闲聊相对论（17）浅谈爱因斯坦场方程

slaoqi

　　 （一）前言

由于仃筆的时间长了，所以就加进了这个前言。

从科普这个角度讲，通过前面多期所述，可以说我们已经知道了广义相对论的主要思想：1）把时空从狭义相对论的平直时空推广到弯曲时空；2）引力就是四维时空的弯曲在三维空间中的反映；3）弯曲时空中自由质点的运动轨迹，是该时空的测地线（短程线）；4)由等效原理可知，光在引力场中是沿一条趋向引力源的曲线传播的，广义相对论正确性的最早验证，就是爱丁顿们在日全食时测量星光偏转完成的；5)引力场中，引力弱的地方和引力强的地方相比，时间流逝要快，用一句口水话来说，就是人要老得快，等等。

相对论本来就是一个冷门学科，它的前沿研究课题是宇宙学、引力波、黑洞等，依据的是爱因斯坦的引力理论，一般人並不涉及。在低速弱场的条件下，牛顿力学，牛顿的引力理论就足夠用了。所以，作为科普，到《闲聊相对论》的16期，我们本是可以划上句号的。如想对广义相对论有个更完整更深入点的认识，粗浅地了解一点爱因斯坦场方程也是可以理解的。毕竟它是广义相对论的核心内容。它把动态的、质量引起的时空弯曲及弯曲时空中的物质运动等等物理量之间变化的定量关系用数学方程表示了出来，方程的每一个解其实就是描述了一个宇宙。从这个意义上来说，我们前面所讲的，就只是定性的零散的东西。

下面我们就来认识它

（二）在和泊松方程的对比中，找出产生爱因斯坦场方程的思路

1)先看泊松方程



　　 泊松方程是牛顿引力理论的核心公式。

这个公式的左边是引力势，右边是质量密度，这就建立起了引力和引力源（质量）之间的关系。

在广义相对论中，引力变成了时空弯曲，参考泊松方程，就是要建立时空弯曲情况和引力源之间的关系。

2)爱因斯坦场方程

Ruv -1/2guv R +Aguv = kTuv

.Ruv是从黎曼张量缩并而成的里奇张量，代表曲率项，是1 －3型张量，表示空间弯曲程度。

· R是从里奇张量缩并而成的标量曲率(或里奇数量)

· guv是（3+1)维时空的度量张量，也叫度规张量；

· Tuv是能量-动量-应力张量，0- 2型张量，表示了物质分布和运动状况。

. G是引力常数。

Aguv是宇宙常数。

我们这里不考虑宇宙常数，並把爱因斯坦场方程左边其它项统称为爱因斯坦张量Guv，简化则有：

Guv =8πTuv

这就是我们要在下面用来讨论的爱因斯坦场方程。看起来简单，事实上它并不简单

。我们用它讨论，主要是为了简捷、方便、易懂 。

　　

实际上它的每一项，都可以说包函着千军万马！！这是10个未知数的张量方程，即由10个方程组成的二阶非线性偏微分方程组，根本就没有一般解。

比较一下泊松方程和爱因斯坦方程，其思路完全是一致的。对泊松方程来说，左边是引力情况，右边是引力源的情况。到了场方程，因为广义相对论认为引力是时空弯曲，所以左边的引力情况就变成了描述时空弯曲情况的爱因斯坦张量Guv。两个方程的右边类似，都是引力源的情况。这样一比较，我们就能清楚的看出爱因斯坦得出场方程的思路，是参照泊松方程进行的。而泊松方程是用严密的数学推导得来的。

当然，场方程比泊松方程要复杂得多得多，泊松方程描述的引力势和质量密度之间的关系，可以看做是点对点的静态关系，而场方程描述的，是研究范围内变化的时空弯曲情况和该范圃内变化的能量（质量也是能量）、动量、应力等之间的关系。 在低速弱场的情况下，场方程可近似回到泊松方程。这也是场方程正确性的一个简接证据。

　　进一步分析，式子的左边，就是那个爱因斯坦张量Guv ，可以粗略地看做时空弯曲情况，和泊松方程中左边的引力势相对应。这里要说明，这个爱因斯坦张量Guv 是这样定义出来的：根据前面第10期讲的线元决定几何性质，所以就有，从线元 d S^2 出发——定义出黎曼张量R…——由㴝曼张量定义出了爱因斯坦张量 Guv。Guv和R…之间有这样的关系：R…为零时，Guv必定为零，因为此时变成了平直时空；但Guv为零时，R…却不一定为零，这是因为定义爱因斯坦张量时还加进了度规等因素。

式子右边可以粗略地看做物质，和泊松方程右边的质量密度相对应。在广义相对论中，质量和能量可以等同来看，所以说详细点，这个质量就是能量，动量及应力的总和，可以给它起个名子叫能动张量Tuv。由于由场方程可直接推导出运动方程，就有了那句话：物貭（等式右边）告诉时空（等式左边）如何弯曲，时空告诉物质如何运动。

对张量，度量（度规）、流型等名词，我们以前简单的解释过，但我的体会，对非专业的我们来说，简单解释对进一步理解场方程並无太大的帮助，较深入了解才有用。如果有朋友想继续聊，有空我可以就此作点介绍。介绍它，即是在科普水平上，也绕不开线性代数等基础知识。介绍它的一个难点是，几乎全是公式推导，在这个平台上，只有用手写拍照才能完成它，而这样的效果很差，少有人能有耐心去看一个接一个手写的文字照片。

　　 （三）史瓦西真空解

史瓦西解也叫史瓦西度规或史瓦西几何。

场方程是爱因斯坦创立广义相对论时一个有根有据地合理假设，不存在推导的问题。爱因斯坦当年並没有求出它的解，他只是根据方程做了若干予言，比如存在引力波（引力波的存在前年已被实验证实）、光线曲线传播、引力塲时间流逝变慢（这两个结论早先用等效原理也可得到）、引力红移等……还有对水星近日点进动的完美解释等。

但毕竟，是方程就有求解的问题。根据前面对爱因斯坦张量的定义可以想到，所谓场方程的解，实际上是求解线元的系数，为了好懂，下面我们就用一个具体问题来说明，这就是场方程的真空解。

在我们研究引力场时，根据研究的目的和对象，也可能涉及到一个具体的时空区域，如果在这个时空区域内，物质场是不存在的，也就是说它的能动张量点点为零，这时候，场方程的右边就等于零，即：

Guv = 0

这就是真空爱因斯坦场方程。我们前面说过，爱因斯坦张量为零，黎曼张量不一定为零。如果黎曼张量为零，那就是平直时空，就不是广义相对论所要讨论的问题了。这是引力场的真空情况，就是说你关注的那片时空是真空，没有物质场。所以说很多弯曲时空，就是真空场方程的解。换句话说就是，想知道一片没有物质场的弯曲时空的几何形貌，求相对应真空场方程的解就可以得到。一一这句话有点绕。但您只要理解了这句话，那就真的明白了爱因斯坦场方程的解是什么意思了！

为了进一步说明，回到前面，我们说过，爱因斯坦张量是由黎曼张量决定的，而黎曼张量是由线元决定的，所以实际上所谓求场方程的真空解，就是找出一个适当的线元，使得和它相对应的爱因斯坦张量为零。那求解不就是求线元吗？推广地说就是，场方程的求解，就是解出线元来。

关于线元，我们在本系列第10期详细地讲述过，忘记的朋友，请翻回到前面去看。线元的表达式，一般有多个二次项，每一项系数都可以是函数，而求解线元，就是求线元中每一项的系数。

至于爱因斯坦张量如何倚赖线元，研究发现，其倚赖关系是高度非线性的！！其实就是，爱因斯坦张量对那些线元系数的依赖方式，是高度非线性的。这给求解带来极大困难。

有句话说得好，办法总比困难多。人们设定某些物理条件，那种物理条件下有若干个对称性可以利用（科学家们最喜欢用对称解决难题，我们在《量子乱弹》中多次讲过），这时爱因斯坦场方程就可能变得简单得多，非线性的偏微分方程就可变得相当的简单，从而可以求解。可见求解场方程非常依赖对称性。

1915年11月爱因斯坦在普鲁士一个科学杂志上发表了广义相对论连同场方程，很快就有一个叫史瓦西的德国年轻天文学家求出了第一个解。

史瓦西是个爱国者，当时作为志愿兵在德俄战争前线的战壕里打仗，从杂志上看到爱因斯坦的论文和场方程，就产生了一个強烈冲动，觉得自己可求出解来，在设定一些对称性后，几天之内就得出了答案，並把答案寄给了爱因斯坦，爱得到答案以后简直是大喜过望！这是可以理解的，因为他给出了方程，却无法求解，现在有人给出了第一个解，能不高兴？爱因斯坦给史瓦西回信说，这么短时间求出第一个解，真了不起！並说对史的解析处理极为满意！接着爱就在普鲁士科学院的年会上替史瓦西宣读了论文。

史瓦西解这个真空方程，他从天文学家的眼光出发，关心的是一个静态的、球对称的恒星周围的引力场。宇宙是充满物质的，但如果你观察某一个恒星比如太阳，它周围虽然有各个行星，但你把这些行星忽略的话，就可以提炼出一个近似的所谓孤立体系这样的模型，在这个模型里，就只有一个太阳，周围全是真空。他考虑的是球对称的，而且是静态（体积、质量不变）的恒星，看看由于它的存在，使它周围的时空变得如何地 弯曲。而弯曲由几何描述，几何由线元描述，所以解就是求出真空时空区域内的四维线元d S^2。由于初设的物理条件给出了引力场源的对称性一一球型，而恒星有两个对称性，第一个就是球对称性，第二个是静态性（粗糙的说就是一切不随时间T变化），利用这两个对称性，史瓦西就认为，源有这两个对称性，那么源造成的它周围的真空区域内的引力场也应该有这两个对称性。事实上，利用了这两个对称性，从而得到的线元系数就简单得多，方程可解。

略去求解过程，直接给出真空解如下：



看上图，解中出现d t^2、d r^2，dθ^2，dψ^2，我们就可断定该线元所用的坐标就是（t，r，θ，ψ）坐标系。在这儿有不理解的朋友，麻烦翻看本系列文章的第10期。式中划红线的部分，就是线元系数。第一个系数中的M，稍加分析即不难知道，它就是恒星的质量；最后两项中出现θ和ψ，说明了线元对角度的依赖，就反映出了球对称性。再来看下面划红线的每一项的线元系数，含坐标r，θ，却不含T，这就意味着这个线元是静态的。这样，两个对称就在方程解的线元中全部体现出来了！

式中， 如果设想M的质量很小，小到可以忽略，即可看作零，这时线元就变成这样：

　　看这个把M看做零时线元的前两项，我们就觉得似曾相识。这不就是闵氏线元在球坐标系（t，r，θ，ψ）中的表达式吗？

我们最熟悉的线元是：

d S^ 2 = －d t^2 + d x^2 + d y^2 +……

这就是最简单的闵氏线元表达式，它的各项系教都为1。产生这种最简单闵氏线元表达式的条件，就是要求（t，x，y ，z，……）坐标系是惯性坐标系。而（t，r，θ，ψ）坐标系中，r，θ，ψ不同于x，y 、z等坐标，不是惯性坐标系，所以就不能写成最简单的闵氏线元形式。

总之，由上面的讨论我们可以得出一个结论，即当M可看作零时，真空场方程的解就回到闵氏线元。这是一个理所当然的事，M为零，就没有引力场源，也就没有引力场，当然就成了闵氏时空。

史瓦西求出场方程的真空解后还不满足。他想到的是，描述恒星外部真空区域的时空弯曲线元求出了，但它不适用于恒星内部。在战壕这样的条件下，他还求出了外部真空时恒星内部场方程的内解，即恒星外部真空时内部时空的线元表达式。这时他面对的方程就不是Guv = 0，而是Guv =8πTuv了，他居然得到了一个设定条件的内解。真是太厉害了！这个求解过程比真空解要难得多，解也更复杂些，这里就不介绍了。

请朋友们注意，我们这里所说的内外，是由四维语言界定的，实际上就是恒星表面世界面一一园柱面的内外。

史瓦西在求内解时设定的条件，就是假设恒星的质量密度是处处均匀的，即恒星是所谓的“均匀密度星”。这个假设离实际是有点距离，但对于小恒星来说，还算不太离谱，是可以接受的。

史瓦西把内解寄给爱因斯坦，爱因斯坦又在科学大会上宣读了。天妒英才，到19 16年的五月，史瓦西因患病被送回国内不久就离开了人世。

爱因斯坦的广义相对论连带场方程是1915年11月在科学杂志上发表的，传到史瓦西手上肯定需要时日，在那样恶劣的环境下，不到半年时间，他竞然求出了真空解和内解，这需要多大的勤奋和才智才能做到！！

史瓦西之后，出现了不少有实用意义的非真空解。

一个非常有意义的有源解是关于宇宙的。从宇观尺度看，时空是一个光滑的、坐标友好型的空间，称为流形。度规g允许我们严格地定义这个流形中向量的距离和长度。我们把度规看成是一个矩阵，在流形上从点到点变化，解这个度规的方法是解爱因斯坦场方程。反过来说有源宇宙解就是这个度规。有了这些解，人们就可以理性地、不再盲目臆想的深入研究宇宙了。

总之， 有人类以来，对宇宙的关心、好奇就普遍存在。特别是古往今来的科学家们都有过深入的思考並得出各种猜测性结论，长时间以来对很多问题争论不休，没有定论，比如宇宙有限还是无限之类的问题。但真正使宇宙论或宇宙学成为一门科学，这都是1915年11月以后的事。广义相对论出现以后，研究宇宙就有了强大的理论武噐，完全摆脱了猜测臆想争论不休没有定论的樊笼，在四维语言的语境下，使一些问题有了比较确定的结论。当然这种答案不像我们看到一只鸡、一头牛那样在脑子里印象清晰，四维时空中的构造，有时可能只能用数学来把握。这里就不多说了。

爱因斯坦真厉害！