勾股定理的应用——折叠问题(3)

数学寻梦人

<p class="ql-block">如图矩形ABCD，AB＝4，BC＝5，点E是射线CB上一动点，把△CDE沿DE折叠，点C的对称点落在点M处，若△ADM是直角三角形，求CE的长.</p> <p class="ql-block">思维突破</p><p class="ql-block">1.确定动点位置，作出满足结论△ADM是直角三角形的准确图形(也可假设位置画出草图).</p><p class="ql-block">作图方法:①折叠含有隐圆确定动点的运动轨迹是以点D为圆心，以DC长为半径的圆弧.</p><p class="ql-block">②再由△ADM是直角三角形可知点M又是以AD为直径的圆上的动点.两圆弧的交点即点M两个位置(矩形内部或AD上方).</p><p class="ql-block">③连接AM和DM，作∠CDM的角平分线交射线CB于点E，连接DE和ME——确定折痕位置即点E位置.</p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(22, 126, 251);">注:首先由结论和折叠确定点M特殊位置，再利用折痕与对称点所连线段的垂直平分位置关系或角平分线确定点E位置.</span></p><p class="ql-block">2.折叠可得角平分线结合平行可证等腰三角形ADE——证点A、M、E三点共线，再选择合适直角三角形(△ABE)利用勾股定理求线段长.</p><p class="ql-block">3.由折叠直角结构∠DME＝90°(点M有关)，构建一线三直角模型或弦图利用相似三角形或勾股定理求线段长.</p> <p class="ql-block">思维路径</p><p class="ql-block">方法一:利用角平分线+平行结构</p><p class="ql-block">情况一:点M在矩形内部即AD下方</p><p class="ql-block">环节一:证三点共线</p><p class="ql-block">由∠DME＝∠AMD＝90°，可证点A、M、E三点在同一直线上.</p><p class="ql-block">环节二:证等腰三角形</p><p class="ql-block">由折叠可得∠AED＝∠CED，</p><p class="ql-block">由BC∥AD可得∠ADE＝∠CED</p><p class="ql-block">则∠ADE＝∠AED因此AD＝AE＝5.</p><p class="ql-block">环节三:利用勾股定理</p><p class="ql-block">在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝5</p><p class="ql-block">由勾股定理可得BE＝3</p><p class="ql-block">因此CE＝2.</p> <p class="ql-block">情况二:点M在AD上方</p><p class="ql-block">环节一:证三点共线</p><p class="ql-block">由∠DME＝∠AMD＝90°，可证点A、M、E三点在同一直线上.</p><p class="ql-block">环节二:证等腰三角形</p><p class="ql-block">由折叠可得∠AED＝∠CED，</p><p class="ql-block">由BC∥AD可得∠ADE＝∠CED</p><p class="ql-block">则∠ADE＝∠AED因此AD＝AE＝5.</p><p class="ql-block">环节三:利用勾股定理</p><p class="ql-block">在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝5</p><p class="ql-block">由勾股定理可得BE＝3</p><p class="ql-block">因此CE＝BC+BE＝8.</p><p class="ql-block">方法一是最简约之法，八年级学生在研究勾股定理后做.</p> <p class="ql-block">方法二:利用一线三直角模型结合勾股定理</p><p class="ql-block">情况一:点M在矩形内部即AD下方</p><p class="ql-block">环节一:利用面积求线段长</p><p class="ql-block">过点M作GH⊥AD于点G交BC于点H</p><p class="ql-block">在Rt△ADM中</p><p class="ql-block">勾股定理求可求AM＝3</p><p class="ql-block">由S△AMD＝1/2AM●DM＝1/2MG●AD，可求MG＝2.4</p><p class="ql-block">在Rt△DMG中</p><p class="ql-block">由勾股定理可得DG＝3.2</p><p class="ql-block">环节二:利用勾股定理构建方程模型</p><p class="ql-block">在Rt△MHE中，设CE＝ME＝x</p><p class="ql-block">构建方程模型x²＝(3.2-x)²+1.6²</p><p class="ql-block">解得x＝2</p><p class="ql-block">因此CE＝2.</p> <p class="ql-block">情况二:点M在AD上方</p><p class="ql-block">环节一:利用面积求线段长</p><p class="ql-block">过点M作GH⊥AD于点G交BC于点H</p><p class="ql-block">在Rt△ADM中</p><p class="ql-block">勾股定理求可求AM＝3</p><p class="ql-block">由S△AMD＝1/2AM●DM＝1/2MG●AD，可求MG＝2.4</p><p class="ql-block">在Rt△DMG中</p><p class="ql-block">由勾股定理可得DG＝3.2</p><p class="ql-block">MH＝GH+GM＝6.4</p><p class="ql-block">环节二:利用勾股定理构建方程模型</p><p class="ql-block">在Rt△MHE中，设CE＝ME＝x</p><p class="ql-block">构建方程模型x²＝(3.2-x)²+6.4²</p><p class="ql-block">解得x＝8</p><p class="ql-block">因此CE＝8.</p> <p class="ql-block">方法三:利用一线三直角模型或弦图的相似三角形</p><p class="ql-block">情况一:点M在矩形内部即AD下方</p><p class="ql-block">环节一:利用面积求线段长</p><p class="ql-block">过点M作GH⊥AD于点G交BC于点H</p><p class="ql-block">在Rt△ADM中</p><p class="ql-block">勾股定理求可求AM＝3</p><p class="ql-block">由S△AMD＝1/2AM●DM＝1/2MG●AD，可求MG＝2.4</p><p class="ql-block">在Rt△DMG中</p><p class="ql-block">由勾股定理可得DG＝3.2</p><p class="ql-block">MH＝GH-GM＝1.6</p><p class="ql-block">环节二:利用相似三角形</p><p class="ql-block">易证△DGM和△MHE相似</p><p class="ql-block">则DG/MH＝DM/EM</p><p class="ql-block">可求CE＝2.</p> <p class="ql-block">情况二:点M在AD上方</p><p class="ql-block">环节一:利用面积求线段长</p><p class="ql-block">过点M作GH⊥AD于点G交BC于点H</p><p class="ql-block">在Rt△ADM中</p><p class="ql-block">勾股定理求可求AM＝3</p><p class="ql-block">由S△AMD＝1/2AM●DM＝1/2MG●AD，可求MG＝2.4</p><p class="ql-block">在Rt△DMG中</p><p class="ql-block">由勾股定理可得DG＝3.2</p><p class="ql-block">MH＝GH+GM＝6.4</p><p class="ql-block">环节二:利用相似三角形</p><p class="ql-block">易证△DGM和△MHE相似</p><p class="ql-block">则DG/MH＝DM/EM</p><p class="ql-block">可求CE＝8.</p> <p class="ql-block">方法四:利用折痕与对称点所连线段的十字模型</p><p class="ql-block">情况一:点M在矩形内部即AD下方</p><p class="ql-block">环节一:利用面积求线段长</p><p class="ql-block">过点M作GH⊥AD于点G交BC于点H</p><p class="ql-block">在Rt△ADM中</p><p class="ql-block">勾股定理求可求AM＝3</p><p class="ql-block">由S△AMD＝1/2AM●DM＝1/2MG●AD，可求MG＝2.4</p><p class="ql-block">在Rt△DMG中</p><p class="ql-block">由勾股定理可得DG＝3.2</p><p class="ql-block">MH＝GH-GM＝1.6</p><p class="ql-block">环节二:利用十字模型的相似三角形</p><p class="ql-block">连接CM则AE⊥CM</p><p class="ql-block">易证△DCE和△CHM相似</p><p class="ql-block">则CD/CH＝CE/MH</p><p class="ql-block">可求CE＝2.</p> <p class="ql-block">情况二:点M在AD上方</p><p class="ql-block">环节一:利用面积求线段长</p><p class="ql-block">过点M作GH⊥AD于点G交BC于点H</p><p class="ql-block">在Rt△ADM中</p><p class="ql-block">勾股定理求可求AM＝3</p><p class="ql-block">由S△AMD＝1/2AM●DM＝1/2MG●AD，可求MG＝2.4</p><p class="ql-block">在Rt△DMG中</p><p class="ql-block">由勾股定理可得DG＝3.2</p><p class="ql-block">MH＝GH+GM＝6.4</p><p class="ql-block">环节二:利用十字模型的相似三角形</p><p class="ql-block">连接CM则AE⊥CM</p><p class="ql-block">易证△DCE和△CHM相似</p><p class="ql-block">则CD/CH＝CE/MH</p><p class="ql-block">可求CE＝8.</p>