就可以适当设未知数进行表示(如下图)： 这是我们非常熟悉的图形，利用两个组的X型相似，可求DF：EF：AE，所以我们可以用k的代数式表示EF，接下来就是用k的代数式表示FG了。 联结BG，根据三角形相似或者三角比可以用k的代数式表示AG，就可以用k的代数式表示FG，从而得出比值；当然学过圆幂定理的同学可以应用切割线定理，先直接用k的代数式表示DG，然后用k的代数式表示GF；也可以用相交弦定理求GF；总之入手的点多多。 【解答】(1）证明： 第(1)题①解一： ①∵CD // AB, ∴∠D=∠A，∵对顶角∠CFD=∠A∴△ABF~△DCF; 第(1)题①解二： ①∵CD // AB,∴△ABF~△DCF(相似三角形预备定理); 第(1)题②解一： ②∵OB=CO,∴∠OCB=∠ABC=45°,∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°,∵CD// AB，∴∠OCD=∠COB=90°,即OC⊥CD, 又∵点C在圆上，∴CD是圆O的切线。 第(1)题②解二： ∵弧AC所对的圆周角ABC=45°，∴弧AC所对的圆心角AOC=90°，∵CD// AB，∴∠OCD=∠AOC=90°, 又OC为半径，∴CD是圆O的切线。 (2）解：设圆O的半径为2k，∴CD=OB=AO=OC=2k，∵CD∥AO，∴CE/EO=CD/AO=AE/DE=1，∴CE=EO=CO/2=k，∴在Rt△EAO中, AE=√5k, ∴ED=√5k.∵CD∥AO, ∴DF/FA=CD/AB=1/2，即(√5k-EF)/(√5k+EF)=1/2，∴即(√5k-EF)/2√5k=1/3，∴3(√5k-EF)=2√5k，∴EF=√5k/3.【或者∵CD∥AB, ∴DF/FA=CD/AB=1/2,∴DF/AD=1/3，∴DF=2√5k/3，∴BF=4√5k/3，∴EF=√5k/3】 解一：用相似 联结BG，∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB=90=∠AOE，又∵∠A=∠A,∴△AGB~△AOE, ∴AG/AO=AB/AE，∴AG=AO×AB/AE=2k×4k/√5k，∴AG=8k/√5∴FG=8k√5/5-k√5-√5k/3, ∴FG=4√5k/15，∴EF/FG=(√5k/3)/(4√5k/15)=5/4，∴EF/FG=5/4. 解二：用切割线定理 ∵CD是圆O的切线，∴CD²=DG×DA，∴DG=CD²/DA，∴DG=4k²/(2k√5)=2k√5/5, ∴FG=k√5-2k√5/5-√5k/3∴FG=4√5k/15，∴EF/FG=5/4. 解三：用相交弦定理 在等腰Rt△COB中，CB=2√2k，∵CD∥AB，∴CF/FB=CD/AB=1/2，∴CF/CB=1/3，∴CF=2k√2/3∴BF=4k√2/3，由相交弦定理得，GF×AF=CF×FB∴GF=CF×FB/AF=(2k√2/3)(4/k√2/3)/(√5k+√5k/3)= (16k²/9)/(4√5k/3)=4√5k/15，∴FG=4√5k/15，∴EF/FG=5/4. 　　本题(1)考核了相似三角形的判定和圆的切线判定，没有难度。(2)考核的知识点较多，但解题的关键就是我们在学习平行线分线段成比例时，遇到的一个常见图形，也是常做的一个练习，由于我们能较轻松得出EF，那么一定去求、能求FG方向就很明确了，接下来求它的方法也较多了。方法一是构造相似三角形求解的，它具有普遍性；方法二是利用(1)②的结论用切割线求解的；第三个方法是利用相交弦定理求解，都没有什么难度。因此我们在平时做题时，要记住基本图形中的重要结论和解题方法，因为压轴题就是由这些图形方法组合而成的，能突破每一个小难点，压轴题也就不难了。