勾股定理的应用——折叠问题4(八年级)

数学寻梦人

<p class="ql-block">思维突破</p><p class="ql-block">1.由折叠可得结论</p><p class="ql-block">①对应边相等——常出隐圆轨迹</p><p class="ql-block">②对应角相等(常结合直角)</p><p class="ql-block">③折痕垂直平分对称点所连线段</p><p class="ql-block">④角平分线结构——常和平行结合</p><p class="ql-block">2.由结论直角三角形存在性进行分类:①∠CED′=90°②∠ CD′E=90°</p><p class="ql-block">注:∠ECD′=90°不存在.AD′=AD=18<24点D′不可能落在直线BC上.</p><p class="ql-block">3.确定动点特殊位置作出图形</p><p class="ql-block">方法:①由结论∠CED′=90°和折叠对应角∠AD′E=∠D=90°可确定四边形ADED′是正方形,点D′在AB上.利用正方形作出图形.②由结论∠CD′E=90°和折叠对应角相等∠AD′E=90°可确定点D′落在对角线AC上.</p><p class="ql-block">4.解决问题求线段长,①情况一可以由正方形的性质直接求出.②情况二可以选择直角三角形利用勾股定理求线段长.</p> <p class="ql-block">思维路径</p><p class="ql-block">情况一:∠CED′=90°</p><p class="ql-block">环节一:证四边形是正方形</p><p class="ql-block">由折叠可得∠D=∠AD′E=90°</p><p class="ql-block">由结论∠DED′=∠CED′=90′</p><p class="ql-block">可证四边形ADED′是矩形</p><p class="ql-block">由折叠可得DE=D′E</p><p class="ql-block">因此四边形ADED′是正方形</p><p class="ql-block">环节二:求线段长</p><p class="ql-block">由正方形性质可得DE=AD=18</p> <p class="ql-block">情况二:∠CD′E=90°</p><p class="ql-block">环节一:证三点共线</p><p class="ql-block">由折叠可得∠AD′E=∠D=90°</p><p class="ql-block">再由结论∠CDE=90°</p><p class="ql-block">因此点A、D′和C三点共线,即点D′落在AC上.</p><p class="ql-block">环节二:利用勾股定理构建方程模型</p><p class="ql-block">在Rt△ADC中,勾股定理可得</p><p class="ql-block">AC=30,</p><p class="ql-block">由折叠可得AD′=AD=18</p><p class="ql-block">因此CD′=AC-AD′=12</p><p class="ql-block">在Rt△CED′中,设ED=D′E=x,</p><p class="ql-block">构建方程模型</p><p class="ql-block">(24-x)²=x²+12²</p><p class="ql-block">解得x=9</p><p class="ql-block">因此DE=9.</p> <p class="ql-block">注:九年级学过相似三角形后情况二可以可以利用△CD′E和△CDA相似求出线段DE长.</p>