“洛书”与“河图”，“幻方”与“数阵”，聪明人未解之谜：“三三图（九宫格）”、“四四图”、“五五图”…“百子图”之奥秘

宇翔教育•刘昱祥

　　很多人都觉得自己聪明，下面这系列问题就是聪明人未必能解之谜，“三三图（九宫格）”、“四四图”、“五五图”……“百子图”里填数字，加起来，横看竖看斜看，都等于一个固定的数，就各有其奥秘。



这就是数阵图（幻方）问题，其研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题。传说公元前二千多年，在大禹治水的时候，在黄河支流洛水浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案(如图 1)，后来人们把它称之为“洛书”、相传在我国远古的时代，有一匹龙马游于黄河，马背上负有一幅奇的图案，这就是所谓的“河图”，实际上它是九个数字排成一定的格式(如图2)，图中有个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。

　　一般地，在nXn（n行 n 列）的方格内，不重不漏填上 nXn 个连续自然数，并且每行、每列、每条对角线上 n 个自然数的和都相等，则称它为n 阶幻方。这个和叫做幻和，n 叫做阶。

幻方又叫魔方，九宫算或纵横图。

魔方：我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作 Magic Square，译成中文是“幻方”或“魔方”。

九宫算：所谓九宫，就是将一个正方形用两组与边平行的分割线，每组两条，分割成的九个小正方格，每个小方格分别填入从 1 到 9 这九个自然数中的其中一个，不同的方格填入的数不同，使得三横行中每一横行三个数的和（叫行和），三纵列中每一纵列三个数的和（叫列和），两条对角线中每一条对角线上三个数的和（叫对角和）都相相等，这样得到的图就叫九宫（算）图。

纵横图：长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。

解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。（定中间数，填四角数，算其余数】

三阶幻方：就是将九个连续自然数填入 3×3（三行三列）的方格内，使每行每列、每条对角线的和相等，这叫做三阶幻方。

奇数阶幻方：

“罗伯法”“楼贝法”

西欧在十六，十七世纪时，构造幻方非常盛行。十七世纪，法 E路第十四对构造幻方有着浓厚的兴趣，他专门派 De La Loubere（楼贝）出使泰国（1687-1688），Loubere：将在邏罗学的构造作画何奇数阶幻方法的一种统一的方法1 居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框时往下填，右出框时左边放，排重便在下格填，右上排重一个样。

杨辉方法：杨辉在《续古摘奇算法》中，写到“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”

　　杨辉给出的方形纵横图共有十三幅，它们是：洛书数（三阶幻方）一幅，四四图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，七七图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九九图（九阶幻方）一幅，百子图（十阶幻方）一幅（参见图 1-9-3）。

其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法。如“洛书数”的构造方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。

但可惜的是，杨辉只停留在个别纵横图的构造上，没有上升成一般的理论。他所造出的百子图，虽然每一行和，每一列都等于（1+2+3+…97+98+99+100）=505，但两对角和不是等于 505，直到我国清代的张潮（165—？）费了九牛二虎之力才造出第一个两对角和也是 505 的百子图。

偶数阶幻方：

对称交换的方法。

1、将数依次填入方格中，对角线满足要求。

2、调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调。

3、调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。

数阵图：把一些数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形，叫做数阵图。

1、封闭型：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。（1—6）

2、辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。（1—9 和相等）

3、复合型：复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。(1~7,和相等)

典型举例1

将1～8 这八个数分别填入右图的O中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

解答幻方和数阵关键

　　解答幻方和数阵图的关键是抓住图中容易填的部分，特别是图的中心，然后再填其他部分。

我国古代就对幻方与数阵有深入的研究，并且进行了幻方编制，常见的方法有九子排列、上下对易、四维挺出、左右相更，三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的几个数之和都相等，这个相等的和叫“幻和”。

编制幻方应注意几点：

1、幻和＝中心数×3

2、正中间数＝幻和÷3

3、幻和＝9个数之和÷3

4、9个连续的自然数中，第2、4、6、8个数是四个角上的数，而第5个数是中心数。

下面我们通过一些例题来学习掌握数阵的解决方法。

　　请看下面这几个数阵问题，是如何解开的。

❶三三图（九宫格）

　　在九宫格（三三图）里，放入1~9个数字，使之加起来，横着看三行各自分别加起来结果都是15、竖着看三列分别加起来结果也都是15、斜着看两个也加起来结果还都是15。

结果如下：

解题分析：这就是我们常常提到的“三阶幻方”。填这个图要注意以下几点：

⑴因为题目要求“横列、纵列及对角线”上的三个数的和全相等，就必须将1～9的中间数“5”填在图的正“中心”，以便让四周所有的数都和它“相加”;

⑵因为“拐角”上的数要“加三次”(即横列、纵列和对角线，所以，“1”和“9”这两个最小和最大的数不能填在“拐角”上，可以随意填在某一边的中间(如图)。

　　⑶因为“1”是这九个数中最小的数，所以与它相”连”的数应填“8”。

这几个关键的数填好之后，其余各数就非常好填。大家不妨试一试，而且应当换位置多试几次。多试填几次，可以填很多种，不仅好玩而且有益。

　　同样，还是这个三三图的九宫格中，里面放入5~13这9个数，使之横着看三行各自加起来结果、竖着看三列各自分别加起来结果、斜看的两个加起来结果都是34，如何放呢？

结果的视频如下：

　　请在下图空格中填上适当的数字，使每一横行，每一竖行，每一斜行的三数之和相同。

解题分析：

通过观察可以发现，该题没给定数字的和，也无法求出和，我们来分析下本题，用一些小动物来代替方格中的数字，我们先从数字最多的行入手，即:

斜行52+78+牛＝牛+灰狼+130，等号两边都出现了牛，可以将两边的牛都去掉，即:52+78＝130+灰狼，则灰狼＝52+78-130，现在大灰狼可以走了。

同理:130+78+山羊＝山羊+52+熊，则同理求出熊＝130+78-52＝156，现在熊也可以走了。

求出熊和灰狼后，就可得出每横行、每竖行、每斜行的和为156+78+0＝234，现在我们可以依次把白兔、牛、山羊、猴子求出来。

　　把1～7这七个数分别填入下图各圆圈内，使三条线段上的三个数的和相等(如图)。

解题分析：根据题意，我们在计算图中三条线段上的各数之和时，正中心的那个数被用上了3次，即被多加了2次。若正中心这个数填的是“A”，那么“1+2+3+4+5+6+7+2A”一定能被3整除(三条线段上的各数和相等)。因为(1+2+3+4+5+6+7)的和除以3的余数是1，所以“2A”除以3就应余2。

由“2A被3除，余2”，可知，A应当为1、4或7。

当中心数填“1”时，各条线段上的数字和为:(1+2+3+4+5+6+7+1x2)÷3＝10；

当中心数填“4”时，各条线段上的数字和为:(1+2+3+4+5+6+7+4x2)÷3＝12;

当中心数填上“7”时各条线段上的数字和为:(1+2+3+4+5+6+7+7x2)÷3＝14。

推算出了中心数及相应的各线段上的数字和，再来填“数阵图”就非常容易了，而且每种的填法都有好多种，现各选一种填法如下图：

　　把1～9填入图中的圆圈里，使它每条边上的四个数的和都等于20(又知某角上已经填了“8”)。

解题分析：

在计算三边之和的时候，三个角上的数都被用了2次，即分别多用了一次。题这九个数的和是20，总和则是60，而1～9这九个数的和是(1+9)×9÷2＝45，由此可知，三个角上的数字和为60-45＝15。已知一个角上的数字是“8”，另外两个角上所填数字之和一定是“7”。

和为“7”的两个数的取值情况有：1和6；2和5；3和4。

经过以上分析，再来填图也不会太困难了。下面图中就是其中的两个基本的填法：

　　把1～9九个数填入图中的各圆圈内，使每个角到中心的三个数的和相等，并且使两个正方形四个顶点上的数的和也都相等。

解题分析：

这个数阵图既有辐射型的要求，又有封闭型的要求，因此，我们在分析时应当分两步来思考。

⑴先按辐射型来分析：中心数被多加了三次。1～9各数的和是45，加中心数重复计算之和应能被“4”整除(向周围四个角辐射)，因此，中心的那个数只能填1、5或9。由此便得到三种基本的填法如下图：

　　⑵再按封闭型分析：它们分别去掉中心数后，外边两个正方形的四个数的和应分别为：

(45-1)÷2=22

(45-5)÷2=20

(45-9)÷2=18

最后只要根据这些算出来的“和”，将内外两个正方形中的个别数字稍加调整，就可以了(见下面图中三种填法)。

❷四四图

　　此外还有“四四图”。

就是在横四、竖四的格里，放入1~16个数字，各自分别加起来，使之横看四行各自都是34，竖看四列各自分别都是34，斜看也都是34。如何放置？

结果如下：

❸五五图

　　当然，也有“五五图”。

就是把1~25个数字，放入横五竖五的25格当中，使之加起来，横看结果都是65，竖看结果都是65，斜看的结果也是65。如何放呢？

结果如下：

23、2、15、20、5；

4、18、9、12、22；

1、7、13、19、25；

16、14、17、8、10；

21、24、11、6、3；

古之解法：

❹六六图

　　就是把1~36个数字，放入横6竖6的36格当中，使之加起来，横看结果都是111，竖看结果都是111，斜看的结果也是111。如何放呢？

结果如下：

35、01、06、26、19、24

03、32、07、21、23、25

31、09、02、22、27、20

08、28、33、17、10、15

30、05、34、12、14、16

04、36、29、13、18、11

　　那么，这类问题的具体算法怎样？从上面的几个当中，有人发现了规律，其余的各题，均可依此类推，不足为奇。

❺七七图

　　七七图（1—49排列成7行7列）

❻八八图

　　八八图（1—64排列成8行8列）

❼九九图

　　九九图（1—81排列成9行9列）

❽十十图

　　十十图（1—100排列成十行十列）

　　“百子图”问题是：

百子图，也叫它百子迎福图、百子嬉春图、百子戏春图。

在中国传统文化中有它的一种特定含义。由于“百”含有大或者无穷的意思，因此把祝福、恭贺的良好愿望发挥到了一种极至的状态。在礼仪之邦的中国，上到古代的皇帝、士大夫，下到普通文人、平民，都愿意在喜庆、甚至平时用上它，因为大家相信，愿望好的结果一定会好。

五行阴阳数字图

　　五行阴阳数字图是将1至49数字分别划分为五行（金、木、水、火、土）：

金（1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、41、45）；

木（2、6、10、14、18、22、26、30、34、38、42、46）；

水（3、7、11、15、19、23、27、31、35、39、43、47）；

火（4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48）；

土（49）。

分别象征着五种不同的元素，而这五种元素也引申出一系列的内涵。

从《射雕英雄传》看各种谜图

　　《射雕英雄传》中有这么一个桥段：

黄蓉被裘千仞的铁掌打伤，郭靖带着黄蓉去找一灯大师求救，途径瑛姑的住所，黄蓉发现瑛姑隐居的地方和桃花岛相似，黄蓉很轻松破了桃花阵进到瑛姑的房间，看见瑛姑正在苦算大数的开平方和开立方，黄蓉快速算出结果告诉瑛姑，瑛姑验算后都对，瑛姑大为惊奇。

《射雕英雄传》原文：

那女子（瑛姑）沮丧失色，身子摇了几摇，突然一交跌在细沙之中，双手捧头，苦苦思索，过了一会，突然抬起头来，脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”

黄蓉心想：“我爹爹经营桃花岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫图。

【注解】

戴指的是头上戴的，因此九的填写位置在第一行中间；履指的是脚上穿的，因此一的填写位置在第三行中间；古人的书写顺序是从上至下，从右至左，因此二在右上角，四在左上角；六在右下角，八在左下角。九宫图答案如下图：

九宫格

《射雕英雄传》原文：

黄蓉笑道：“不但九宫，即使四四图，五五图，以至百子图，亦不足为奇。就说四四图吧，以十六字依次作四行排列，先以四角对换，一换十六，四换十三，后以内四角对换，六换十一，七换十。这般横直上下斜角相加，皆是三十四。”那女子依法而画，果然丝毫不差。

【注解】

将1~16依次填入如图所示：

　　“四四图”的破解之法：

将1和16对换，4和13对换，6和11对换，7和10对换，这样即得到四四图答案，横竖斜之和均为34。如下图所示：

　　“九宫八卦图”，那就更加难解。

结果之一是：

01 18 02 17 03 24

72 19 71 56 21 39

55 36 35 20 16 52

54 37 38 53 57 70

15 04 05 41 31 06

22 69 68 32 42 13

51 33 14 50 49 67

58 40 59 23 24 60

07 12 26 29 28 09

66 61 47 44 45 10

25 48 11 65 27 64

30 43 08 62 46 63

九宫八卦图共有4^9＝262144种变化，即有262144种排列方式，以上只是其中一种。

　　《射雕英雄传》原文：

黄蓉道：“那九宫每宫又可化为一个八卦，八九七十二数，以从一至七十二之数，环绕九宫成圈，每圈八字，交界之处又有四圈，一共一十三圈，每圈数字相加，均为二百九十二。这洛书之图变化神妙如此，谅你也不知晓。”

【注解】

九宫八卦图解法比较复杂，此处只附答案如下：

九宫八卦图

黄蓉离开瑛姑住所时，黄蓉给瑛姑出了三道题。

第一道是包括日、月、水、火、木、金、土、罗 、计都的“七曜九执天竺笔算”；

第二道是“立方招兵支银给米题”；

第三道是“鬼谷算题”：“今有一数不知几何，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问数几何？”

【注解】

第一道“七曜九执天竺笔算”，“七曜九执天竺笔算”并非是一道算题，而是一种历法，它指的是从印度传来的九执历。在此不做赘述。

第二道“立方招兵支银给米题”由如下五个小题组成：

一、今有官司，差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日较多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？

二、今有官司，依平方招兵，初段方面四尺，次日方面转多二尺，每人日给银一两二钱。已招兵四千九百五十六人，支银二万六千四十两，问招来几日？

三、今有官司，依圆箭求招兵，初束外周一十二只，次束外周较多六只，每人日给米四升。已招四千九百五十人，支米九百三十一硕二斗，问招来几日？

四、今有官司，依平方招兵，初段方面五尺，次段方面转多一尺，每人日给米三升，次日转多三升。已招兵二千四百四十人，支米四千四百七十七硕三斗二升，问招来几日？

五、今有官司，依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，每人日支钱二百五十文。已招二万三千四百人，支钱二万三千四百六十二贯，问招来几日？

这5个小题表面看其表述看得稀里糊涂，读者中有兴趣的高手可以参与作答。

第三道“鬼谷算题”，也称“韩信点兵”，解法如下：

先从5和7、3和7、3和5的公倍数中相应地找出分别被3、5、7除均余1的较小数70、21、15 ，此步又称为求"模逆"运算。即

70÷3=23……余1，

21÷5=4……余1，

15÷7=2……余1。

再用找到的三个较小数分别乘以所要求的数被3、5、7除所得的余数的积连加，70×2+21×3+15×2=233。

最后用和233减去3、5、7三个除数的最小公倍数的整数倍，X=233-105n，当n等于2时，得此题的最小整数解为23。

此题的通解可以写为X=23+105n（n∈N）。

明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：

三人同行七十稀，五树梅花二十一，七子团圆正半月，除百零五便得知。

这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的解法。

意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后减去105（或者105的倍数），得到的余数就是答案。