数值分析：方程求根的数值解及应用例题；一个典型案例：计算65^(1/2)

人造智能

迭代

迭代法

牛顿

方程

误差

公式

开根

二分法

例子

求根

目录

• 问题的提出和列举
• 二分法
• 最简单的迭代法
• 牛顿迭代法
• 牛顿迭代法的一个应用
• 一个例子：混合法

问题提出和列举

　　目的：高考出现了一种阅读理解压轴题，大学的一些数学概念放在题设里，让学生现学现解。这需要学生了解些和初等方法比邻的高等数学思维，积累了这些思维，阅读起来会顺利，做起来就飞快。本文涉及的内容属于《数值分析》领域，由于人工智能理论的需要，数值分析和最优化理论已经是非常重要的数学工具。本文除了高等方案也会提供些初等方案，以供扩展思维。本文属于给高中同学开拓数学思维，所以许多繁琐的技术不讲，太高深的话题不谈。

问题提出如下：

• 如，计算115^(1/2)，要求误差不超过1%。
• 如，比较65^(1/2)和8.623的大小。
• 如，如何手动计算x^5+3x^x+7=0的实根？因为五次方程没有公式解，所以公式去求是没有的。
• 如，求e^x=x的实数根。
• 更一般的，如何求f(x)=0的根。
• 基于本章内容，还能设计许多数列的考题，数列是高中数学重要的内容，所以本章涉及内容很可能是高考压轴题的内容选择，文中会基于所列知识提出一些相关的可能的考题。

以上问题，都可以用一种方程求根的数值解来解：就是给定一个方程，包括多项式方程和各种抽象方程，f(x)=0，如何用递推迭代的方式去逐步逼近真正的解。迭代公式一般就像数列的递推公式那样。抽象方程如：e^x=x的方程。

注：本文有时为了让下标区别变量，会把变量大写，如：X1,X2,Xk 。本文用*代表实际的根，如X*。

二分法

　　一个最简单的方法就是二分法，在区间[a,b]间求根，第一步：选个起始点x0=(a+b)/2，然后求出f(x0)的值，比较它和f(a)的符号，与f(a)同号，则说明根x*在x0 的右侧，这时令a1=a,b1=x0，如果异号则令a1=x0,b1=b，这时根必在区间[a1,b1]内。第二步，在新的区间内[a1,b1]重复第一步。就这样根所在区间会不停的压缩，直到误差满意为止。误差如何计算？设x*是真真根，xk是第k次迭代的值，那么xk=(ak+bk)/2，误差：

|x*-xk| <= (bk-ak)/2 = (b-a)/2^(k+1)

以上公式是数列递推内容，很可能被用来设计考题。

二分法图示如下：

最简单的迭代法

　　一个方程g(x) = 0, 可以写成 x = x + g(x)，令f(x) = x + g(x) , 这样一个方程变化成求 x = f(x)的根。于是有迭代公式：

Xk+1 = f(Xk)

选取初始值X0，然后迭代下去，直到满意。那满意是什么？就是误差足够小。另外这种方法是否收敛？

　　如上图，这种方式并不总是收敛，取决于f(x)的导数f’(x)，如果 |f’(x)| < = L < 1, 则收敛。证明：

|Xk+1 - X*| = |f(Xk) - f(X*)| <= L|(Xk - X*)|

以上式子可以参考上图，并用函数导数的几何意义去理解，或者用微分中值定理理解。反复递推有：

|Xk - X*| <= L^k|(X0 - X*)|

最后可得误差公式：

|Xk - X*| <= ( L^k / (1 - L) )|X1-X*|

误差公式证明和误差计算，可以设计一道高考题，技巧属于高中的数列手段。

参考答案如下图：

　　一个例子如下：

牛顿迭代法

　　对于 f(x) = 0 求根，更出名的迭代公式是牛顿迭代法，也称切线法，如下图：

　　图中的切线方程是：

　　可以用以上曲线切线图求出迭代公式，也可以设切线方程中y=0，这样就得到迭代公式是:

　　如何求牛顿迭代法的误差公式？作为习题。也是一个出题方向。

牛顿迭代法的一个应用

　　开根求值是最早人类需要掌握的，比如根号2是多少啊？没有一个可靠方法，这些值是不能为工程技术所用的。作为牛顿迭代法的一个应用，本节来解决此问题。

其实该问题实质是求 x^2 = a 的根。这个方程的牛顿迭代公式是：

做简单的处理，得如下二式：

　　于是得如下误差公式，显然是收敛的。

　　一个例子，计算115的开根：

一个例子：混合法

　这个方法是牛顿法和二分法混合用。这里并未证明混合法就比纯牛顿法好，只是通过简单的例子说明，各种方法可以综合起来用。

例子就是65开根。比如，65^(1/2)与8.0625比哪个大？与8.0623比哪个大？

这个例子实际就是求x^2=65的根。牛顿迭代公式如下：Xk+1=Xk - f(Xk)/f’(Xk)。取初值X0=8，f(x)=x^2-65, 很快就迭代出,X1=8.0625, X1在根的右边，可以作为答案，可以算出误差是0.0039 开根。

但可以更精细，误差更小，可以设 新X0=(X0+X1)/2=8.03215，重新迭代，得X1=8.0623，X1在根的右边，新X0在根左边。

误差从第一次迭代的0.0039开根，减小到0.00068开根，已经非常精确的了。所以在误差0.026下，值8.0623; 在误差0.062下，值8.0625。如果精度不满意，同上基于新的值，重新设置X0，再做迭代，直到满意。

这个还可以用泰勒展开，（8+x）²=64+16x+x²，x²很小，舍去，16x=1，x=0.0625，所以√65=8.0625

最后我们用牛顿法迭代三次看看结果：第一次，X0=8, X1=8.0625; 第二次，X2=8.06226；第三次，X3=8.06226，也就是在这个精度下已经最精确了，要继续迭代必须把小数点后的位数扩展。