高考数学如何考到130甚至140+？

袁丁数学

练习

题目

知识点

策略

题型

分层

难度

教辅书

数学

压轴

一、为130+而战

——高考数学的试卷结构分析

我们先来思考这样一个问题：要考到130+，你最多能错多少道题？

如果你不犯任何计算错误，允许你错压轴题最后两问，选择题和填空题的小压轴（一般是各自的最后一题），这样就扣了8+5+5=18分，剩余分数为132分。

这种分数结构，是思维能力没有那么强的普通学生的代表性出路。

每多做出来一道难题（小压轴或者压轴），你的分数就提高一点。也可以理解为，每做出来一道难题，你就给自己的腾出来一点不小心算错数的容错空间——当然，最好还是不要犯计算错。不算错不光是熟练度或者粗心的问题，它是有策略可以解决的。

这个分数结构是具体有什么含义呢？意思是：

所有基础知识点全部熟练掌握；

所有中高难度的题全部掌握，包括倒数第二题第二问、选择填空中的其他小难题；

所有陷阱题型全部掌握，主要是各种需要分类讨论情况、特殊值不能取、函数定义域等；

不能有计算错误。

满足了上述4个要求，就可以达到130+的分数了。如果你还满足“选择填空小压轴的高难题也全部掌握”，那就能冲击140+了。

如何才能满足上面4个条件呢？下面来看一下具体的数据学习方法。

二、数学学习的策略

——从提升思维能力到改变刷题策略

数学是一个很特殊的学科，它很难，又很单一。难，主要是指的题型变化复杂；单一，主要是指的核心单一、学习方法简洁。

数学的难点就是它的核心点，就是题型变化，只要你搞定了基础知识和题型变化，你就搞定了数学。它不像语文这种，基础知识需要背诵积累，现代文阅读理解需要综合阅读、分析、逻辑能力，文言文又搞的跟英语学习有点像，作文又要积累素材又要体现思想反应你的眼界等，一大堆不一样的难点——所以语文很少有130+甚至140+的高分。而数学由于很单一，所以虽然很难，但还是容易出高分。

所以，那些目前成绩不理想、被数学虐的怀疑人生的同学不用灰心，数学的确很难，但要学好数学反而不难。

要学好数学，我们首先要掌握一些思维方法，然后学习相应的高效刷题策略。

数学的核心就是题型，而掌握题型不能靠盲目的题海，刷题也是有策略的，我在这里给大家介绍三种最常用的基础方法和两种中级方法（其中第二种中级方法甚至可以让你冲到140+）

分别为：

排序策略（基础）

单一重复策略（基础）

知识定位策略（基础）

结构化练习法（中级）

分层处理（中级）

基础方法一：排序策略

当我们学习和做练习时，一般按照从易到难的顺序做才会达到最高的效率。如果顺序混乱，那么效率反而会降低。

有部分学生，比较聪明，性格好表现自己，喜欢向他人和自己证明自己很聪明。这些学生常常会选择一种学习方法：在刚刚学完基础概念、练了一两道基础题之后立刻去研究中高难度的题甚至是压轴题——这样就能体会到一种“我的进度比别人快”“我比别人聪明的感觉”。

如果你确实是天才，这样的乱序学习方式、没什么影响。但对于大部分普通人和那些有一点小聪明（但又不是天才）的人来说，跳跃性的学习只会拖低你的效率，因为一段时间后你终究会发现自己的基础不扎实，缺了大量中等难度和中高难度的题目铺垫，不得不退回去补课，从而造成了进度大幅倒退、时间浪费、效率降低的结果。

我们做练习时，要讲题目进行排序，按照“简单题—中等题——中高难度题——压轴题”这样的难度顺序去练习，尽量不做阶段跳跃。这样的顺序排序练习方式，会提高我们的练习效率。

题目的简单和难一般按照下面几个维度去判断：

1、推理步骤的长短

数学题目难度通常与推理步骤多少相关。简单题算1-2步就算出来了，而压轴题的逻辑推理就特别复杂，需要8-10步的推理。

2、背景信息的多少

有些题的难不在于推理的长度，而在于出现了大量的背景信息乃至干扰信息。典型的如历史、政治、地理的某些大题、论述题，原本不复杂的题，经过长段的阅读材料修饰后，就变得有点难度了。

而最近几年的数学题也开始出现这方面的趋势，某些题目不再给你简洁的数字条件，而是给一个很长的背景信息，不仅考察你的数学能力，还要考查阅读速度、提炼关键信息的能力。我们一般先练习背景信息少、阅读材料短的题目。

3、知识点的多寡

通过多个知识点的拼接，也容易形成难题。如数学试卷中选择、填空题的压轴题，以及应用题中的圆锥曲线、函数与导数题，就往往涉及多个知识点的综合考察，难度颇高。我们一般先练习涉及知识点少的题，后练习多知识点的综合题。

基础方法二：单一重复策略

在从简单题向高难题进阶的过程中，大致有两种练习模式。

第一种练习模式如下，先做3道简单题，如果感觉基本没问题了，就提升难度去做3道中等题。如果感觉中等题也基本拿下了，就再次提升难度，做3道中高档题。如果中高档题也大致能够理解了，就再次升级，做3道压轴题。

第二种模式是先做10道简单题，彻底练熟悉了以后再升级到中档题。中档题也练习10道，练得无比熟练了，再升级到中高档题。同样是多达10道的练习以后，完全熟透了，再冲刺10道压轴题。

你选哪一种练习方式？

正常情况下，大部分人会选择第一种练习方式，因为第一种方式只用了12道题就直接从简单题冲刺到了压轴题，而且每一次都是在感觉能够理解、能弄懂的情况下才提升的难度，并不觉得有什么问题。作为对比，第二种练习方式的进阶速度则慢了很多，足足花了40道题才缓慢爬上去。我们感觉，第一种方式更快、更高效，因而更能给我们成就感并缓解学习的焦虑，因此我们会选择它。

不过第一种练习方式真的好吗？

其实按照第一种方式练习后，大部分人会在不久之后遇到新的问题：遇到类似的题目不会做，甚至原题不会做；听老师讲、看答案时能看懂，自己做却不会；明明感觉应该不难的题目，自己却做不出来，心情变得焦虑、烦躁……只有少数人在按照第一类方式训练后不会有后遗症——特别聪明、天资卓越的那种人。其他的普通人以及比较聪明的人，都会遇到麻烦。

为什么会这样？

在题目难度进阶的过程中，往往有这么一个特性：更高难度的题往往是以中低难度的题为基础。我们会有一种隐藏的观念，觉得对知识的掌握不需要“过于熟练”，能理解就行了，基本掌握了中等题后，不就该冲一冲中高难的题目了吗？其实正是这样的观点降低了练习的效率。

来看一个类比。

盖楼房的时候，二楼以一楼为基础，三楼以二楼为基础，以此类推。如果每一层楼都盖得绝对坚固，那么这栋楼就可以盖很多层，高耸入云。但如果每一层楼都是盖得比较（而非绝对）坚固呢？比如一楼盖得比较坚固，那么单独的第一层楼就不会垮塌，甚至往上面盖二楼的时候也不会特别摇晃。可是在不那么坚固的一楼上面继续盖房子，等到三楼四楼的时候就会看到明显的晃动。随着楼层的提高，下面层级的细微不平稳、不坚固就会被放大，导致四楼、五楼无法盖成功。很明显，这不是因为你对四楼的建构有毛病，而是你的下面三楼有问题。

同样的道理对于题目难度的进阶也成立，但题目重点知识点太抽象，不如楼房或积木那么直观。很多同学在中档题、中高档题遇到困难时，没有意识到可能是中低难度的知识点和基础题型不熟练所导致的。

所以大部分没有那么天才的学生，需要把中低难度的题练到特别熟练以后，然后以中低难度的题为基础，来构造自己的对难题的理解，这些中低难度的题实际上起到了一种类似于二级结论、中间结论的作用。

总的来说，在每一个难度层次的题目上，我们需要把它练得非常熟、烂熟于心，几乎形成了本能反应的程度——而非比较熟、大致能理解的程度——然后再去攻克下一难度的题目，这样的练习方法就叫做单一重复训练。

在实际操作过程中，可能没法绝对做到单一重复训练，比如老师讲课讲例题的时候可能就是每个知识点题目各自讲一两天就过了；老师发一张练习资料，上面的题目也是简单题一两道，中难题一两道，再加一道高难题——都不符合单一重复训练的条件。这也没关系，你在课下练习的时候，在反过头去把练习度不够的知识点和难度层次补上去就行了。

单一重复策略对于数学这种难度进阶非常明显的科目适用性很强，推荐大家按这种策略制定自己的刷题计划。

此为，单一重复策略和排序策略是可以结合使用的。只有做好了排序以后，才能进行单一重复训练。

基础方法三：知识定位策略

知识定位策略是指，当我们在进行练习的时候，不要仅仅将思维局限在题目本身上，而要首先去思考，这是在考察哪些知识点？它对应了课本上的哪些公式、原理和知识点？这样的练习方式能够加强我们对课本和知识点的理解，与课本关联越紧，越适合用这种方法。

数学中的中低档题与课本紧密联系，中高档题目则超出课本的范畴，核心点在于课本外的复杂变化技巧、复杂场景分析。所以知识定位策略对掌握数学中档题目很有用，而中高档题目，就涉及到更复杂的学习策略。

课本上的知识点与我们所做的练习题有这样一种对应关系：知识点都可以包装成练习题，而练习题考查的内容一定源于某个知识点，这就像是一根线牵着两个铃铛，拉动了这一头，另一头一定有回响。

但我们在练习时会经常忽略这种联系，将题目和课本分割来看。这样的分割越强烈，学习的效率就越低下。知识定位策略的作用方式是，强迫你回归课本，强迫你将这种联系重新建立起来。比如面对一道数学选择题，由于我们对数学知识有所掌握，有一定的推理能力——认为能够自己思索出答案，可推算过程却有所偏差或不够全面，这样的练习就很低效。知识定位策略则会要求你先放下自己的想法，思考这个题目与课本上介绍的哪些原理有关，避免了思路漫无目的延伸扩散，提高了思考效率。

中级方法一：结构化练习法

结构化练习法是结构化思维在练习中的应用，它是指，我们在做练习的时候，要尽量以分类的方式集中训练。针对同一知识点的，或者同一类型的题型，最好集中起来练习，练熟了以后再去练其他题型，而不是每个类别的题型各自练一点——有点类似于我们平常所进行的专题练习（不过专题训练是否能够展现标准的结构化思维模式，还要看编撰专题的老师的水平）。

比如高三学生练习数学题，他做一张高考模拟试卷，练习题目依次为值域、数列、不等式、三角函数、概率与统计……各种类型的题目穿插在一起。第二天他再做一张模拟练习试卷，又是各种类别的题混合起来。在几十上百张模拟试卷后，理论上他应该能够覆盖每个章节的几乎所有题型，但实际这样练习的效用非常低。

这就是典型的非结构化练习法。

按照结构化练习法，你应该在一段时间内——几小时到几天——只做一种类别的题。比如，今天有两个小时的数学学习时间，你最好就不要做一整张模拟试卷，而是做一张专题试卷，专门练三角函数的各种题型。甚至可以专门练三角函数的一种分支题型——如三角函数求最值。这样的练法能够让你一次性吃透相关题型。

中级方法二：分层处理

分层处理是一种相对高阶的练习方法，它的威力很大。但由于它的使用难度也大，甚至比一些更高阶、效用更好的方法更难用好、需要注意的事项更多，所以我对此方法综合评级降至中级——不过，它仍是一种值得了解的方法。

在单元复习、期中期末复习和高三复习阶段，一般同学的基础练习已经比较熟了，需要进入扩大题量、弥补漏洞的阶段。此时，我们可以找到大量练习题——一般为普通作业量的2-5倍——以大量看题、少量做题的方式进行习题处理。我们大致将题目分为两层：第一层，看完题目立刻能得到答案，或者立刻能得到思路的题目——这些题目看过就好，不用动手做；第二层，看完题目后无法立刻得到解题思路，需要动手尝试的，这些题就动手做。

这种练习方式就叫做分层处理。

分层处理的威力很大，按照此方式练习，你能够避免大量的无效练习——那些已经熟练了不需要再做的题目。由于复习期，你练习的题目已经很多了，所以题目的重复率也是很高的，如果不使用分层处理的方式练习，你将会有大量时间浪费在无效练习上——可能高达50%-90%，视你的熟练度而定。而使用分层处理，你的见题量将比原始方式扩大2-5倍，并且挖掘自己漏洞、弥补知识空缺的速度也会同步增加好几倍。

用好了分层处理的方法，中等水平的学生能够以巨大的加速度上冲至中高级水平；而对中高水平冲刺高级水平的学生来说，这方法意义同样巨大，因为在中高水平和高级水平之间横亘着一堵无形的墙，普通的努力方式极难突破，而分层处理的方法则能快速突破此屏障。

当你正确使用分层处理的时候，你的大脑会产生一种感觉——精神高度集中，运转非常迅速，简直比平时快了好几倍！显然，此时你的思维速度极快，思维量极大，处于典型的高强度用脑状态。

总之，这个方法简直是一个神器。

然而这个方法的使用有一定的风险。在分层处理练习时，部分同学经常会陷入一个误区——一道题，你一眼看去以为你是会的，于是匆忙去研究下一道题，但其实这题你并没有真正掌握，于是你错过了一道对你来说非常重要的题。这种“我以为我会做”的状态就是分层处理方法的最大困境。

要破解这个困境，你需要对知识点和解题模式极为清晰，对关键点、关键步骤彻底掌握，要超越那种模糊的题感才行。模糊的题感是比较容易形成的，只需要做几道题就会有了；但彻底掌握关键点、关键步骤则没那么容易，需要更清晰的思维和更坚实的基础知识才行。

显然，分层处理和单一重复策略、结构化练习法可以结合使用、相互促进。分层处理需要你对题目吃得很透、理解的很深才行，它对透彻性、深刻性的要求超出了一般练习法能够达到的极限（所以普通人用分层处理容易出问题），但单一重复策略和结构化练习法则能够大幅加深你对题目的理解，让你更透彻的掌握知识和题目，从而为分层处理的使用做好准备。

以一个类比来说明，单一重复策略和结构化策略相当于内力，而分层处理相当于奇特、精巧的剑招，你需要用内力来驱动剑招。此外，排序策略和知识定位策略也有一定加强内力的作用。

以上累计5种刷题策略，虽然不是最核心策略，但已经足够大部分人使用，足够从90分打穿到140+了。不要低估这些初级和中级方法的威力，好好练习吧。

三、老师水平不高怎么办？

——没有好老师也能高效学习的方法

在一路冲刺高分的过程中，如果你有一个很好的老师，那么自然是事半功倍的。但如果你的老师水平不太好，你该怎么办呢？

能遇到好老师的是少数，在普通高中里遇到普通老师才是大多数，我们需要一套方案，能够让自己在没有优秀老师辅导的情况下也能够冲刺高分。

我们首先要思考的一个问题是：用什么东西来替代老师呢？

最好的答案是，用教辅书（试卷也算教辅的一种）。

老师的作用是什么？

给你比较系统的讲解（比如上新课、系统复习课期间）；

给你题目答疑（你平时遇到不会做的题）。

那么教辅书能不能起到这两点功能的替代呢？显然是可以的。教辅书的讲解也很全面，甚至可能比老师的备课更系统；（大部分）教辅书的后面也是有答案的，基本可以替代老师的讲解（其实很多普通老师就是对着答案讲课的）。

如果用教辅资料来代替老师，我们又会遇到两个问题：

　　问题1的解决办法：很简单，多买几本教辅书，凑起来用。每本教辅书的偏重点不一样，几本教辅书结合起来，基本上能够做到所有重点的全覆盖。

那有人又会说，买这么多教辅书，根本就做不完啊！

这里需要更新大家的一个观念，教辅书不是用来做完的，你对它没有义务。很多时候，教辅书是用来当做备用资料，在需要的时候去翻阅查找的。所以多买几本，每本做一部分，这才是教辅书的高效使用用方式。

问题2比较复杂，分新课阶段、总复习阶段来讲。

高一高二的新课阶段，显然我们用的是同步教辅。对数学这种核心科目，准备2-3本同步教辅不过分。跟上面一样，不是让你做完，是让你把它当资料查、当题库用的。在上一节的刷题策略中也提到过，你需要好几本教辅书和试卷拼凑成一个题库才够用。

在总复习阶段又要细分。如果是一轮复习，一定要用专题复习资料和题库（一个章节一个章节的复习），而不要用综合模拟试卷（类似高考卷）。这种资料使用方式对应的是结构化练习的策略。

甚至2轮复习阶段，也经常要用到专题复习资料。

3轮复习，开始疯狂的刷高考真题和模拟试卷。

总之，每个阶段用特定的资料，特定的资料配合特定的学习策略。

四、精力管理

——如何把自己的状态调整到最好？

现在，让我们跳出数学学习方法，进入更宏观的学习策略世界。

有时候你努力学，而且用对的方法学还是学不好，为什么？大部分人会无奈的说，“不知道为什么我的学习状态就是不好！学不进去！”

五、如何不犯低级计算错误？

前面主要讲的是改善状态、好好学习、掌握基础和攻克难题。但想要考高分还需要另一个条件——不犯计算错误。

你以为这是个很简单问题，其实不是，这个问题很复杂。经常听到有人说，所谓的计算错误就是不熟练，需要多练——这种答案纯粹扯淡！如果有些底层问题没解决的话，再多的熟练度也没用！该算错照样算错。

我们首先要知道，看错题算错数字这些低级错误，本质是什么？知道了这个本质才能针对性的纠正。

记住下面这句话，价值千金！

我们对于走神的理解，一般都是长时间走神，比如一节课40分钟，你有20分钟走神了，那你就会意识到，刚才我走神了。

而所谓瞬时走神，则是指的“秒”级别的走神，比如走神1秒钟，甚至走神0.3秒钟。如果你在瞬时走神的那一刻，恰好在做计算题，在看题目，那你就有可能算错题、看错题，形成低级错误。

这才是低级错误的本质。

所以，解决低级错误，本质上是要解决这个瞬时走神的问题。

我给出两个解决方向。

第一，从情绪出发。内心越平静安定，没有负面情绪，你就越不容易出现瞬时走神。反过来，在焦虑、恐惧、愤怒等情绪下，你瞬时走神的概率就会暴增！

第二，进行深度的冥想训练

你看，想要把学习搞上去，注意事项还蛮多的。

不过世界上哪有容易的事呢？付出努力不要紧，关键是要有效果。

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