平行四边形存在性问题(一)

稳心颗粒

上海市四平中学尹永林

三定一动型

【中考试题】

在平面直角坐标系中，抛物线

y =x²/2+bx+c经过点 A (-4, 0)，点 M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且 OA=OB ，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6)，如图①.

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线AB的函数解析式为＿＿____＿＿,点M的坐标为＿＿_＿, cos∠ABO =_____;连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P ，将△AOC的面积分成1:2的两部分，则点P的坐标为＿＿___＿___＿＿;

(3)在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，求点Q的坐标；

(3)在坐标平面内是否存在点N ，使以点A、O、C、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

题(1)代入已知点坐标解方程组即可。

题(2)利用OA=OB得点B的坐标，再待定系数法求AB的解析式。抛物线顶点M的坐标可用公式或配方得到。求余弦值，利用余弦的定义得到边的比例关系即可得。

过顶点分三角形的面积，只需过把边进行分割就可以了。本题没有指明具体的比例关系，那么就需要分两种情况分类讨论。

题(3)由于AM为定点，那么就是将军饮马问题，利用两点间线段最短，直接转化为求线段长度即可。

题(4)因为有三个定点，因此有三种情况进行讨论。难度不大。根据平移的性质或者中点坐标公式都可以。

(1)∵点A、C在抛物线y=x²/2+bx+c上，

∴1/2x16-4b+c=0且1/2x4+2b+c =6,

∴b=2，c=0，

∴抛物线的表达式为：y =x²/2+2x;

(2)∵点A(-4,0),∴ OB = OA =4，

∴点 B (0,4)，

∴直线AB： y=kx+4过点A(-4, 0)，

∴-4k+4=0，∴k =1.

∴直线AB的表达式为：y=x+4;

∴∠ABO =45°，∴cos∠ABO =√2/2

∵y=x²/2+2x，∴它的对称轴为x=-2，

故点M(-2,-2);

∵OP将△AOC的面积分成1:2的两部分，

∴△APO面积:△ACO面积=1/3 ，

或△APO面积:△ACO面积=2/3 ，

∵AO是△APO与△ACO的同底，

∴△APO面积:△ACO面积

=它们AO上的高的比，

∴点P的纵坐标/点C点纵坐标=1/3，

或点P的纵坐标/点C点纵坐标=2/3,

∴点P的纵坐标=6×1/3，

或点P的纵坐标=6×2/3，

∴点P的纵坐标为2或点P的纵坐标为4,

故点 P (-2, 2）或（0, 4);

故答案为：y = x +4；(-2,-2)；

(-2, 2）或（0, 4);

(3)如图②，作点A关于 y轴的对称点A'，则点 A'(4, 0)，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ, ∵AQ=A'Q, 则此时△AMQ的周长最小，

即△AMQ的周长= AM+AQ+MQ

=AM+A'M最小，

直线A'M：y=kx+b过A'(4,0), M(-2,-2),

∴4k+ b=0且-2k+b=-2

∴ k =1/3，b=-4/3

∴直线A'M为： y = x/3-4/3

∴它与y轴的交点 Q (0,-4/3);

(4）存在点N ，使以点A、O、C、N 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：

解一：平移法

∵设N(m, n)，又点A、C、O的坐标分别为(-4, 0)、(2, 6)、(0, 0),

①∵点A(-4,0)向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C(2, 6)，∴点O(0, 0)向右平移6个单位向上平移6个单位得到点N(0+6, 0+6)，即N(6, 6)；

②∵点C(2,6)向左平移2个单位向下平移6个单位得到点O(0,0)，∴点A(-4, 0)向左平移2个单位向下平移6个单位得到点N(-4-2, -6)，即N(-6, -6)

③∵点O(0,0)向左平移4个单位得到点A(-4, 0)，∴点C(2, 6)向左平移4个单位得到点N(2-4, 6)，即N(-2, 6)；

综上所述事实，点 N(6, 6)或N(-6, -6)或N(-2, 6).

★说明：已知三定点组成△ACO，

1°A→C，得O→N；2°C→O，得A→N；

3°O→A，得C→N；这样有序讨论，才能做到不重不漏。

解二：中点坐标公式法

设点 N ( m, n )，而点A、C、O 的坐标分别为（-4, 0)、(2, 6)、(0, 0),

①∵AC的中点为(-1,3),

ON的中点(m/2,n/2),

∴m/2=-1且n/2=3，∴m=-2且n=6，

∴N(-2,6)；

②∵AO的中点(-2,0),

CN'中点((m+2)/2,(n+6)/2)，

(m+2)/2=-2且(n+6)/2=0，

m=-6且n=-6，∴N'(-6,-6)；

③CO的中点(1,3)，

AN''中点((m-4)/2,n/2)

(m-4)/2=1且n/2=3，∴m=6且n=6，

∴N''(6,6)；

综上所述，点N的坐标为(-2, 6)或者(-6, -6)或(6, 6).

解法三：边、对角线法

1°当 AO是边时，

∴NC∥AO(x轴)，且NC=AO=4，

∴点N的纵坐标(n)=点C的纵坐标(6)

且|m-2|=4，∴n=6，m=6或m=-2，

∴N(6, 6)或N'(-2, 6)

2°AO是对角线，则对角线AO、CN

平分于G(-2,0)，设N(m,n)，

由中点坐标公式得：

-2=(m +2)/2且0=(n+6)/2，

∴m=-6，n=-6，N''(-6, -6)

综上所述，点 N(6 , 6)或者N(-6 , -6)或者N(-2, 6).

【小结】

平行四边形存在性问题也是中考数学会考的内容之一，一般在三定点一动点情况下或者在二定点二动点情况下，来探索平行四边形存在性。这道中考题是在直角坐标系的背景下，知三点坐标再找一点使它们构成平行四边形来，我们用了三种解法：

(一)从边上——平移法；

(二)从对角线上——中点坐标公式法；

(三)以某某为边，再以这条边为对角线。

方法(一)、(二)适合探索任何三定点一动点型的平行四边形存在性考题，学过平面直角坐标系的中点坐标公式用方法(二)似乎更容易些，但已知点组成的边在特殊位置时，方法(三)可能更简单，心算就可以了。

★附：平移法和中点坐标公式法的依据和方法：

线段的平移:在平面直角坐标系中,，线段AB平移到线段A'B'，则四边形ABB'A'是平行四边形。即(1)AB//A'B 且AB= A'B';(2)AA'//BB'且AA'=BB'。

(一)平移法：点A到点A'的平移过程：向右(左)平移m个单位，向上(下)平移n个单位，那么点B 到点B'平移的过程应该一样。因为知道了三个点，所以只要利用初一平移的知识点就能求出第四个点的坐标。

(二)中点坐标公式法：由于四边形 ABB'A'是平行四边形，那么根据平行四边形的对角线互相平分可知：线段AB'与线段A'B的中点为同一个点。因为知道了三个点，所以只要利用中点坐标公式就能求出第四个点的坐标。

★第(3)题的说明：∵AM=定值(2√2)，∴△AMQ的周长=2√2+MQ+QA。问题就转化为在y轴上取一点Q, 使到定点M、A距离之和最短，这就成了我们上海教材在中预年级学了两点间线段最短后的作图题，是初二年级学了一次函数后的练习题。只要作对称，利用两点间线段最短，直接转化为求线段所在的直线于y轴的交点即可，应该难度不大。