<p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">知识树</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">行程问题中的分段与比较 </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:22px;">知识精讲 </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(22, 126, 251);">前一讲，我们学习了变速和变向问题。这一讲我们来共同研究一些较复杂的分段问题.首先来看一个复杂的相遇问题. </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">例题1.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，20分钟后在某处相遇.如果甲每分钟多走15米，而乙比甲提前2分钟出发，则相遇时仍在此处.如果甲比乙晚4分钟出发，乙每分钟少走25米，也能在此相遇.那么A、B两地之间相距多少千米? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">「分析」画出三次相遇的线段图，然后分段比较. </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">5.7千米</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">详解:甲速度变快的时候，乙的时间还是20分钟，甲的时间变为了18分钟，考虑到甲的路程没有变化，可知此时的速度和刚开始时的比为20:18，可计算出开始时甲的速度为135米/分.乙变慢的时候，甲的时间还是20分钟，但乙的时间变为了24分钟，同样可知，开始时乙的速度为150米/分，则可求出甲乙两地间的距离为20x(135+150)=5700米，为5.7千米.</span></p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">练习1. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">一位职员每天早上以40千米/时的速度驾车，恰好能准时到达公司;某一天他晚离开家7分钟，结果需要把速度提高8千米/时才能准时到达公司，那么他家到公司的距离为多少千米? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">练习简答</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">1 28 千米 </span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">简答:注意单位换算. </span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:22px;">在分段问题中，有的时候需要比较前后的情况，在比较时，最重要的就是找到区别和联系，注意前后的时间和速度的关系也是解决问题的关键. </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">例题2 </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">墨莫骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。但是因为从他家开始2千米长的一段路正在修路，他只好推车步行，步行速度只有骑车速度的1/3，结果这天用了36分钟才到学校，从墨莫家到学校有多少千米? </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"></span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">分析」画出正常情况下，以及修路时墨莫从家到学校的线段图，结合正反比例解题. </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">例题2. 5千米</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">详解:墨莫这天比平时多走了16分钟，主要是浪费在修路的地方。在修路的地方，这天与平时的速度比为1:3，时间比为3:1，因此平时行这段距离用时8分钟，从墨莫家到学校的距离为2÷8x20=5千米</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">练习2. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">墨莫走路从家到学校去，平常要用30分钟，但是今天当他走到距离学校1千米处时，搭了路老师的顺风车去学校，结果这天用了22分钟就到了学校，已知车速是墨莫步行速度的5倍，从墨莫家到学校有多少千米? </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"><span class="ql-cursor"></span></span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">23千米</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">简答:解法同例 2 </span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">例题3</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">刘老师从家到单位时，前1/3的路程骑车，后面的路程乘车;从单位回家时，前5/8的路程乘车，后面的路程骑车，结果去单位的时间比回家的时间少2分钟.已知刘老师骑车每小时行8千米，乘车每小时行16千米.请问:刘老师家到单位的距离是多少千米? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">「分析」画出线段图，结合分段比较及行程中的正反比例解题. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"></span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">3 12.8千米 </span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">详解:去的时候，2/3的路程乘车，回家的时候，5/8的路程乘车，两者相差全程的2/3-5/8=1/24，说明在这段路程上，乘车比骑车少用2分钟，乘车与骑车速度比为2:1，时间比为1:2，因此这段路程乘车用时2分钟，全程乘车用时48分钟，合0.8小时.刘老师家到单位的距离为16x0.8=12.8千米.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">练习3.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">小高从家去学校时，前一半路程步行，后一半路程乘车;回家时，前1/3的路程乘车，后2/3的路程步行、结果回家比去学校要多用10分钟.已知小高步行每小时行5千米，乘车每小时行30千米.那么小高家距离学校多少千米? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">.36千米</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">简答:解法同例3.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">例题4. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">小明准时从家出发，以3.6千米/时的速度从家步行去学校，恰好准时到校.某天，当他走了1.2千米，发现手表慢了5分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课，后来算了一下，如果小明从家开始就跑步，可以比一直步行早15分钟到学校.那么他家离学校多少千米?小明跑步的速度是每小时多少千米? </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"></span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">「分析」画出线段图，分段比较计算. </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"> 例题4. </span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">1.8 千米，7.2 千米/时</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">详解: 如图，小明在OB这段路程跑步相当于比步行少用5分钟，而如果小明从家开始就跑步，可以比一直步行早 15</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">分钟到学校，说明OB为全程的1/3，全程为1.2÷（1-1/3）=1.8千米，小明步行全程用时1.8÷3.6=0.5小时，合30分钟，则跑步行全程用时30-15=15分钟，跑步速度为7.2千米/时. </span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;"><span class="ql-cursor"></span></span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">练习4. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">小郭准时从家里出发，以每分钟100米的速度从家步行去学校，恰好准时到达。某天，当他走了4千米的时候，发现手表慢了15分钟，因此立刻跑步前进，到学校的时候恰好准时。后来算了一下，如果从一开始就跑步，可以比一直步行早到30分钟，那么他家离学校多远?小郭跑步的速度是多少? </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"><span class="ql-cursor"></span></span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">48千米，160米/分简答:解法同例 4.</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">挑战极限 </b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">例题5. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">每天从上游的甲地和下游的乙地会同时各开出一艘游船相对而行，船在静水中的速度都是每分钟600米，一天，两船出发后发现水流速度比平时快了2米/秒，结果两船的相遇点和平时的相遇点相差了1000米，那么两地的距离是多少米? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">「分析」船相向而行，一个顺水，一个逆水，它们的速度和是(静水速度+水速)+(静水速度-水速)，水速正好抵消，说明速度和就是两船静水速度之和，没有发生变化、速度和不变，那么两次相遇所用的时间会不会变呢? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">5 10000米 </span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">详解:抓住不变量，两次相比可以发现所行路程和，速度和不变，因此所用时间也相同.顺流的游船比平时多行了1000米，每秒钟多行2米，因此所用时间为500秒.两地的距离为500x(10+10)=10000米. </span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">例题6. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点. 如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米，请问:A、B两地间的距离是多少千米? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">「分析」画出线段图，分段比较计算. </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">6. 420千米</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">详解:抓住不变量，第二个过程与第三个过程甲、乙速度和，路程和不变，因此所用时间相同(相同时间相同线).比较甲2与甲3，相同时间内甲3比甲2多行了28千米，每小时多行5千米，因此行了28÷5=5.6小时.比较甲1与甲2，两者速度相同，甲1比甲2多行了12千米，多行了0.4小时，说明甲1与甲2的速度为30千米/时.同理，比较乙1与乙3，可求得乙1与乙3的速度为40千米/时.A、 B间的距离为(30+40)x6=420千米.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">爱上数学 主动思考 </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(255, 138, 0);">课堂内外 </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">业余数学家之王</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">费马(1601-1665)，17世纪的一位法国数学家，提出了一个让后来的数学家一筹莫展的数学难题，问题是:当整数n>2时，关于x、y、z的方程 x"+y*==“没有正整数解。在数学上被称为“费马大定理”，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代优秀的数学家都曾研究过，但也未找到它的一个肯定的或者否定的证明。直到1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯宣布证明了费马大定理.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">费马生于法国南部，大学时主修法律，毕业后成为一名律师，并被推举为议</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">员，费马的业余时间全用来读各种各样的书，哲学、文学、历史、法律……在他30岁时迷恋上数学，从此一发不可收拾。费马涉猎广泛，一生中有许多伟大的发现。但是，他很少公开发表论文、著作，主要通过与友人的书信中透露他的思想。在他死后，他的儿子通过整理他的笔记和批注挖掘发现了他的一些思想。好在费马有个“不动笔墨不读书”的习惯，凡是他读过的书，都有他的圈圈点点，勾勾画画，页边还有他的评论，他利用业余时间钻研数学，并且成果累累。后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益匪浅，因此他被称为“业余数学家之王”。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">费马对数学的贡献有很多，包括:与笛卡尔共同创立了解析几何;创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱;通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论数论的发展方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一.</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">作业 </b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">1. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，3小时后在中点相遇;若甲每小时多走6千米，乙提前2小时出发，则仍在中点相遇，那么A、B两地相距多少千米?</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"> </span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">作业简答</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">18千米</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">简答:比较甲的两个运动过程，路程不变，时间比为3:1，速度比为1:3. </span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">2.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,4小时后在途中相遇;若甲每小时少走4千米，乙晚1小时出发，则仍在同一地点相遇，已知4、B两地间的距离是180千米，那么乙的速度是每小时多少千米? </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"></span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">2. 25千米/时</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">简答:比较甲的两个运动过程，路程不变，时间比为4:5，速度比为5:4. </span></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">3. 路秀才要赶到京城去参加科举考试，按原定速度的话，他需要10天才能到达京城.但是当他走到路程的一半时大病了一场，耽搁了2天.病好之后他换了匹好马，每天能多走100千米，结果正好在原定日期赶到，那么路秀才家离京城多少千米? </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"></span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">1500 千米</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">简答:后面一半路程原计划用时5天，实际用时3天，速度比为3:5.可求出原定速度为每天150 千米，距离为1500千米.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">4.小高准时从家出发，以每小时6千米的速度从家步行去学校，恰好提前6分钟到校。某天，当他走了2千米的时候，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好提前2分钟。后来算了一下，如果小高从家开始就跑步，可以比一直步行早18分钟到校.那么他家离学校多少千米?小高跑步的速度是每小时多少千米? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">4. 3千米,15千米/时</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">简答:比较不同情况的时间，计算跑步与步行的速度比.</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">5.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，相遇点距离B地10千米.如果甲每小时多走4千米，乙每小时少走4千米，相遇点距离B地8千米，求乙原来的速度. </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"></span><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">5. 20千米/小时</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">简答:由于甲乙速度和不变，前后两次相遇所用时间是相同的.第二次与第一次相比，甲的速度增加了4千米/时，路程增加了2千米，那么所用时间是半个小时.乙第一次走了10千米，速度为20千米/时.</span></p>