几何模型系列(4)——燕尾模型与线段不等关系

数学寻梦人

<p class="ql-block">燕尾模型结构</p><p class="ql-block">这是一个凹四边形，形状类似燕子的尾翼，称之为燕尾模型.名字美美哒！</p><p class="ql-block">燕尾模型在角上的数量关系是∠BDC＝∠A+∠B+∠C</p><p class="ql-block">今天研究的是边上的一个不等关系</p><p class="ql-block">结论：AB+AC＞BD+CD</p> <p class="ql-block">思维突破</p><p class="ql-block">1.由结论中的线段的不等关系，你联想到的比较线段大小相关知识有什么？怎样选择方法？为什么这样选择？</p><p class="ql-block">①两点之间线段最短②垂线段最短③三角形的三边关系④三角形的大角对大边⑤三角函数</p><p class="ql-block">选择的方法是利用三角形三边关系：①三角形两边之和大于第三边；②三角形的两边之差小于第三边.</p><p class="ql-block">为什么选择三角形的三边关系？</p><p class="ql-block">图中的燕尾结构本质是三角形内部任一点，而三角形的形状也不确定，角之间大小关系也无法确定，不能选择利用边角有关的不等关系，同样垂线段最短也可排除，而三角形的三边关系是两点之间线段最短具体的一个应用——三角形的三边关系和三角形的形状和角的大小无关.</p><p class="ql-block">2.确定解决问题的思维目标是什么？</p><p class="ql-block">围绕结论中的线段利用割补法构建三角形，利用三角形三边关系建立有关线段的不等关系，再利用不等式的性质进行转化.</p><p class="ql-block">构建三角形满足的要求：在构建三角形的过程中会生成新的线段，作为关联结论线段的桥梁纽带，利用不等式性质过河拆桥，可以消去作为“桥”新生线段，最后结论四条线段在不等式的位置要对应.</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">思维路径</p><p class="ql-block">方法一：延长BD构建三角形</p><p class="ql-block">环节一：构建三角形</p><p class="ql-block">延长BD交AC于点E——构建△ABE和△CDE.</p><p class="ql-block">环节二：利用三边关系</p><p class="ql-block">在△ABE中，AB+AE＞BE①</p><p class="ql-block">在△CDE中，DE+CE＞CD②</p><p class="ql-block">环节三：不等式性质</p><p class="ql-block">①+②可得</p><p class="ql-block">AB+AE+DE+CE＞BE+CD</p><p class="ql-block">则AB+AC+DE＞BD+DE+CD</p><p class="ql-block">因此AB+AC＞BD+CD</p><p class="ql-block">注：桥梁DE可消，AB和AC，BD和CD各在不等式的一侧隔河相望，思维目标实现！</p> <p class="ql-block">思维路径</p><p class="ql-block">方法二：延长CD构建三角形</p><p class="ql-block">环节一：构建三角形</p><p class="ql-block">延长CD交AB于点E——构建△ACE和△BDE.</p><p class="ql-block">环节二：利用三边关系</p><p class="ql-block">在△ACE中，AC+AE＞CE①</p><p class="ql-block">在△BDE中，DE+BE＞BD②</p><p class="ql-block">环节三：不等式性质</p><p class="ql-block">①+②可得</p><p class="ql-block">AC+AE+DE+BE＞CE+BD</p><p class="ql-block">则AB+AC+DE＞BD+DE+CD</p><p class="ql-block">因此AB+AC＞BD+CD</p><p class="ql-block">注：桥梁DE可消，AB和AC，BD和CD各在不等式的一侧隔河相望，思维目标实现！</p> <p class="ql-block">思维路径</p><p class="ql-block">方法三：过D任作直线构建三角形</p><p class="ql-block">环节一：构建三角形</p><p class="ql-block">过D作直线交AB于点E，交AC于点F——构建△AEF、△BDE和△CDF.</p><p class="ql-block">环节二：利用三边关系</p><p class="ql-block">在△AEF中，AE+AF＞EF①</p><p class="ql-block">在△BDE中，DE+BE＞BD②</p><p class="ql-block">在△CDF中，DF+CF＞CD③</p><p class="ql-block">环节三：不等式性质</p><p class="ql-block">①+②+③可得</p><p class="ql-block">AE+AF+DE+BE+DE+DF＞EF+BD+CD</p><p class="ql-block">则AB+AC+EF＞BD+EF+CD</p><p class="ql-block">因此AB+AC＞BD+CD</p><p class="ql-block">注：桥梁EF(DE+DF)可消，AB和AC，BD和CD各在不等式的一侧隔河相望，思维目标实现！</p> <p class="ql-block">失败构建三角形之一</p><p class="ql-block">补△ABC和△BCD</p><p class="ql-block">AB+AC＞BC①BD+CD＞BC</p><p class="ql-block">由于AB+AC和BD+CD都大于BC无法确定二者之间的大小关系.</p><p class="ql-block">构建三角形方法失败！</p> <p class="ql-block">失败构建方法之二</p><p class="ql-block">割△ABD和△ACD</p><p class="ql-block">AB+AD＞BD①AC+AD＞CD②</p><p class="ql-block">①+②后实现AB和AC、BD和CD各在不等式一侧，但无法消去桥梁线段AD.</p><p class="ql-block">构建三角形方法失败！</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(22, 126, 251);">燕尾模型与角度有关的数量关系</b></p> <p class="ql-block"><a href="https://www.meipian.cn/4ugs01ef" target="_blank">几何模型系列(4)——燕尾模型思维方向增补</a></p><p class="ql-block"><a href="https://www.meipian.cn/4mh0enld" target="_blank" style="font-size:18px; background-color:rgb(255, 255, 255);">构造法解决燕尾模型的思维方向研究</a></p>