【考研微观经济学】供求理论之弧弹性、点弹性及弹性和斜率

良禽择木

上节课咱们讲了弹性的基础知识，概括了弹性，其实就是一种东西的变化率，会导致另一种东西的变化率有多大。所以弹性本质上就是两种东西变化率的比值，百分比比上百分比，这是一种比较通俗的说法，属于科普版的经济学。

这一节咱们来点真材实料的东西，把弹性公式给大家，然后再分析一下弹性的几种主要性质，再看看什么是弧弹性、点弹性，还有弹性和斜率的关系以及弹性，为什么比斜率更好用等等。

首先咱们看一下弹性的经济学概念，弹性是一种经济变量对另一种经济变量变动的反应程度，用公式表示，就是弹性等于因变量变动的百分比，比上自变量变动的百分比。通过弹性的经济学概念

咱们就会发现这个弹性其实就是两个变量变化率的比值。大家注意一般情况下弹性只包括两个变量，其中一个是被影响的，一个是施加影响的变量，没有其他的了。也就是说弹性是被影响变量变化的百分比除以施加影响的变量变化的百分比。

所以咱们才说弹性的本意是一个经济变量的变化，会在多大程度上影响另一个经济变量的变化？注意是变化对变化的影响，不是变量本身相互间的影响，是变量变化的影响，所以弹性研究的其实是变化变化的比率。

所以说弹性的本质其实就是两个变量变化率的比值，也就是比值的比值。

因为变化率这东西本身就是个比值，把两个比值再比一下，不就是比值的比值弹性的概念，咱们就彻底说完了。

这里咱们再用一个例题复习一下，看看怎么求弹性。咱们求某种商品需求的价格弹性。当这种商品降价的时候，比如他从5块降到了4块，就会导致商品的需求量从400增加到800，这个时候需求弹性就是用降价后的需求量减去降价前的需求量，就是800-400=400，然后再除以降价前的需求量400，这个就是需求的变化率是一，然后再用降价后的价格4减去降价前的价格五4500=-1÷降价前的价格5，得出来的就是价格的变化率是负的1/5，就分母然后用需求量的变化率除以价格的变化率，就是弹性等于-5，表示价格的变化，导致需求量反方向变动，价格变化率的5倍。

但咱为了方便前面说了这个需求弹性公式前面会强行加个负号，让-5变成正5。

下面咱们再看涨价的时候，流程一样，用涨价前后的需求量变化率除以涨价前后的价格变化率，就是弹性等于二。但这里出现了一个问题，就是降价和涨价都是价格变化量是一块钱，54一个是从4~5，变化量都是1，需求量这边也恰好变化量都是400，但结果我们看见了弹性却不一样，降价时候弹性是5，涨价的时候弹性是2，东西没变，变化幅度也一样，但弹性却不一样。

这是因为咱们在求变化率的时候，通常用的是变化量除以变化前那个数，那么降价和涨价这两种情况变化前的数字可是不一样的，降价的时候降价前的数字是5，涨价前的数字是4，这就会导致在同样变化量的情况下变化率不一样。

那么为了克服这种情况，经济学家们用了一种简单粗暴的方法，就是重点法，既然涨价降价两种情况，变化前后的数字不一样，但变化量一样，咱就强行让涨价降价前后的数字一样就完了。也就是只要取一个变化，前后数字的终点就完事。

所谓终点就是求一个变化前后数字的平均值，比如涨价前是4，涨价后是5，终点就是4+5÷2=4.5倍，降价前是5，降价后是4，那就是5+4÷2也是4.5一样，这样不论是涨价还是降价，分子分母这都一样了，也就是变化率一样了，这不就克服了同样的商品，同样的变化量，但是涨价和降价的弹性不一样问题了吗？

还是这个例子，咱们看用终点法的时候，分子是需求量的变化量400除以变化前后的中点值，也就是800+400÷2=6，百分母是变化量一除以价格变化前后的终点值，5+4÷2=4.5，那么不论涨跌弹性，这回都变成了3，就是终点法。

大家注意这玩意儿考试总考，这里还要注意一点，用终点法的时候，分子分母肯定都是正数，所以最后得出来弹性，它也是正数，所以就没有必要再在这个需求弹性公式前面强行加个负号的，你看咱们这就没加弹性的基本概念，咱们说完了也复习完了。

下面咱们根据弹性公式里面分子分母变化幅度的大小，可以把弹性分为弧弹性和点弹性，也就是说有两种弹性。

咱们先看弧弹性，其实弧弹性咱们前面一直说的弹性是最普通的稀松平常的弹性，也就是有一段变化量，然后除一下就有个变化率，最后变化率出变化率就求出来弹性了，这种弹性它的变化量相对比较大，我们能感知到肉眼能看见。

如果在图形上显示就是有那么一段的变化量，比如咱们这个图里面纵坐标的变化量就是P2减P1这一段，咱们叫它ΔP，这Δ的P就是变化量，我们是不能用肉眼看见挺大的，横轴ΔQ也是一段变化量，既然是一段的变化，就说明这种变化发生在需求曲线上的两个点之间，而且这两个点离得要足够远，只有离得足够远，两个点的横坐标和纵坐标之间才有一段距离。

就好像咱们图上画两个大红点，我们看两个大红点的横纵坐标之间是不是有一段距离？这种两点之间变化的弹性叫弧弹性，用公式表示就是ed等于ΔQ比Q比上ΔP比P。

这里的ΔP和ΔQ就是两个点的纵坐标P1到P2的变化量和横坐标Q1到Q2的变化量。

我们能看出来它其实是变化了有一段距离的弹性公式就是最普通的弹性计算公式。

这里面 ed 的 e 表示弹性，d 表示需求，所以 ed 叫需求弹性。

下面咱还给了个小点的供给弹性 es , 这s就表示供给，大家自己看看就行了，它的原理和需求弹性一模一样，咱就不详细说了。

弧弹性说完了，咱们再看看点弹性，所谓这个点弹性其实指的就是弧弹性里面变化量趋于无限小的时候，也就是一段的变化量缩小为一点，原来距离比较远的两点，相互靠近，近到咱们可以认为这两个点合并了，缩成一个点的时候，这时候的弹性就叫点弹性。

说白了点弹性就是变化量极小情况下的弧弹性，也就是极限情况下的弧弹性，因为是变化量极小小到可以认为是在一个点之内的变化，所以它才叫点弹性。

用公式表示就是当价格的变化量得的P1，也就是咱们图上红色这段线段和需求的变化，ΔQ就是横坐标上这段红色线段，小到趋于0的时候，弧弹性的极限，这个极限其实就是个微分，小到极限不就微分了，所以ΔP在公式里面变成了dP，ΔQ变成了dQ。那么这个极限公式就是点弹性公式，弧弹性的计算公式怎么用？

咱们知道了，下面咱们用例子说明一下点弹性的公式怎么用？咱还是计算需求弹性。这里假设有个需求函数，注意因为点弹性公式里面它有微分和导数，所以这里面咱们需要给出个需求函数来，那没有函数咋求微分呢？所以必须得整个函数。那么函数有了微分还会远，既然是点弹性，咱们就得在需求曲线上找点才行，怎么找点随便找一点，随便找，哪个点都行。

假如咱们这就找当P等于5的时候，这个点能把P等于5代入到需求函数里面，就能求出来qd等于400，而dQ比dP其实就是对这个需求函数求关于P的导数，这导数咱们一眼就能看出来， dQ比dP等于-400，然后把导数代入公式里面来，再把P和Q带进去，就能算出来在P等于5这个点上，需求弹性等于5。

下面咱们再随便再换个点，假如P等于4了，找这一点还是同样的流程，代入公式咱们就能得到在P等于4的点上，弹性是2。

咱们随便找俩点，算完之后大家发现没有？在同样一条需求曲线上，不同的点弹性是不一样的。为什么会出现这种情况呢？

下面咱们就研究这个事儿，咱们先把弧弹性和点弹性的公式拿出来，仔细看一看，稍微改变一下形式。

我们看弧弹性ed等于负的ΔQ比Q除以ΔP比P，变一下形式就是负的ΔQ比ΔP乘以P除以Q。

点弹性也是一样，ed等于limit一大堆，后面换完形式之后变成负的dQ比dP乘以P比Q。

咱回忆一下斜率的概念，斜率等于纵坐标的变化量除以横坐标的变化量，那么在这边需求曲线的直线斜率应该等于ΔP比上ΔQ需求曲线的曲线，斜率应该等于dP比dQ。

咱们看看弹性公式里面，前面这部分这玩意儿，弧弹性这边是ΔQ比ΔP，点弹性这边是dQ比dP。

咱们只看点弹性，咱们画圈这个地方，这玩意恰好是需求曲线斜率的倒数，因为需求曲线斜率等于dP比dQ，这是dQ比dP所以我们可以认为弹性其实是需求曲线斜率的倒数，乘以一个价格和需求量的比值，就后面 P 比 Q 。

注意这里面咱们只看点弹性，因为弧弹性它涉及到两个点，就后面P和Q价格和数量的比值，就不太好说用哪个点的价格和数量，咱计算的时候你说用哪个点？

因为两个点对应两个价格和两个数量，所以弧弹性这边不好算，那么咱们一般情况下就只针对点弹性说，也就是需求曲线上每点的点弹性，等于曲线上每一点斜率的倒数乘以该点价格和需求量的比值，因为点弹性只有一个点，一个点就只有一个价格P和一个数量Q这不就好算了吗？省事。

这就是弹性和斜率的关系，也就是点弹性，等于曲线上每一点斜率的倒数，乘以该点价格和需求量的比值。

从这关系我们就能看出来，弹性和斜率它们之间并不是一回事儿，因为弹性需要在斜率倒数的基础上再乘一东西，这就会导致在同样一条需求曲线上不同的点弹性不一样。

咱们这里用一根直线型的需求曲线给大家说明一下，为啥用直线呢？因为用直线和用曲线都不影响咱们的结论，但是用直线更方便更直观，所以咱们是用直线来说事儿。既然是直线，咱们都知道直线上每一点的斜率是一样的，也就是这根直线型的需求曲线上面每一点的斜率都一模一样，斜率如果都一样的话，斜率的倒数自然也一样，也就是公式前面这部分 dQ比dP是一模一样的，那么决定不同点弹性大小的就是乘号，后面 P比Q我们发现没有，需求曲线上位置越高的点， P就越大，Q就越小，比如完全弹性这一点，P等于4，Q无限接近于0，这时候用P比Q就接近无穷大，所以这时候弹性就无穷大，这就是完全弹性。

再看富有弹性这一点，P是3，Q是1，P比Q就是3:1=3，它就比下面缺乏弹性这一点，P比上Q是1:3=1/3大，因为这两点在弹性公式里面的前半部分，dQ比dP是一样大的，后面那部分P比Q富有弹性的点比缺乏弹性的点大，这很显然就能看出来，在曲线位置越高的点弹性越大。这里还有个特殊的点，就是单位弹性这一点就是弹性等于一，在这一点上正好是dQ比dP和dQ的数值互为倒数，二者一约弹性就变成一了。

我们在一条需求曲线上，想找一个单位弹性的点其实很容易，因为曲线上没点的斜率我们是知道的，即使这个曲线它不是直线，dQ比dP我们也能求出来，dQ比dP我们知道大小了，咱就找一个正好是纵坐标和横坐标相除，等于斜率的点就完事了，它等于斜率，不就正好能和斜率的倒数相互约掉，最后等于一吗？这一下就把单位弹性的点找着了，很容易知道了弹性和斜率的关系。

咱们再说一下，为什么经济学家用弹性去表示一个变量变化对另一个变量变化的影响，而不用斜率去表示这种影响关系。

咱先看一下最常见的需求函数和供给函数，需求函数Qd等于α减β乘P，用乙函数Qs等于负z的加上γ×P。

需求函数里面的β和供给函数里的γ，其实就能代表这两个函数所代表的直线的斜率。

但这里大家注意β和γ代表这个斜率，其实是咱们在图上能正常看见的需求和供给曲线斜率的倒数，因为这两个函数它其实是横坐标Q做了因变量，纵坐标P是自变量，这个坑咱们前面讲过，特意说过，这里咱就不说了，正因为反过来了，其实就正好β和γ表示P变化一个单位Q会变化多大数量，也就是说β和γ就可以表示一个变量变化，对另一个变量变化的影响，它能表示，但是问题来了，咱们前面也说了，如果是两种商品之间去比一下，谁的需求量对价格更敏感的话，咱们需要把两种商品的炼钢统一起来才行。

但如果用斜率来看这个事的话，即使是统一起来亮刚了，也会像下面两幅图表出来这样，比如黄金和地瓜统一数量都论客，价格都论元，我们就会发现黄金的需求曲线非常的陡峭，地瓜的就很平坦，但这可说明不了地瓜的需求对价格就更敏感，而现实当中黄金需求对价格才更敏感。

之所以在图上看起来地瓜这玩意儿价格变化一点，数量就会变化，很大的原因是这横坐标咱是按克来计算的，地瓜这玩意啥时候按克计算过，咱们买一袋地瓜就得百十来斤，比如地瓜涨价了，咱们少买10斤，10斤就是五千克，而10斤地瓜也差不了几块钱，黄金要是五千克的话，价格上可差出老远了，所以咱就必须把不同商品的标价和标量单位都给去掉才行，让商品之间不受这种标价尺度的影响才行，斜率做不到这一点，而弹性就能做到这一点，因为弹性是比值的比值，分子分母分别是个比值，分子分母做比值的时候就已经把单位消掉了，比如黄金的需求弹性，分母价格变化量比上原来的价格上下都有个圆，上下一削没了就剩下一个比值，那么再用这个比值再去除一个比值，最后一点计量单位都没留下，只留下变化本身也就是弹性，这就能很纯粹的分析变化本身的问题。

所以在度量一个变量变化对另一个变量变化的影响的时候，弹性要比斜率更科学更好用。

最后咱们总结一下这两节的知识点，咱们需要掌握弹性和斜率不是一回事儿，它们俩之间有什么样的关系？

第二个咱们要清楚曲线的形状和曲线上不同位置的点弹性是不一样的，也就是曲线的形状和位置都能影响弹性。第三个我们要知道，如果需求曲线是直线的时候，这个直线上的每一点弹性都不一样，是在直线上位置越高的点弹性越大，这个常考，所以咱们单列出来了。第四点，咱们要熟悉弹性的计算步骤，就是咱们讲的三步。第五点要熟悉点弹性和弧弹性分别是什么？