六年级下册第四次数学笔记

祥哥

别怕题目难，更别怕做错题，其实错题的纠正才是你提分的机会，学习就是不断发现并改正错误。

一，圆锥中圆形的面是它的底面，圆锥周围的面是它的侧面，侧面是一个曲面，侧面展开后是一个扇形。圆锥有一个顶点，从顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，圆锥只有一条高。当把一个圆锥从顶点纵切成两个形状，大小完全相同的两部分时，切面是等腰三角形的面，等腰三角形的底等于圆锥的底面直径，等腰三角形这条底边上的高就是圆锥的高。

二，在等底等高的前提条件下，圆锥的体积等于圆柱体积的1/3，或者是说在等底等高的情况下圆柱体积是圆锥体积的3倍。圆锥体积的公式用字母表示为：V=1/3 S h。如果知道圆锥底面圆的半径和圆锥的高，圆锥体积公式用字母表示为：V=1/3兀r的平方h。如果知道圆锥底面圆的直径和圆锥的高，圆锥体积公式用字母表示为：V=1/3兀（d除以2）的平方h。如果知道圆锥底面圆的周长和圆锥的高时，圆锥体积公式用字母表示为：V=1/3兀（C除以兀除以2）的平方h。

三，把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削成的圆锥与圆柱等底等高。也就是说要将一个圆柱削成一个最大的圆锥，必须使圆锥与圆柱等底等高才满足最大这个条件。在等底等高的情况下，圆锥的体积占1份，削去部分的体积占2份，圆柱的体积占3份。或者是说把圆柱的体积看作单位1，圆锥的体积占圆柱体积的1/3，削去部分的体积占圆柱体积的2/3。

四，以长方形的长或宽所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆柱。旋转时以那条边为轴（也就是绕着的那条边，在旋转的过程中位置始终保持变的那条边）旋转，这条边就是旋转成的圆柱的高，转动一圈的那条边就是旋转成的圆柱底面的半径。以长方形的长和宽中，以较短的宽为轴旋转成的圆柱的体积大于以长为轴旋转成的圆柱的体积。以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥。旋转时以那条直角边为轴（也就是沿着的那条直角边，位置始终保持不变的那条直角边）旋转，那条直角边的长就是旋转成的圆锥的高，另外一条旋转的直角边的长即是旋转成的圆锥底面圆的半径。在以直角三角形的直角边所在的直线为轴旋转形成的两个圆锥中，以较短的那条直角边所在的直线为轴旋转形成的圆锥的体积比较大。

五，熟记圆的周长，面积，圆柱的侧面积，体积，圆锥的体积公式及根据它们的公式推导出来的变式，可以帮助我们有效的解决各种实际问题。

圆的周长：

C =兀d，d = C除以兀。C = 2兀r，r= C除以（2兀）或r= C除以兀除以2。

圆的面积：

S=兀r的平方，r的平方= S除以兀。

圆柱的侧面积：

S= C h，h = s除以C，C = S除以h。

圆柱的体积：

V = S h，h = V除以s，s = V除以h。

圆锥的体积：

V =1/3 S h，h = V除以（1/3 S）或h = V除以1/3除以S，S = V除以（1/3 h）或s = V除以1/3除以h。

补充例题数学书37页9题：

游乐中心内一个长方形儿童游泳池，长25 m，宽12.56 m，深1.2 m。如果用直径20 cm的进水管向游泳池里注水，水流速度按每分100 m计算，注满一池水要多长时间？

思路分析：

一，要求注满一池水要多长时间？就是求长方形游泳池的容积里包含着多少个一分钟流出的圆柱形的体积，即：V长除以V柱=时间。

二，我们可以先根据己知的长方形游泳池的长宽高求出它的容积，容积的算法与体积的算法一样，长方体的体积=长✖️宽✖️高，所以游泳池的容积：（1）25✖️12.56✖️1.3=12.56✖️30=376.8（立方米）。

三，假设1分钟从水管里流岀来的水不散掉，维持成圆柱状态，那么1分钟从水管里流出来的水就是一个底面直径20 cm，高为水的每分钟的流速100 m的一个圆柱，圆柱体积就是每分钟流入游泳池中的水的体积。根据圆柱体的体积=底面积✖️高，特别注意水管的底面直径是20 cm，我们先统一单位，（2）20 cm = 0.2 m，（3）3.14✖️（0.2除以2）的平方✖️100= 3.14✖️1=3.14（立方米）。

四，最后看游泳池的容积里包含着多少个1分钟放入池中的水的体积，就求出了注满整个游泳池所需要的时间了。（4）376.8除以3.14= 120（分）。答：注满一池水要120分钟。

补充例题同步34页拓展应用：

一个圆柱形的玻璃杯，底面直径为10 cm，杯中水深18.4 cm。当放入一个底面直径为6 cm的圆锥形铁块后，杯中水深19 cm。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？

思路分析：

一，遇到这种较为复杂，需要进行等量代换的题目时，我们采用画示意图的方法，将题目中的己知条件标识在示意图上进行分析，会更加容易找到正确的解题思路。（见插图）。

二，排水法求不规则物体的体积告诉我们，淹没在水中的物体的体积等于上升的这一层水的体积。根据水的特性，上升的这一层水是一个与容器底面相同的圆柱体，我们可以通过求出该圆柱体的体积来代换与它体积相同的淹没于水中的圆锥体的体积。

三，要求圆锥形铁块的高是多少厘米？根据圆锥的体积公式：V锥=1/3 S h，可推知：h= V锥除以（1/3 S），或者h = V锥除以1/3除以s，我们先来求出这个圆锥的体积，根据上面一段的分析可知圆锥的体积等于上升的这一层水的体积，上升的这层水是一个底面与容器底面相等，底面是一个直径为10 cm的圆，根据圆的面积公式：S =兀r的平方，求出这一层水的底面积。（1）3.14✖️（10除以2）的平方=3.14✖️25= 78.5（平方厘米）。这一层水的高即是杯中原水深与放入圆锥后的现水深的水位差，即：（2）19 －18.4=0.6（厘米）。根据V柱= S h，求出这一层水的体积，（3）78.5✖️0.6=47.1（立方厘米）。

四，圆锥的底面直径是6 cm，可求出它的底面积，（4）3.14✖️（6除以2）的平方=3.14✖️9=28.26（平方厘米）。再用底面积✖️1/3，28.26✖️1/3= 9.42（平方厘米）。

最后根据：h= V锥除以（1/3 s），即可求出圆锥的高是多少厘米了。（5）47.1除以9.42= 5（cm）。答：这个圆锥形铁块的高是5厘米。

补充例题：

一个底面内直径是8 cm的瓶子里，水的高度是7 c m，把瓶盖拧紧，将瓶子倒置，无水部分是圆柱形，高度是18 cm，这个瓶子的容积是多少？

思路分析：

一，画出示意图分析（见插图），首先要清楚此题存在着两个不变的量我们称之为定量，不管瓶子正放还是倒放，瓶子的容积不变，瓶子中水的体积不变。

二，瓶子正放时，瓶子中的水是一个圆柱，我们可以根据V柱= S h计算出水的体积。（1）3.14✖️（8除以2）的平方✖️7= 3.14✖️112=351.68（立方厘米）。

三，瓶子正放时空1的体积=瓶子的容积一瓶子中水的体积。瓶子倒放时空2的体积=瓶子的容积一瓶子中水的体积，而瓶子的容积与瓶子中的水的体积是不变的，从相同的量中减去相同的量，差肯定也是相同的，由此可见空1的体积=空2的体积。

四，空1的体积是不规则的，空2的体积是一个规则的圆柱的体积，所以我们可以通过圆柱的体积公式计算公式计算出空2的体积，运用等积代换的数学思想来代替空1的体积。V空2 =3.14✖️（8除以2）的平方✖️18=3.14✖️288=904.32（立方厘米）= V空1。

五，将空1的体积加上瓶子中水的体积，即求出这个瓶子的容积是多少了。V瓶= V水+ V空1= 351.68+904.32=1256（立方厘米）。

六，因为求的是这个瓶子的容积，所以我们将体积单位转化成容积单位，1256立方厘米= 1256 mL。答：这个瓶子的容积是1256毫升。