二次函数与几何综合系列(8)——角度问题之最大张角

数学寻梦人

如图，抛物线y＝-x²+2x+3与x轴交于A(左侧)、B两点，对称轴与x轴的交点是点D，在y轴上一动点M，当∠BMD最大时，求点M的坐标.

思维突破

1.研究y轴正半轴，在点M的从上到下移动过程中，∠BMD由小变大，到达某位置达到最大后再变小，原点处∠BMD＝0°

使∠BMD最大的点M位置怎样确定？联系的知识是什么？

2.最值问题是通过比较大小确定——最大角，其它满足条件的任一个角与之比较都小.

3.点B和D是定点，BD定线段可想到定边定角出定圆，定边动角(大小也变)出动圆，想到△BMD的外接圆，但因为都是圆周角即使半径不同找不到角比较大小的图形结构和理论基础.

4.退而求其次，作过B、D两点的圆，圆心在BD的垂直平分线即直线x＝2上，y轴与过B和D两点的圆的位置关系有三种——相离，相切和相交

①相离：点M均在外部，不易比较角大小，也不易确定位置；

②相切：一个点M在圆上，其余在圆外

③相交：内部，圆上和外部也不易比较和确定

因此选择过BD两点的圆与y轴相切时，点M是切点时，∠BMD是圆周角，其余均在圆外，比较大小发现，当∠BMD是唯一的圆周角时最大.且切点位置为容易确定——圆心到y轴距离与到B、D距离相等时y轴与圆相切.

角与圆周角比较大小的方法

1.直线与圆相交时

①点M在圆内部

由∠AMB＞∠ANB——外角性质

∠ADB＝∠ANB

可得∠AMB＞∠ANB

1.直线与圆相交时

②点M在圆外部

由∠ANB＞∠AMB——外角性质

∠ADB＝∠ANB

可得∠ADB＞∠AMB

2.直线与圆相切时

点M在圆外部

由∠ANB＞∠AMB——外角性质

∠AEB＝∠ANB

可得∠AEB＞∠AMB

思维路径

一.准备：

1.求点B坐标(3，0)，对称轴x＝1，点D(1，0)

二.确定位置

2.作BD的垂直平分线x＝2，垂足为E

作DQ＝2交直线x＝2于点Q，以点Q为圆心，2 为半径作圆与y轴切于点M，此时∠BMD最大.

三.求点坐标

在Rt△形BEQ中

y²＝4-1＝3

则y＝√3或-√3

因此点M坐标为(0，√3)或(0，-√3).

问题2：如图，抛物线y＝-x²+2x+3与x轴交于A(左侧)、B两点，与y轴交于点C，过点A作x轴的垂线l，在直线l上一动点M，当∠BMC最大时，求点M的坐标.

思维路径

一.准备：

1.求点B坐标(3，0)，点A(-1，0)，点C(0，1)，过点A的竖直直线x＝-1

二.确定位置

2.作BC的垂直平分线y＝x，在直线y＝x上取点Q，使BQ与到直线x＝-1的距离相等，以Q为圆心，BQ长为半径作圆与直线x＝-1切于点M，此时∠BMC最大.

三.求点坐标

作QH⊥x轴于点H

设点Q的横坐标为m

由勾股定理可得

(m+1)²＝(3-m)²+m²

解得m1＝4-2√2，m2＝4+2√2(舍)因此点M的坐标为(-1，4-2√2)

注：虽然圆与直线x＝-1相切，但不符合题意∠BMC小于第一种情况的∠BMC——点M位置在第一种情况的圆外部.

为什么会出现这种情况？

定弦所在圆的半径大小以及所对优劣弧不同有关.因为弦的垂直平分线与动点所在直线不平行，两种情况不对称所致.