<p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 我们今天交流的话题是“等积变形（一）”。一些常见平面图形都有自己的面积公式，要想求其面积相对比较简单。另外，平面图形的面积具有守恒性，也就是不管图形如何改变，其面积大小不改变。今天这期说到的“等积变形”问题就是研究面积相等但形状不同的三角形以及它们之间的关系。根据“等积变形”这个知识可以有助于理解图形之间关系，发展空间观念以及巧妙地解决一些面积问题。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 例如，三角形的面积取决于底和高的乘积。两个形状完全不同的三角形，面积却可能是一样的。其常见的等积变形有以下几类：等底等高、等底模型、等高模型和平行线模型。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 1.问题：在两条平行线间如何画一个与已知三角形面积相等的三角形？</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 从学生的角度思考，大致会出现下面这三种情形：</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 画一个三角形，让它和已知三角形的底和高的长度相等，形状相同。根据三角形面积公式=底×高÷2，我们可以知道这两个三角形的面积相等。</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 画一个三角形，让它和已知三角形的底长度相等，但是，形状不同。根据平行线之间距离处处相等，我们可以知道这两个三角形的高相等，因此面积也相等。</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> </b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 第三种图形画的最简单，底相同，只要把顶点改变就能画出无数个与之前已知三角形的面积相等。</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px; color: rgb(237, 35, 8);"> 同底等高的三角形面积相等；</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 20px; color: rgb(237, 35, 8);"> 等积变形：形状变、面积不变。</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 如果动态来看，一个三角形被夹在两条平行线中间，当顶点运动时，高保持不变，所以三角形的面积不变，这种变形就是三角形的等积变形。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 2.问题：如果三角形的高（底）相等，但底（高）不相等，面积会有什么关系？</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 我们知道：如果三角形的底和高都相等，那么，这两个三角形的面积相等。如果几个三角形有共高或共底的情况，面积就和底（或高）之间的倍数（比例）是一样的。我们先看看三角形“共高”情况：</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 如图所示，三角形ABD和三角形ADC的高相等，由于三角形的底也相等，所以它们的面积也相等。</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 依此类推，如果这三个小三角形等底等高，那么它们的面积也相等。</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 两个高相等的三角形，面积之比就等于这条高对应的底边之比。这题中的三个三角形高都一样，但底边BC:BD:DC=3：2:1；所以对应面积之比也是3：2:1。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 上面研究的都是“共高”的情形，我们再看看同底的情况。</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 两个底边相等的三角形，面积之比就等于对应高的长度之比。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 3.等积变形的实际应用</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 题型1：“同底等高，面积相等”</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 这道题就是利用“同底等高三角形面积相等”这一结论加以思考。通过观察图形，我们知道：三角形ABD和三角形ADC的底BD、DC相等，底边对应的高也相等，所以三角形ABD和三角形ACD的面积相等，是三角形ABC面积一半。40÷2=20（平方厘米）。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 继续观察图，我们可以知道：三角形AEC和三角形DEC的底DE、AE相等，底边对应的高也相等，所以三角形AEC和三角形DEC的面积相等，是三角形ACD面积一半。即20÷2=10（平方厘米）。</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 题型2：“找到互相平行的边，根据等积变形guilvw，巧求面积”</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 第1题：</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 这是一道很经典的求阴影部分面积大小的题目，解题方法是不唯一的。由于给出大小正方形的边长，所以我们可以用“补”的方法，也可以用“割”的方法加以解决。看似不需要用到“等积变形”来解决。但是，如果我们把题目变化一下，只给定大正方形的边长，要求计算阴影部分的面积，此时“等积变形”的好处得以充分体现。</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 我们可以通过找到正方形中隐藏的平行关系，连接小正方形的对角线，就会发现：并排正方形其对角线是互相平行的。就可以通过两条平行线之间，同底等高的三角形面积相等。因此，图中紫色部分的阴影面积=黄色部分的阴影面积=大正方形面积的一半。</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 第2题的解题方法也是不唯一的，用正方形面积之和减去三个空白三角形面积之和的思路容易想到。</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 和上题一样，如果只给我们小正方形的边长，就需要我们思考用巧妙的办法解答了。</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 我们通过继续找正方形中隐藏的平行关系，可以连接大正方形的对角线，根据两条平行线之间，同底等高的三角形面积相等。因此，阴影面积FAC=红色框三角形DAC面积=小正方形面积的一半。所以，S=4×4÷2=8(平方厘米）</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 我们认真观看动态图，可以发现阴影部分的面积其实和右边大正方形的大小无关。也就是说右边这个正方形只要和左边小正方形并排，不管变得多大，连接起来的阴影部分面积都是小正方形的一半。</b></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 20px;"> 像这样利用等积变形的题目还真是不少，后续我们还会继续推出“等积变形”的其它模型，敬请关注。</b></p>