几何模型系列(18)——垂美四边形模型应用

数学寻梦人

垂美四边形模型

对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

结论：1.垂美四边形的两组对边的平方和相等.

2.垂美四边形的面积等于对角线乘积的一半.

应用1：如图，等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD中，OA＝OB＝10，OC＝OD＝6连接AD、BC、AC和BD.

求AC²+BD²的值

思维路径

环节一：证旋转全等模型

易证△AOD和△BOC全等

条件：OA＝OB，∠AOD＝∠BOC，OD＝OC

可证∠OAD＝∠OBC

环节二：证第三边垂直

在△AON和△BMN中——8字模型

由∠OAN＝∠MBN，∠ANO＝∠BNM，

易证∠BMN＝∠AON＝90°

因此AD⊥BC.

注：证AD和BC垂直方法较多.

环节三：利用垂美四边形

由AD⊥BC可得四边形ABDC是垂美四边形

在Rt△AMB中，由勾股定理可得

AB²＝AM²+BM²

同理AC²＝AM²+CM²，

CD²＝CM²+DM²

BD²＝BM²+DM²

因此AC²+BD²＝AB²+CD²＝296

应用2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边作正方形ACDE，以AB为边作正方形ABFG，连接BE、CG和EG.若AC＝4，AB＝10，求EG的长

思维路径

环节一：证旋转全等模型

易证△ABE和△AGC全等

条件：AB＝AG，∠BAE＝∠GAC，AD＝AC

可证∠ABD＝∠AGC

环节二：证第三边垂直

在△AQG和△BQO中——8字模型

由∠AGQ＝∠OBQ，∠AQG＝∠BQO，

易证∠BOQ＝∠GAQ＝90°

因此BE⊥GC.

注：证BE和GC垂直方法较多.

环节三：利用垂美四边形

由BE⊥CG可得四边形BCEG是垂美四边形

在Rt△BOC中，由勾股定理可得

BC²＝OB²+OC²

同理CE²＝OC²+OE²，

EG²＝OE²+OG²

BG²＝OB²+OG²

则BC²+EG²＝CE²+BG²

EG²＝CE²+BG²-BC²＝32+200-84＝148，

EG＝2√37.