几何最值模型系列(19)——加权费马最值模型

数学寻梦人

<p class="ql-block">如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是△ABC内部一动点，求√2AM+√2BM+2CM的最小值.</p> <p class="ql-block">思维障碍</p><p class="ql-block">共端点三条线段不符合应用“两点之间线段最短”的图形结构，且是三条线段的倍数的线段更加难以处理</p><p class="ql-block">有待解决问题：</p><p class="ql-block">1.怎样是三条线段通过转化符合需要的图形结构？</p><p class="ql-block">2.怎样寻找构成线段倍数的线段图形结构和思维方法？</p><p class="ql-block">问题的思维障碍也是问题突破的关注点，也是引起数学思考的敏感点.</p> <p class="ql-block">思维突破</p><p class="ql-block">1.由结论中的权值可以想到三边比为√2：√2：2的直角三角形，怎样构造？</p><p class="ql-block">构建等腰直角三角形三边比1：1：√2</p><p class="ql-block">2.由结论中最值问题选择“两点之间线段最短”怎样把三定点转化为两定点，共端点三线段转化为两定点之间的三条线段(含权值)？</p><p class="ql-block">3.由等边三角形可以联想到旋转全等模型或者旋转+相似模型，联系权值应构建旋转相似模型.</p> <p class="ql-block">思维路径</p><p class="ql-block">方法一：绕点B旋转放缩△ABM</p><p class="ql-block">环节一构建等腰直角三角形</p><p class="ql-block">1.以BM为斜边作等腰Rt△BMN使BM：BN：MN＝√2：1：1；在以AB为斜边作直角△ABD使AB：BD：AD＝√2：1：1，连接DN——构造旋转+相似模型结构</p><p class="ql-block">2.证△ABM和△DBN相似</p><p class="ql-block">条件：AB：DB＝MB：NB＝2：√2，∠ABM＝∠DBN</p><p class="ql-block">可得MN＝√2/2BM，DN＝√2/2AM——构造加权线段</p><p class="ql-block">注：固定CM，构建两条新线段√2/2AM和√2/2BM，通过构建等腰直角三角形旋转放缩转化△ABM——结论中两条线段AM和BM.</p> <p class="ql-block">环节二：作最值位置</p><p class="ql-block">连接CD，当点C、M、N和D四点共线时CM+MN+ND取最小值，即√2/2AM+√2/2BM+CM最小</p> <p class="ql-block">环节三：求最值</p><p class="ql-block">①作DE⊥BC于CB延长线上的点E</p><p class="ql-block">②在Rt△BDE中，∠DBE＝45°</p><p class="ql-block">可得DE＝3，BE＝3——三角函数</p><p class="ql-block">则CE＝11</p><p class="ql-block">③在Rt△CDE中，</p><p class="ql-block">由勾股定理可得BD＝√130</p><p class="ql-block">因此√2AM+√2BM+2CM的最小值为2√130.</p> <p class="ql-block">注：旋转放缩六法</p><p class="ql-block">①绕点B顺时针旋转放缩△BCM，固定AM，构建以BM和BC为直角边的等腰直角三角形，生成两条新线段分别等于BM和√2CM.</p><p class="ql-block">②绕点A顺时针旋转放缩△ABM，固定CM，构建以AM和AB为斜边的等腰直角三角形，生成两条新线段√2/2AM和√2/2BM.</p><p class="ql-block">③绕点A逆时针旋转放缩△ACM，固定BM，构建以AM和AC为直角边的等腰直角三角形，生成两条新线段分别等于AM和√2CM.</p><p class="ql-block">④绕点C逆时针旋转全等△BCM，固定AM，构建以CM和BC为直角的等腰直角三角形，生成两条新线段分别等于BM和√2CM.</p><p class="ql-block">⑤绕点C顺时针旋转全等△ACM，固定BM，构建CM和CA为直角边的等腰直角三角形，生成两条新线段分别等于AM和√2CM.</p> <p class="ql-block"><a href="https://www.meipian.cn/4n17shgw" target="_blank">加权费马最值问题思维方法研究</a></p>