几何模型系列(12)——一线三直角全等模型

数学寻梦人

模型一：一线三直角全等模型

模型基本结构

①等腰直角三角形如等腰Rt△ABC

②一条直线——直线DE

③在直线上有三个直角顶点——直角顶点C、D个E

④一对全等的直角三角形

证法：ASA或AAS

条件：对应边——等腰直角三角形的一对直角边；两对应角——一对直角，一对锐角利用同角的余角相等证明

结构本质：围绕等腰直角三角形向过直角顶点的一直线作垂线构造一对全等的直角三角形.

也有把一线三直角模型叫做一线三垂直模型即一直线上三个垂足.

两种结构形式

1.两全等直角三角形在等腰直角三角形的外部或说在等腰直角三角形的两直角边两侧

一线三直角模型与“内弦图”

2.一对全等的直角三角形在等腰直角三角形的两直角边的内部

一线三直角模型与“外弦图”

问题：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C的一条直线m.

作AD⊥m，BE⊥m，把直线m绕点C旋转一周，问AD、BE和DE存在怎样的数量关系？请说明理由

思维路径

环节一：分类

分界点：①直线m经过AC边②直线m经过③直线m垂直AB.三直角顶点存在重合时的特殊情况

三种情况：

①直线m在△ABC外部

数量关系：DE＝AD+BE

②直线m与斜边AB有交点，交点在中点左侧(或说直线m经过△ABC且在斜边AB上高的左侧)

数量关系：BE＝AD+DE

③直线m与斜边AB有交点，交点在中点右侧

数量关系：AD＝BE+DE

环节二：利用余角性质证锐角相等

方法一：由∠ADC＝∠ACB＝90°

可得∠CAD+∠ACD＝90°，

∠BCE+∠ACB＝90°

可证∠CAD＝∠BCE

方法二：

由∠BEC＝∠ACB＝90°

可得∠CBE+∠BCE＝90°，

∠BCE+∠ACD＝90°

可证∠ACD＝∠CBE

环节三：证全等

易证△ACD和△CBE全等

条件：∠ADC＝∠BEC＝90°，∠CAD＝∠BCE或∠ACD＝∠CBE，AC＝BC

可证AD＝CE，CD＝BE

环节四：证求数量关系

情况一：由DE＝DC+CE，AD＝CE，BE＝CD

因此DE＝AD+BE——等量代换

情况二：由CD＝EC+DE，AD＝CE，BE＝CD因此BE＝AD+DE——等量代换

情况三：由CE＝DC+DE，AD＝CE，BE＝CD因此AD＝DE+BE——等量代换

应用：

一线三直角模型应用广泛，①在平面直角坐标系内，直角结构与一次函数、二次函数和反比例函数结合②常与图形变换结合，直角结构与折叠和旋转结合③在特殊四边形或三角形中的直角结构与动点问题结合，等等，会出现千变万化的题型.欲在百万军中取上将之首，需修炼上乘数学内功，在复杂的图形中提炼常见模型，在直角三角形中利用勾股定理相似或三角函数求线段长的基本思维能力.

问题1：抛物线y＝-x²-2x+3与x轴交于点A和B(A左)，点P是x轴上方抛物线上一动点，若正方形APMN(顺时针)的顶点M或N落在抛物线对称轴上，则另一点在平面直角坐标系内，求点P的坐标.

问题2：在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为边DC上一动点(不与D、C重合)，把△ADE沿AE折叠当点D的对应点D'落在矩形ABCD的对称轴上时，求DE的长.

一线三直角全等模型的延伸

延伸一：等腰直角三角形变为一般直角三角形可得一线三直角相似模型



△A BC是直角三角形，∠ACB＝90°0°，点D、E、C在同一直线上，且∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°°.

△A BC是直角三角形，∠ACB＝90°0°，点D、E、C在同一直线上，且∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°°.

延伸二：等腰直角三角形变为一般等腰三角形可得一线三等角全等模型

△A BC是等边三角形，点D、E、B在同一直线上，∠D＝∠E＝∠ABC＝60°.

△A BC是等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D、E、C在同一直线上，且∠ADF＝∠BEF＝∠ABC＝120°.

延伸三：等腰直角三角形变为一般三角形可得一线三等角相似模型

常见三等角有60°角，45°角和120°角等

直角结构与模型关联

围绕直角结构构建一线三直角模型(内弦图或外弦图)旋转全等或放缩模型，利用勾股定理相似或三角函数构建方程模型求线段长.

一线三直角模型

一线三直角模型

旋转全等模型