<p class="ql-block">今一师问了这一与折叠有关的填空压轴题,两种情况特别是第二种情况为什么那么难求.经过一番思考研究,发现在解决此类折叠问题时,特别容易忽视“<span style="color:rgb(237, 35, 8);">折痕垂直平分对称点所连接线段</span>”这一结论.</p> <p class="ql-block">思维突破</p><p class="ql-block">1.由两三角形相似可以分为两种情况:①MN∥BC②∠ANM=∠B.</p><p class="ql-block">2.分析结构:①MN是折痕,A、D是对称点——构建十字模型②∠MDN=∠A=90°——构建一线三垂直模型或说一线三直角模型</p><p class="ql-block">3.问题解决思维方法研究</p><p class="ql-block">①情况一可以利用平行关系结合对应边相等可以确定两个等腰三角形△CDN和△BDM进一步确定MN是三角形的中位线,作垂直构建直角三角形利用相似可以求出CD长.</p><p class="ql-block">如果利用折痕与对称点的位置关系可以更简单解决问题,因为可以确定AD是BC边上的高,利用相似求出CD或利用面积结合勾股定理求出CD长.</p><p class="ql-block">②情况二若围绕∠MDN=90°构建一线三直角模型,利用四组相似三角形表示BC边上四条线段长,从而构建方程模型求出CD长.</p><p class="ql-block">若利用折痕与对称点所连接垂直关系,则可以确定AD=BD=CD,点D是BC中点.得来全不费工夫!</p> <p class="ql-block">思维路径</p><p class="ql-block">情况一:MN∥BC</p><p class="ql-block">方法一:利用平行线的性质</p><p class="ql-block">环节一:利用平行与角平分线结构</p><p class="ql-block">由MN∥BC则∠B=∠BDM,∠C=∠CDN则BM=DM=AM=4,CN=DN=AN=3</p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(22, 126, 251);">注:借助角平分线(折叠)和平行结构得到等腰三角形.</span></p><p class="ql-block">环节二:构建直角三角形利用相似求线段长</p><p class="ql-block">作NG⊥BC,则△CGN和△CAB相似</p><p class="ql-block">CG/AC=CN/BC</p><p class="ql-block">可求CG=9/5</p><p class="ql-block">因此CD=2CG=18/5.</p> <p class="ql-block">方法二:利用折痕与对称点所连线段垂直</p><p class="ql-block">环节一:确定AD是BC边上的高</p><p class="ql-block">连接AD,则在MN⊥AD,</p><p class="ql-block">再由MN∥BC,因此AD⊥BC</p><p class="ql-block">环节二:利用相似三角形</p><p class="ql-block">易证△ADC和△BAC相似</p><p class="ql-block">则CD/AC=AC/BC,</p><p class="ql-block">可得CD=18/5.</p> <p class="ql-block">情况二:∠ANM=∠B</p><p class="ql-block">方法一:利用一线三直角模型</p><p class="ql-block">作MG⊥BC,NH⊥BC</p><p class="ql-block">设AM=DM=x,</p><p class="ql-block">由△ABC和△ANM相似①</p><p class="ql-block">可表示AN=DN=4x/3</p><p class="ql-block">则BM=8-x,CN=6-4x/3</p><p class="ql-block">在△BGM和△BAC相似②</p><p class="ql-block">可表示BG=4(8-x)/5,MG=3(8-x)/5</p><p class="ql-block">由△NHC和△BAC相似③</p><p class="ql-block">可表示CH=3(6-4x/3)/5,NH=4(6-4x/3)/5</p><p class="ql-block">再由△MGD和△DHN相似</p><p class="ql-block">GD=3/4NH=3/4×4(6-4x/3)/5,</p><p class="ql-block">DH=4/3MG=4/3×3(8-x)/5</p><p class="ql-block">由CH+DH+DG+BG=BC</p><p class="ql-block">构建方程模型</p><p class="ql-block">3(6-4x/3)/5+4/3×3(8-x)/5+3/4×4(6-4x/3)/5+4(8-x)/5=10</p><p class="ql-block">解得x=25/8</p><p class="ql-block">因此CD=CH+DH=5</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">方法二:利用折痕与对称点所连线段垂直</p><p class="ql-block">连接AD则AD⊥MN</p><p class="ql-block">易证∠BAD=∠B,∠CAD=∠C</p><p class="ql-block">则BD=AD=CD</p><p class="ql-block">因此CD=1/2BC=5.</p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(22, 126, 251);">重视由折痕与对称点所连线段构建的十字垂直模型,这是一个不错的思维方向选择!</span></p>