<p class="ql-block"><span style="font-size: 22px;">知识树</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 22px;">变速行程问题</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 22px;">知识精讲</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 22px;">行程问题是小学应用题中很重要的一部分，从同学们刚刚接触行程问题开始，同学们已经学习了很多类型的行程问题，例如:火车问题、流水行船问题环形路线问题等.通过几年的积累，相信同学们已经对行程问题有了一定的认识.但我们仅仅见识到了行程问题中的冰山一角，以后还会在学习数学和物理的过程中，更深入地了解行程问题的本质.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 22px;">行程问题来源于生活，在现实的生活中，不可能以同样的速度一直朝同一个方向走，经常会出现变向和变速的情况.我们将利用两次课的时间来深入的研究一下这类问题.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 22px;">首先我们来介绍一个概念-一一平均速度，平均速度是一种特殊的速度，它衡量的是一段时间内物体在所有路程上运动的平均快慢程度，体现在公式中:</span></p><p class="ql-block"><u style="font-size: 22px; color: rgb(237, 35, 8);">平均速度=总路程/总时间</u></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 22px;">关于平均速度，尤其值得大家注意的是平均速度不是速度的平均、比如:在一段长为480米的跑道上，前一半路程速度为每秒4米，后一半路程速度为每秒6米，那么平均速度就为:480÷(240÷4+240÷6)=4.8米/秒，而速度的平均为:(4+6)÷2=5米/秒,这两个值是不等的.</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 22px;">行程问题中的变速</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size: 22px;">第十九讲</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">例题1. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">邮递员早晨7点出发送一份邮件到对面的村里，从邮局开始先走12千米的上坡路，再走6千米的下坡路，上坡的速度是3千米/时，下坡的速度 是6千米/时，请问:</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">(1)邮递员去村里的平均速度是多少?</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">(2)邮递员返回时的平均速度是多少? </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">(3)邮递员往返的平均速度是多少? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">「分析」一定严格按照平均速度的定义来解题。 </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">例题详解</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">(1)3.6千米/时:(2)4.5千米/时;(3)4千米/时详解:(1) 去的时候，上坡路走了12÷3=4小时，下坡路走了6÷6=1小时.根据平均速度的定义，平均速度为(12+6)÷(4+1)=3.6千米/时.</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">(2)返回的时候，上坡路走了6÷3=2小时，下坡路走了12÷6=2小时.根据平均速度的定义，平均速度为(12+6)÷(2+2)=4.5千米/时.</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">(3)往返的平均速度为(12+6)x2÷(5+4)=4千米/时.</span> </p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">练习1.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">阿瓜要去小高家玩.一共要走1200米，前400米阿瓜的速度是5米/秒，后面800米的速度是2.5米/秒.那么他全程的平均速度是多少? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">13米/秒</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">简答:1200÷(400÷5+800÷2.5)=3米/秒. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);"></span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">例题2.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">如图所示，一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，在三条边上它每分钟分别爬行60厘米、20厘米、30厘米.蚂蚁由A点开始，如果顺时针爬行一周，平均速度是多少?如果顺时针爬行了一周半，平均速度又是多少? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">「分析」对于等边三角形的边长，不妨采用设数法. </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">30厘米/分，31又13/17厘米/分</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">详解:设等边三角形边长为60厘米，则平均速度为60x3÷(60÷60+60÷20+60÷30)=30厘米/分.如果顺时针爬行了一周半，平均速度为180x1.5÷(6+60+60+30÷20)=31又13/f7厘米/分. </span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">练习2. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">如果例题2中的这只蚂蚁逆时针爬行2周半，平均速度是多少? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">29又1/31厘米/分</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">简答:仍设等边三角形边长为60厘米，逆时针爬行两周用时 12分钟，逆时针爬行半周用时60÷30+30÷20=3.5分钟，平均速度为180x2.5+(12+3.5)=29又1/31厘米/分.</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:22px;">在很多行程问题中，我们并不能一下子弄清楚整个过程，特别是在运动过程中有变向和变速的时候，那就需要分段来考虑整个过程，下面就来看一个这样的问题. </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">例题3. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">男、女两名田径运动员在长120米的斜坡上练习跑步(如图所示，坡顶为A，坡底为B).两人同时从A点出发，在A、B之间不停地往返奔跑.已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米，请问:两人第一次迎面相遇的地点离A点多少米?第二次迎面相遇的地点离A点多少米? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">「分析」本题可采用分段计算，一些速度发生变化或方向发生变化的位置可作为分段计算的线索. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"></span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">96米,51又3/7米 </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">详解:如图所示，男运动员到达B点的时候用了24秒，这时女运动员走了72米.距离B点48米，然后两人做一个相遇运动，会在48÷(3+3)=8秒后相遇，这时两人距离A点是96米.男运动员跑到4点，又用了32秒，而女运动员跑到B点需要8秒，可知当男运动员走到A点的时候，女运动员又向上走了24秒，走了48米，距离A点还有72米。然后两人又做一个相遇运动，会在72÷(5+2)=72/7秒后相遇，可计算出这时两人相距A点51又3/7米</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">练习3. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">在30世纪的某一天，卡莉娅和墨莫两人在地球和火星间进行往返旅行.如果卡莉娅从地球飞向火星的速度是300万公里/天，而从火星返回地球的速度是400万公里/天;墨莫从地球飞向火星的速度是200万公里/天，而从火星返回的速度是300万公里/天.现两人同时从地球出发，在地球和火星间往返，请问两人第二次迎面在太空中相遇时距离地球多少万公里?(已知地球和火星间的距离约为6000万公里) </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">3 . 2250万公里</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">简答:做法同例 3，分段计算</span>. </p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:22px;">通过例题3，我们对于变速和变向问题有了基本的解题思路，那就是分段考虑，分段考虑就是把一个大的问题进行分割，化整为零，各个击破，将复杂的问题简单化，不仅在行程问题中，在很多其他的问题中都有应用，特别是对于一些过程复杂的问题具有很好的效果. </span></p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">例题4 .</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">在一条南北走向的公路上有A、B两镇,A镇在B镇北面4.8千米处.甲、乙两人分别同时从4镇、B镇出发向南行走，甲的速度是每小时9千米，乙的速度是每小时6千米，甲在运动过程中始终不改变方向，而乙向南走3分钟后，便转身往回走2分钟，接着按照先向南走3分钟，再向北走2分钟的方式循环运动、请问:两人相遇的地点距B镇多少千米? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">「分析」注意分析两人路程差的变化规律. </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">0.96千米</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">详解:如图所示，甲每分钟可以走150米，乙每分钟可以走100米.每过5分钟，甲都向南走750米，乙只向南走100米，那么每5分钟，两人的距离都拉近650米，4800÷650=7.....250，所以在5x7=35分钟以后，两人相距250米。此时，甲继续向南，乙向南走3分钟，这3分钟两人的距离拉近了(150-100)x3=150米，这时两人相距100米，甲继续向南，而乙则返回往北走，两人在100÷(150+100)=0.4分钟后相遇，那么甲总共走了35+3+0.4=38.4分钟，共走了 38.4x150=5760米，所以相遇地点距离B地5760-4800=960米，即0.96千米. </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">练习4. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">在东西方向上的A、B(A地在B的西面)两地相距6千米，甲乙分别同时从A、B两地出发向东走，甲的速度是每小时12千米，乙的速度是每小时6千米，甲在运动的过程中始终不改变方向，而乙向东走了2分钟后，便转身往回走1分钟，再转向东走2分钟，再转身走1分钟……那么甲、乙两人相遇的地点距B地多远?</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">4 . 1.2千米</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">简答:做法同例 4，以3分钟为周期. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);"></span></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">挑战极限 </b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">例题5. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">龟兔赛跑，全程1.04千米、兔子每小时跑4千米，乌龟每小时爬0.6千 米，乌龟不停地爬，但兔子却边跑边玩，兔子先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟….…请问:先到达终点的比后到达终点的快多少分钟? </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"></span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">「分析」首先可确定乌龟到达终点的时间，然后再确定兔子到达终点的时间，两个时间直接对比即可得出答案. </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">5.13.4分钟</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">详解:首先可以计算出乌龟用时1.04+0.6=115小时，合104分钟.兔子跑的时间为1.04÷4=0.26小时，合15.6分钟.1+2+3+4+5=15,可知兔子休息了5次，休息了5x15=75分钟，共用时15.6+75=90.6分钟，兔子比乌龟先到达104-90.6=13.4分钟.</span> </p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">例题6. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">如图所示，正方形边长是1200米，甲、乙两人于8:00同时从A、B沿图中所示的方向出发，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，且两人每到达一个顶点都需要休息1分钟，求甲从出发到第一次看见乙所用的时间. </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">「分析」注意甲与乙的路程差是一个边长，且恰好到达拐角处时甲即可看见乙. </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">65分钟</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">详解:甲若追上乙至少要多走一个边长，至少用时1200÷(120-100)=60分钟.甲每走 1200÷120=10分钟，休息一分钟，60分钟内至少休息5次，共用时65分钟.乙每走1200÷100=12分钟，休息一分钟，60分钟内至少休息4次，共用时64分钟，第65分钟恰好也在休息，因此甲恰好可以看见乙.</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><b style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">课堂内外 </b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">田径比赛--障碍跑</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">障碍跑作为田径项目，始于英国，它和越野跑可算是一对“孪生兄弟”，越野跑是从儿童游戏脱胎而来的，有人设想把越野跑搬到运动场上来，于是，运动场上出现了篱笆、栅栏、水坑等人工障碍物.1837年，在英国乐格比高等学校里，首创了一种叫作“障碍跑”的比赛项目，从此，这项活动在英国普遍开展起来，随后又相继传到其他国家，这才逐渐被人们接受.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">19世纪，障碍跑在英国兴起.最初在野外进行，跨越的障碍是树枝、河沟，各障碍间的距离也长短不一，19世纪中叶开始在跑道上进行。有研究报告指出:19世纪时障碍跑的距离不统一，具有很大的随意性，短的440码，长的可达3英里.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">1900年第2届奥运会首次设立障碍跑，分2500米和4000米两个项目.从1904年第3届奥运会起将障碍跑的距离确定为3000米，并沿用至今，全程必须跨越35次障碍，其中包括7次水池，障碍架高91.1-91.7厘米，宽3.96米、重80~100公斤.400米的跑道可摆放5个障碍架，各障碍架的间距为80米、运动员可跨越障碍架，也可踏上障碍架再跳下，或用手撑越，国际田联直到1954年才开始承认其世界纪录.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">(本文来源于百度百科)</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">作业 </b></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">1.如图所示，一个蜗牛从A点出发沿着一个三角形的三边爬行，速度如图所示(单位:厘米/分)，那么这个蜗牛顺时针爬行一周的平均速度是多少厘米/分?顺时针爬行一周半的平均速度是多少厘米/分? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">40 厘米/分，540/13厘米/分</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:22px;">简答:设边长为120厘米，360÷(2+4+3)=40厘米/分;540÷(2+4+3+2+2)=540/13厘米/分</span>. </p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">2. 小山羊去山上吃草，前一半路程速度为每秒4米，后一半路程开始跑步，速度为每秒6米，那么整段路程的平均速度是多少? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">2. </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">4.8米/秒</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">简答:设全长为24米，平均速度为24÷(3+2)=4.8米/秒 </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">3. 山谷和森林相距2000米，小老虎从森林出发去山谷，速度为5米/秒.它每走120米都会休息10秒钟，那么走完全程一共需要多少秒? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">3560 秒</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">简答:小老虎走路的时间是400秒.2000÷120=16......80,一共要休息16次，即160秒.一共需要560秒</span>. </p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">4. 如图，B地是AC两地的中点,AC之间的距离是12千米.人在AB上的速度是3千米/时,在BC上的速度是2千米/时.现在甲、乙二人分别从A、C两地同时出发，几时几分后两人相遇? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">4. 2小时30分 </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">简答:出发2小时后，甲到达中点处，乙距离中点还有2千米.再过0.5小时两人相遇，所以一共2小时30分钟.</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">5. 在一条河上相距24千米的两个码头A、B之间，客船和货船同时从上游的A码头出发，在A、B之间不停的往返运动，已知，水速是每小时2千米，客船的速度是每小时6千米，货船的速度是每小时4千米，那么两船第一次迎面相遇的地点距离A码头多少千米?第二次迎面相遇的地点距离A码头多少千米? </span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">5. 21.6千米，11.2千米 </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">简答:分段计算即可.</span></p>