<p class="ql-block"><b>趣味数学—硬币悖论</b></p> <p class="ql-block"><b> 硬币悖论是什么？我们拿出两个大小相同的硬币，上下摆放，按住下方的硬币不让它动，然后让上方的硬币绕着不动的圆绕一周。此时，很多人会下意识地认为，在转动的过程中，外侧的硬币应该会转动一周便可回到起点。</b></p><p class="ql-block"><b> 然而，事实情况却并非如此，硬币足足转动了两周才回到起点。这一反直觉的现象，被人们称作硬币悖论。虽然说两个圆的半径和圆周长相等，其中外圆确实是只转了一大圈，但是，对于滚动圆的圆心O2来说，因其公转半径为2R，因此转动一固走过了4丌R的路程，而并非2丌R。</b></p><p class="ql-block"><b> 这一问题最早出现于1982年5月1号的美国高考数学题中。如题所示，两个圆的半径不同，小圆的半径是大圆半径的1/3。问题是，如果要小圆绕着大圆滚回原位，那么它需要转多少圈？答案有五个和前面的硬币问题相似，多数人甚至是出题人都认为答案是B。然而有了前车之鉴，我们再亲手操作一下，就会发现小圆转了整整四圈才回到了起点。</b></p><p class="ql-block"><b> 在当年参与考试的30万考生里，只有三个学生给出了正确答案，最终也只有这三位同学获得了该题的分数。而这类题目其实也有一个比较套路的算法，即用公转圆圆心画出的圆的半径除以这个公转圆的半径，就得到了公转圆转动的圈数。以上述高考题目为例，小圆的半径为一，它的圆心走过的圆的半径为一加三等于四，因此最终得到的答案就是小圆转动了四圈。可是答案套路和方法似乎get到了错觉产生的原因。却仍不清晰。为什么外侧滚动的圆总会多转一周呢？</b></p><p class="ql-block"><b> 下面我们首先分析第一个问题，两个半径相同的圆，其中的一个不动，另一个绕固定圆作圆周运动一周，会出现什么状况？如下图所示：</b></p> <p class="ql-block"><b> 图片中间那个⊙O1圆及圆心不动，半径为R，上面那个⊙O2与下面的圆半径相等均为R，且与⊙O1边界相交为A点。</b></p><p class="ql-block"><b> 现在⊙O2绕⊙O1匀速紧贴转动，公转半径为2R。（中间那个大圆所示）当⊙O2从最高处转动到最低处时，圆心O2绕⊙O1刚好转动半圈。</b></p><p class="ql-block"><b> 另外交点A随着自身圓的旋转转动，也开始离开起点，按图上红色心形轨迹移动同时到达最下方。这时A点已经回到最下方，则⊙O2刚好完成360度旋转一圈。</b></p><p class="ql-block"><b> ⊙O2继续绕⊙O1转动半圈，交点A沿心形轨迹再移动另一半，刚好A点与 O2都同时回到起始位置。</b></p><p class="ql-block"><b> 由此可见，⊙O2绕⊙O1转动两圈回到了起始位置。恰好，O2的公转半径2R是自身半径R的两倍。因此，判断两个半径相同按上述规则转动的外圆圈数应该等于“公转半径除以自身半径的倍数。”</b></p><p class="ql-block"><b> 同理，美国高考题内圆半径为3，外圆半径为1，外圆绕内圆转动一周，应该是转动几几卷呢？（如下图所示）</b></p><p class="ql-block"><b> </b></p><p class="ql-block"> </p> <p class="ql-block"><b> 由此可见，小圆中圆心O2的公转半径为4R，自身旋转半径为R。小圆绕3R大圆公转一周，小圆自旋的圈数等于4R/R=4（四圈）。</b></p><p class="ql-block"><b> 综上所述，即使两个圆半径不等，外圆绕内圆转动一周时，自身应旋转的圏数，应该是公转半径/自身半径之倍数。问题就这么简单，请记住。祝好！</b></p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block"><b> 责任编辑 袁成适</b></p><p class="ql-block"><b> 2023.5.13</b></p>