翻折——三角形中的翻折问题

稳心颗粒

上海市四平中学尹永林

三角形中的翻折问题

中考试题

(1)初步尝试：

如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB =90°，将ΔABC 折叠，使点B与点C重合，折痕为MN ，则 线段AM与BM的数量关系( )。

(2)思考说理：

如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC =6, AB =10，将ΔABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AM/BM的值；

(3)拓展延伸：

如图③，在三角形纸片ABC中， AB =9,BC=6，∠ACB =2∠A ，将ΔABC沿过顶点C的直线折叠，使点 B 落在边AC上的点B'处，折痕为CM .

①求线段AC的长；

②若点O是边AC的中点，点P为线段OB'上的一个动点，将ΔAPM沿PM 折叠得到ΔA' PM，点 A 的对应点为点A'，A' M 与 CP 交于点 F，求 PF/MF的取值范围．

【分析】

题(1)翻折之后利用边与角的关系进行转化，很容易得到 AM = MC = BM 。

题(2)可以利用等腰三角形三线合一性质，即过点 C 作 AB 的垂线段，即利用轴对称的性质以及相似或者锐角三角比，可得到∠B 所在直角三角形对应边的比例关系。那么 AM 与 MC 的长度容易得到，从而比值也就确定了。

当然，图中有一对母子三角形相似，即 ΔABC～ΔCBM ，代入相应的比例式，比值即可确定。

题(3)①的解法可以参考题(2)，如图③，可以得到一对相似三角形，即ΔABC～ΔCBM ，由相应的比例式，可得到BM、CM 、AC的长。

题(3)②是一个动点问题，翻折过程中点 A'到点 M 的距离与点A到M的距离相等，相当于以M为圆心MA为半径的圆弧上运动。

求PF与MF的比值，只需要利用相似进行转化即可。易得下图中有一个斜X字形的相似，转化为AP与MC的比值即可。

【解】(1)如图①，∵三角形ABC 折叠，使点 B 与点 C 重合，折痕为 MN ,

∴MN 垂直平分线段 BC ，且CN=BN , ∴∠MNB=∠ACB=90°,∴ MN//AC ，

∵CN = BN ,∴AM= BM

所以AM与BM的关系为 AM = BM .

(2)如图②，∵CA = CB =6,∴∠A=∠B ,

由题意 MN 垂直平分线段 BC

∴BM = CM ，∠B = ∠MCB ,

∴∠BCM=∠A ，∵∠B =∠B,

∴ΔBCM～ΔBAC ,∴BC/BA=BM/BC ,

∴6/10= BM /6，∴BM =18/5,

∴AM = AB-BM =10-18/5=32/5，

∴AM/BM=(32/5)/(18/5)=16/9，

即AM/BM=16/9.

解二：如图②，作CD⊥AB于D，

∵CA=CB，∴AD=DB=5，

∴在RtΔCDB中，CD²=6²-5²=11

由翻折，MC=NB=x

∴在RtΔCDM中，x²=(5-x)²+11

∴x=18/5，∴AM=10-18/5=32/5

∴AM/BM=(32/5)/(18/5)=16/9

(3)①如图③，由折叠的性质可知，CB = CB'=6，

∠BCM = ∠ACM ,

∵∠ACB =2∠A，∴∠BCM=∠A ,

∵∠B=∠B，∴ΔBCM～ΔBAC ,

.∴BC/AB = BM/BC =CM/AC ，

∴6/9= BM/6，∴BM =4,

∴AM=CM=5，∴6/9=5/AC，

∴AC =15/2.

(3)②如上图：

∵∠B'CM=∠BCM=∠A ，∠A=∠A'，

∴∠FC'M=∠A'，又∠MFC=∠PFA'，

∴ΔPFA' ～ΔMFC ∴PF/FM = PA'/CM，

∵CM =5，∴PF/FM=PA'/5，

∵点P在线段OB上运动,∴AB'≤PA≤OA，

∵PA'=PA，∴AB'/5≤PA'/5≤OA/5，

而OA=AC/2=15/4，

AB'=AC-CB'=15/2-6=3/2

∴3/10≤ PA'/5 ≤3/4，

∴3/10≤ PF/FM≤3/4.