老年大学笔记:黄金分刈线

清峰

本课要点

1.黄金分割的历史:自古希腊人开始研究至今已有约2500年的历史，早期属于自然哲学的黄金分割。

2.黄金分割的应用:在科学、艺术、建

筑、技术各领域有着广泛的应用，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星等许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比的关系。

3.黄金分割在摄影中的运用:在摄影实践

中，运用黄金分割法则主要表现在黄金分割点、线、面的运用中。

4.黄金分割与军事的联系:无论是古希腊

帕特农神庙的美轮，还是中国古代的兵马俑，它们的垂直线与水平线之间的关系完全符合1:0.618的比例。

你从电视中见过碧水轻流的安大略湖畔的加拿大名城多伦多吗？这个高楼大厦鳞次栉比的现代化城市中，最醒目的建筑就是高耸的多伦多电视塔，它器宇轩昂，直冲云霄。有趣的是嵌在塔中上部的扁圆的空中楼阁，恰好位于塔身全长的0.618倍处，即在塔高的黄金分割点上。它使瘦削的电视塔显得谐、典雅、别具一格。多伦多电视塔被称为“高塔之王”,这个奇妙的“0.618”起了决定性作用。与此类似，举世闻名的法兰西国土上的“高塔之祖"-埃菲尔铁塔，它的第二层平台正好坐落在塔高的黄金分割点上,给铁塔增添了无穷的魅力。

舞台上，演员既不是站在正中间,也不会站

在台边上，而是站在舞台全长的0.618倍处,站在这一点上，观众看上去才惬意。我们所熟悉的米洛斯维纳斯”“雅典娜”女神像及“海姑娘”阿曼达等些名垂千古的雕像中，都可以找到“黄金比值”-0.618，因而作品达到了美的奇境。达·芬奇的《蒙娜丽莎》、拉斐尔笔下温和俊秀的圣母像，都有意无意地用上了这个比值。因为人体的很多部位，都遵循着黄金分割比例。人们公认的最完美的脸型鹅蛋”形，脸宽与脸长的比值约为0.618

《梦幻曲》是一首带再现三段曲式，由A、B和A三段构成。每段又由等长的两个4小节乐句构成。全曲共分6句，24小节。理论计算黄金分割点应在第14小节(240.618=14.83),与全曲高潮正好吻合。有些乐曲从整体至每一个局部都合乎黄金比例，本曲的六个乐句在各自的第2小节进行负相分割(前短后长);本曲的三个部分A、B、A在各自的第二乐句第2小节正相分割(前长后短)，这样形成了乐曲从整体到每一个局部多层复合分割的生动局面,使乐曲的内容与形式更加完美。大、中型曲式中的奏鸣曲式、复三段曲式是一种三部性结构，其他如变奏曲、回旋曲及某些自由曲式都存在不同程度的三部性因素。黄金比例的原则在这些大、中型乐曲中也得到不同程度的体现。一般来说，曲式规模越大，黄金分割点的位置在中部或发展部越*后，甚至推迟到再现部的开端,这样可获得更强烈的艺术效果。莫扎特《D大调奏鸣曲》第一乐章全长160小节,再现部位于第99小节,不偏不依恰恰落在黄金分割点上(1600.618=98.88)据

其他如变奏曲、回旋曲及某些自由曲式都存在不同程度的三部性因素。黄金比例的原则在这些大、中型乐曲中也得到不同程度的体

现。一般来说，曲式规模越大,黄金分割点的位置在中部或发展部越*后，甚至推迟到再现部的开端,这样可获得更强烈的艺术效果。莫扎特《D大调奏鸣曲》第一乐章全长160小节，再现部位于第99小节,不偏不依恰恰落在黄金分割点上(1600.618=98.88)据美国数学家乔巴兹统计，莫扎特的所有钢琴奏鸣曲中

有94%符合黄金分割比例，这个结果令人惊叹。我们未必就能弄清，莫扎特是有意识地使自己的乐曲符合黄金分割呢，抑或只是一种纯直觉的巧合现象。然而美国的另一位音乐家认为。“我们应当知道，创作这些不朽作品的莫扎特，也是一位喜欢数字游戏的天才。莫扎特是懂得黄金分割，并有意识地运用它的。“贝多芬《悲怆奏鸣曲》Op.13第二乐章是如歌的慢板,回旋曲式，全曲共73小节。理论计算黄金分割点应在45小节，在43小节处形成全曲激越的高潮，并伴随着周

式、调性的转换，高潮与黄金分割区基本吻合。肖邦的《降D大调夜曲》是三部性曲式。全曲不计前奏共76小节，理论计算黄金分割点应在46小节,再现部恰恰位于46小节，是全曲力度最强的高潮所在，正是时长黄金分刈点所在

黄金分割及应用

李新英

摘 要：黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比的关系。当人们认识了这一自然法则之后，就被广泛地应用于人类的生活之中。此后，在我们的生活环境中，就随处可见了，如建处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、报纸、杂志；现代的电影银幕。电视屏幕，以及许多家用器物都是近似这个数比关系构成的。它特别表现艺术中，在美术史上曾经把它作为经典法则来应用，许多艺术家自觉地被黄金分割的魅力所诱惑，从而使数学与艺术创作紧密的结合起来，创造了不少不朽的名著。

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关键词：黄金分割；艺术创作；斐波那契数列

1.引言

大千世界的万事万物都有其独特的结构形式，因而关于形体的结构比例也是多种多样的。人们最常见的一种和谐比例关系，就是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”，又称“黄金段”或“黄金律”。黄金分割指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。0.618被公认为最具审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：

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1/0.618=1.618

(1-0.618)/0.618=0.618 [1]

这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。 其无穷魅力再许多伟大的作品中都有体现。

2. 神奇美妙的黄金分割

2.1黄金分割的起源与数学证明

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公元前4世纪，古希腊著名的数学家、天文学家欧多克斯，他曾研究过大量的比例问题，提出“中外比”。虽然最先系统研究黄金分割的是欧多克斯，但是，现在人一般认为，黄金分割是由公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。用C点分割木棒AB，整段AB与长段CB之比，等于长段CB与短段AC之比。

毕达哥拉斯还发现，把较短的一段放在较长的一段上面，也产生同样的比例，这一规律可以重复下去。

经计算得出结沦：长段aa（CB）与短段

bb（AB）之比为1:0.618，其比值为0.618。可用下面的等式表达

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在《几何原本》一书中，欧几里得将黄金分割做了系统的论述，这一神奇的比例关系，后来被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”，简称“黄金律”、“黄金比”。19世纪威尼斯数学家帕乔里将黄金分割律誉为“神赐的比例”。文艺复兴时期，许多艺术大师把黄金分割与人们的审美联系在一起。黄金分割更被广泛的应用于艺术创作之中。

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黄金分割是古希腊人的重大发现，表现为数学命题：已知一线段，试把它分成两部分，使长的一段为短的一段和原线段的比例中项。

例：设原线段常为aa，≈1.618

均是黄金分割数或者黄金分割。

2.2黄金分割与裴波那数列

裴波纳奇数与黄金分割有何关系？数列存在这样的递推关系：

F_{1}=F_{2}=1

F 1=F 2=1，F_{n+2}=F_{n}+F_{n+1},n∈N^{*}F n+2=F n+F n+1

,n∈N ∗。前几项为

1,1,2,3,5,8,13,21,

1,1,2,3,5,8,13,21,

……则数列

\begin{Bmatrix}F_{n}\end{Bmatrix}

{ F n}叫做斐波那契数列，简称F-数列。它是13 世纪意大利数学家Fibonacci 在研究小兔问题时提出的。

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裴波纳奇数数列的递推关系式：

\left\{\begin{matrix}\begin{array}{c}a_{1}=a_{2}=1\\ a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}\begin{pmatrix}a≥3,n和a是自然数\end{pmatrix}\\ \end{array}\end{matrix}\right.

{ a 1=a 2=1a n+2=a n+a n+1

(

ϕ

. 这使得黄金分割与F-数列的联系更加紧密。因此，它们在应用上也有很多共同之处，斐波那契数列和黄金分割法相似，他们的区别在于斐波那契数列每次的缩短率不是常数，而是由斐波那契数列决定的。

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3 黄金分割法的应用

1953 年，美国的弗基提出0.618 法获得大量应用, 特别是工程设计方面.20 世纪70 年代初，我国著名数学家华罗庚在应用优选法方面做出了杰出贡献，使得黄金分割法在我国得以推广，并取得了很大的成就，以下给出黄金分割法在生产生活及计算数学中的应用实例

^{\begin{bmatrix}4\end{bmatrix}}

[ 4]。

3.1 黄金分割法的基本思想及优选法

黄金分割法, 也叫0.618 法，是黄金分割在优选法上应用的一种方法,是优化计算中的经典算法，以算法简单、效果显著而著称，是许多优化算法的基础，它适用于一维区间

\begin{bmatrix}a,b\end{bmatrix}

[ a,b]的单峰函数，其基本思想是：依照“去坏留好”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索范围。具体地说：

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设f是定义在区间

\begin{bmatrix}a,b\end{bmatrix}

[ a,b]的下单峰函数，有唯一的极，因为新的区间内包含了一个已经计算过函数值的点，所以从其中找出一个试点，又可将这个新的区间再缩短一次，不断地重复这个过程,直至最终的区间长度缩短到满足预先给定的精度为止。

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目前，由于史文谱、刘迎曦等人的努力，用推广的黄金分割法已经能够求解部分多维区域上的函数的最优解了（如例2）。

^{\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}

[ 3]

例2：用黄金分割法和Fibonacci 法求函数f\begin{pmatrix}x\end{pmatrix}=x^{2}−x+2f( x)=x 2−x+2

在区间[-1，3]上的极小点，要求最终区间长不大于原始区间长的0.08。

解：函数

f\begin{pmatrix}x\end{pmatrix}=x^{2}

)×0.08==1.750

由此我们可以看到，这两种方法都是通过缩短搜索区间来逼近最优值的。它们的算法在优化问题的求解中发挥着重要的作用.

3.2 黄金分割法在冷压装配中的应用

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自行车链轮（一种板料冲压）与右轴柄（一种切削件）要装配成一个组合件，通过链轮内孔与曲柄小台阶外径处的冷压铆合来达到抗扭强度要求，经过2000KN 扭力，在1min 后，两者的铆合处不得发生转动。冷压铆合前，于链轮的内孔上须冲压出一定数量的不冲通内齿形。内齿数太多，冷压装配时曲柄小台阶外径处的材料挤压入其间因量少而铆合不牢；内齿数太少，材料又难以压入填满其间而铆合不牢。故内齿数目有一个最佳值的问题。

1)确定初始点及可行区间

原有一模具(冲头)，冲出链轮内齿40 牙/周， 所有组合件均发生转动，转动率100%; 后来加工了一个10 牙/周的冲头，结果转动率仍为60%之多。经分析，小于10 牙/周的冲头也不行。故其实验的区间为[10,40]；精度要求为转动率为0。

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2) 0.618 法优选齿数

①新加工模具(齿数)

λ_{1}=a+0.618\begin{pmatrix}b−a\end{pmatrix}=10+0.618\begin{pmatrix}40−10\end{pmatrix}≈28

3.3 黄金分割在股票价格变化中的应用

通常，黄金分割法中的黄金点为0.618 和0.382。但在股票价格涨幅与跌幅的测量中， 用黄金分割法时除了用0.618 和0.382 作为反压点外，其间还会用到0.382 的一半这个点作为反压点，即0.191 这一点.这是股市中的实际，也可能是其特点。因此，当预测股价上升能力与可能反转之价位时，可用前段下跌行情之最低点值乘以0.191，0.382， 0.618，0.809， 1。 当超过一倍的涨幅时,其反压点1.191,1.382,1.618,1.809,2，相仿当预测下跌反压点时可乘以0.809，0.618， 0.382， 0.191。

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例如，当下跌行情结束前，某股的最低价为10 元，那么，股价反转上升时，可预先计算出不同反弹价位：

10*(1+0.191)=11.9 元 10*(1+0.382)=13.8 元

10*(1+0.618)=16.2 元 10*(1+0.809)=18.1 元

10*(1+1)=20 元 10*(1+1.191)=21.9 元

当上升行情结束前，某股的最高价为30 元，那么，当股价反转下跌时，下跌反压点可能为：

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30*(1-0.191)=24.3 元 30*(1-0.382)=18.5 元

30*(1-0.618)=11.5 元 30*(1-0.809)=5.7 元

下面列出1970～1980 年台湾股票加权股价指数的实际涨、跌值及按黄金点计算价值的对照情况表(见表2)

表2 实际涨跌值与黄金点计算值

序号 时间 实际下跌、上涨价 按黄金分割计算价

1 1973 年底—1974 年底 514.85 188.74 514.85*0.382=197.6

2 1975 年初 429.02 188.74*（1+1.191）=413.53

3 1976年3 月—1976 年底 417.00 257.55 417*0.618=257.70

4 1977 年5 月—1977 年10月 313.92 688.52 313.92*（1+1.191）=687.80

5 1978 年—1981 年 688.52 430 688.52*0.618=425.50

6 1982 年—1983 年7 月 421.43 765.71 421.43*（1+0.809）=766.50

7 1983 年底—1984 年 969.25 421.43*（1+1.191）=923.30

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3.3黄金分割的另一种表示——三角表示

由

\sin 36^{0}=\cos 54^{0},即sin\begin{pmatrix}2*18^{0}\end{pmatrix}=\cos \begin{pmatrix}3*18^{0}\end{pmatrix}

sin36 0=cos54 0,即sin( 2∗18

冠以“黄金图形”的几何图形还有很多：黄金矩形、黄金椭圆、黄金立方体、五角星等。这些图形蕴含着客观美和数学的奇异之美，深受人们的喜爱与重视，在艺术及生活中都有着广泛的应用。

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4 黄金分割的美学价值

黄金分割点在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，黄金分割是一种数学上的比例关系，它给画面带来美感，令人愉悦。

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如图（矩形ABFE） 为黄金分割矩形：

i.一个正方形边 线的中点A向对角B画一条斜线，以斜线为半径画出的弧线，与正方形的延长线相交于C点。构成一个黄金矩形；

ii.大矩形和小矩形的对角线和边线的相交点，成为黄金二次分割的起始线；

iii.这个分割过程可以无限继续下去，产生许多更小的等比的矩形和正方形。

（如图）设因为ABDC是正方形，所以

\frac{AB}{AE}=\frac{\sqrt{5}−1}{2},

AE

AB= 25−1

,

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\frac{CE}{CD}=\frac{AE−AC}{CD}=\frac{AE}{AB}−1=\frac{2}{\sqrt{5}−1}\\ =\frac{\sqrt{5}+1}{2}−1=\frac{\sqrt{5}−1}{2}

CD

CE=

CD

AE−AC= ABAE−1= 5−12=

25+1−1= 25−1

​

即CDFE也是黄金分割矩形[3]

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（图I）

怎会不令人由衷地赞叹。这就是科学与艺术的完美结合（图I）。科学与艺术自古就是一枚硬币的两个方面，黄金分割就是一个典型的代表。科学家和艺术家普遍认为，黄金律是设计师需要遵循的首要原则。古代绘画大师大都遵循“黄金分割律”作画。黄金分割律在构图中被用来划分画面和安排视觉中心点。画面中理想的分割线需要按下列公式寻找：用0.618 乘以画布的宽，就能得到竖向分割线，用0.618乘以画布的高，就能得到横向分割线。用上述方法共能得到四条分割线，同样也得到四个交叉点。将这四个美感诱发点连接起来，就能产生“九宫布局”（即井字分割）。画面的地平线或垂直主体时，可把它们安排在井字分割线上或附近的位置上，可以避免画面被割裂的视觉感受而获得舒适、协调的构图。黄金分割律作为一种重要的形式美法则成为世代相传的审美经典规律。

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早在古希腊时期，人们相信黄金分割可以给人一种特别的美感，所以在雕塑等方面把它作为一特定的审美标准而使用。如维纳斯女神雕像，其上半身和下半身的比恰好符合黄金分割比，因而被认为是代表了最优美的身段。文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。当时，出现了好几位身兼几何学家和画家的人物，著名的有派奇欧里、丢勒、达·芬奇等，他们把把几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。 他们看中并运用这个奇妙的比例，取得了不朽的艺术成就。与达·芬奇并称文艺复兴三大巨匠的米开朗其罗、拉斐尔的著名作品中也屡屡出现这一黄金比例。如米开朗其罗的《圣家庭》中人物构图布置中包含着一个“黄金五角星”。而拉斐尔的《刑罚》中人物布局巾．以“蕾余三角形”和“黄金五角星”展开。

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可见，作为一种美的比例，黄金分割一直被历代艺术家们所推崇。时至今日，它依然呈现于众多优秀艺术、设计中。许多优秀美术作品将算术和代数、平面几何、立体几何、解析几何、拓扑学、透视方法、对称性质等数学原理运用其中。数学使得美术更容易掌握,美术使得数学平易近人。数学中的黄金分割在美术作品中的广泛运用。黄金分割(Golden Section)是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值。

4.1美术与射影几何

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在二维平面上画出立体图形，既可以使用平行投影，也可以使用中心投影。在西方历史上，中心投影画法的提出和发展主要归功于文艺复兴时期的绘画大师们。

在这一时期，艺术家们想以一种真实而客观的方式把景物画到画布上。这就要面对准确地把三维空间的现实世界表现在二维平面画布上的问题。为了获得一个有效的方法，艺术家们最初是采用反复试验，在黑暗中进行艰苦探索。到了15世纪，他们开始努力探讨在二维平面上展现三维物体的数学基础。这导致了透视法的产生及射影几何的产生。

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5.结束语

黄金分割这艺术学历的美学数字，不仅办帮助我们解决了不少数学领域的难题，更渗透到其他各个学科之中，发挥着至关重要的作用。在生活中，还有更多的神秘和美学有待发现、研究，关注数学，会看到更多黄金分割的魅力。而其它领域的成长、发展又会对数学领域产生积极的推动作用。

我们首先要感受到并体会到数学学习中的美。数学美不同于其它的美，是一种独特的内在美。正如英国著名哲学家、数理逻辑学家罗素所说：“数学，如果正确的看待它，不但拥有真理，而且也具有至高无上的美，正像雕塑的美，是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性的微弱方面，这种美没有绘画或音乐那样华丽的服饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有伟大的艺术能现实的那种完美的境界。”课堂上老师经常给我们讲数学美，通过高等数学的学习，我渐渐领略到数学美的含义，这种 感觉是奇异的，微妙的，是可以神会而难以言传的，数学，对我来说，是那样的富有魅力，在生活中只要我们善于观察，善于思考，讲所学的知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣。生活中处处都应用着数学的知识。

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参考文献

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