<p class="ql-block">——浅谈初中数学一类“点函数”的题</p> <p class="ql-block"> 世间万物，许多事物都是辩证的。比如：对立与统一，动与静等等。我今天主要讲“点”与“线”之间的关系。</p><p class="ql-block"> 一、点动成线</p><p class="ql-block"> 平面直角坐标系中有一点P，其坐标为（-2，3），同学们都知道这是一个实实在在，具体的点，可是老师将点P的坐标改为P（m，m），它还是点吗？</p><p class="ql-block"> 表面上看，它以点的形式出现，是一个点，同时。随着m的取值不同，它又代表了一系列的点，有一个m的值就对应一个点，所以它也不是一个具体的点，它是一类点。它有无数个点，这无数个的横坐标与纵坐标之间存在某种联系，P（m，m）实际上就是横坐标与纵坐标相等一类点，也就是直线y=x。</p><p class="ql-block"> 在现实生活中，这样的例子很多，比如：</p><p class="ql-block"> 宁静的夜晚，一颗流星划破天空，照亮天宇。划出了一道优美的弧线，有的转瞬即逝，但是它留给人们心中美是永恒的，留给人们的遐思更是无限的。</p> <p class="ql-block"> 许多文学家留下优美的诗句。如唐代杨凝的《行思》“月衔高岳，流星拂晓空。此时皆在梦，行色独匆匆。”，思想家们从流星中看出人生与奉献的思想，物理学家验证了牛顿的万有引力定理，数学家们提出了“点动成线”的辩证观点。</p><p class="ql-block"> 再如:</p> <p class="ql-block"> 作为一个数学爱好者的我，今天我不谈几何学中的“点动成线”，而是谈谈“点动成线”与代数中函数的关系，我个人通常把这样的点称为“点函数”。</p><p class="ql-block"> 下面就谈一谈初中生如何解决“点函数”的问题？</p><p class="ql-block"> （一）如何将“点函数”中的点转化为函数.</p><p class="ql-block"> 首先看例题.</p> <p class="ql-block"> 这里的第（1）（2）题，同学们一眼就可以看出，他们分别是y=2x，y=-3x+2，下面3题，我以第（4）题为例加以说明。</p> <p class="ql-block">例2：已知点A（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，求点A代表什么函数？</p> <p class="ql-block"> 归纳总结：1、如果一个点的横坐标纵坐标都用某一字母来表示的，那么我们可以通过设它的横坐标为X，纵坐标为Y。然后消去这个点坐标中的字母从而得到横坐标x与纵坐标之间的函数关系。</p><p class="ql-block"> 2、如果一个点的横坐标和纵坐标用两个字母来表示的，另外又告诉了这两个字母之间的等量关系，那么我们可以通过消去其中一个字母，得到这个点的坐标是用同一字母表示的。从而用上面的方法去解决。也可以根据三个方程，消去两个字母得到x，y之间的关系。 </p><p class="ql-block"> （二）、“点函数”问题的分析解决</p><p class="ql-block"> “点函数”的问题，只要将这个点转化成具体的函数，从而用函数的知识去解决问题，就可迎刃而解。例如：</p><p class="ql-block"> 例3、如图，⊙O的圆心为原点，半径为1，过点（a，a﹣1）可以作⊙O的两条切线，则a的取值范围是 ．</p> <p class="ql-block"> 例4、已知A(1，0),B(4，0)，C(m，m)，求三角形ABC周长的最小值及此时点C的坐标。</p> <p class="ql-block"> 例6、已知A(-2,0),B(4,0),C(o,m),以BC为斜边按如图所示作Rt△PBC，使∠BPC=90°,且tan∠BCP=2,连接AP,问:当m为何值时AP最短?</p> <p class="ql-block"> 练习：如图,正方形ABCO,A(0,2),C(2,0),点P在0C边上从O向C运动，点Q在CB边上从C向B运动，且始终保持OP=CQ,连接PQ，设PQ的中点为M,求M运动的路径长度;</p> <p class="ql-block"> 二、线中之魂——点</p><p class="ql-block"> 先来三题简单的。</p><p class="ql-block"> 1、无论k取何值，直线y=kx（k≠0）都经过一个定点，这个定点坐标为。</p><p class="ql-block"> 2、无论k取何值，直线y=kx+3（k≠0）都经过一个定点，这个定点坐标为。</p><p class="ql-block"> 3、直线y=k（x-1）+5过定点。显然，它们分别经过点（0，0）、（0，3）、（1，5）再来三题。</p><p class="ql-block"> 4、直线y=kx-3k+6过定点。</p><p class="ql-block"> 5、直线y=（k-2）x+3k过定点。</p><p class="ql-block"> 6、直线y=（1-2k）x+k-1，不任k取何值，该直线必定经过第象限。</p><p class="ql-block"> 分析：第4题，将y=kx-3k+6化为y=（x-3）k+6，令x-3=0，得x=3，从而得知它经过点（3，6）.</p><p class="ql-block"> 第5题，将y=y=（k-2）x+3k化为y=（x+3）k-2x，令x+3=0，得x=-3，从而得知它经过点（-3，6）</p> <p class="ql-block"> 归纳总结：如果某函数中，除变量x和y外，还有第三个字母，求这个函数必经过的点或象限时，我们只要将这个字母提取出来，令零括号里等于零，求出X值，从而求出y的值，这样就可以该函数必经过的点或者象限。</p><p class="ql-block"> 本文提醒同学们，今后解题时，题目中给你的点，它不一定是点，有时是一条线，有时给你的函数不是具体的函数，还含有其它字母，可能它经过一个定点，如果看到题目中的点的横坐标纵坐标都用某一字母来表示的，那么我们可以通过设它的横坐标为X，纵坐标为Y。然后消去这个点坐标中的字母从而得到横坐标x与纵坐标之间的函数关系，即这个点所在的线，题目如果某函数中，除变量x和y外，还有第三个字母，求这个函数必经过的点或象限时，我们只要将这个字母提取出来，令零括号里等于零，求出X值，从而求出y的值，这样就可以该函数必经过的点或者象限。</p><p class="ql-block"> 点动成线，线中有点，同学们掌握了数学中这种点和线的辩证关系，数学解题时能解出“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”的意境，那数学绝对0K了！</p>