尺规作图

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　　古希腊数学在几何方面曾取得了令人瞩目的成就，尤其是尺规作图，其具备极高的思维价值和文化价值。

尺规作图，即在只有圆规和直尺（“尺规”是按习惯说法译的，这里的“尺” 是没有刻度的，实际是“直边”）的情况下，通过有限次的使用，来解决不同的平面几何作图问题。

古希腊人“爱智”，几何图形繁多、复杂，而工具却极为有限（仅两样）并被严格限制，让尺规作图变得艰难但又充满趣味，这激励着人们在思维的高度上不断跃进。直到现在，不少学者和教育家仍将此看作是训练儿童思维的最佳材料。

• 古希腊人对数与形的认识

1、毕达哥拉斯的“万物皆数”

早期人类因交换计数、土地丈量等实际需求，开始了对数学的认识，由于在生活中频繁使用，算术和几何又都显得很直观、自然，人们未将二者进行区分，因此，当时数学的活动还不具备科学的性质。

直到古希腊时代才进入新阶段，受希腊民主思辨氛围的影响，毕达哥拉斯首先提出：“数学上的东西，如数和图形是思维的抽象，同实际事物与实际形象截然不同。” 并由此开始思考究竟应该以算术还是以几何为基础来研究数学，通过对天体运行、音乐和谐及前人知识的考察，毕达哥拉斯最终提出了“万物皆数”的思想，并将此看成宇宙形成的原则。正当毕达哥拉斯及其门徒沉浸在发现这一信念的欢愉之中时，他的弟子希帕索斯对不可公度量（即无理数）的发现否定了毕达哥拉斯试图用整数来窥探宇宙的计划，后人将这一事件称为毕达哥拉斯悖论或第一次数学危机。

2、欧多克斯与“不可公度比”

这一危机使古希腊人深刻地认识到两点。

第一，经验是不可靠的，“万物皆数”正是经验的产物，这一教训提醒古希腊人寻求更为有效地获得知识的方法。

第二，算术是不可靠的，几何才是宇宙的真知，自此几何自然地成为他们研究的基础。欧多克斯引入了“量”，如线段、角、面积、体积、时间等能够联系变动（不是数）的概念，他还定义了两个量的比与比例，并由此将可公度比（有理数）和不可公度比（无理数）都包括在内。

从此，数和几何截然分开了。因为只有几何才能处理不可公度比，几何作图也占据了越来越重要的地位，人们认为“可作出”的量才是“存在” 的。

亚里士多德指出一个定义只能告诉人们一件事物是什么，并不说明它存在。比如人们可以定义一个图形——圆方——既是圆的又是方的，但它并不存在。

采取用以证明存在的方法就是构造，古希腊人在几何上花费大量的精力，尤其是几何图形的构造问题，几何学在希腊得到了极大的推进。

3、《几何原本》与尺规作图

最早提出几何作图要有尺规限制的是古希腊的哲学家安那萨哥拉斯，他因政治上的纠葛被关进监狱，被处死刑。在监狱里，他思考化圆为方和其他有关问题，用来打发无所事事的生活。没有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍、竹片（没有刻度）之类作直尺。另外，对他来说，时间不多了，因此他自然想到要有限次地使用尺规解决问题。

后来，以公设形式明确这个规定的是欧几里得，他在《几何原本》中对作图作了三条公设。

公设1：从任意点到另一点可以引直线。

公设2：每条直线都可以无限延长。

公设3：以任意点为圆心，可以用任意半径作圆。

【史宁中：直尺可以画直线；圆规可以确定长度，可以得到两个确定长度线段的交点。】

4、关于数学本源的争辩

算术与几何究竟谁才是数学的本源？

18 世纪，康德在其《纯粹理性批判》中就“ 纯粹数学何以可能？” 给出解释：几何是关于空间的知识，算术是关于时间的知识，由于空间与时间都具有先验性和直观性，因此几何命题和算术命题都是先天综合判断（即绝对的知识）。这是自人类拥有智慧以来一直秉承的宇宙本体观的体现，不可公度量的发现使希腊人被迫放弃了整数至上论，而投身几何的怀抱，这一转变使他们开始直面认识论问题，这对后续哲学的发展起到了重要的奠基作用。

希腊人开始逐渐抛弃直观经验，转而求助演绎逻辑，M·克莱因对此评价说：“ 希腊人对数学的最大贡献是坚持一切数学结果必须根据明白规定的公理演绎法推出，证明在数学中所处的地位改变了。”

正是对演绎逻辑的单纯依赖，才使得千百年来数学命题始终立于不败之地，正是有数学作为坚强的后盾，人们才敢于一次次地追问和探寻真理的源泉。正如柏拉图在《共和国》第七篇所说：“ 几何会把灵魂引向真理，产生哲学精神。”

5、作图工具的限制

古希腊学者将作图工具限制于直尺和圆规，是出于对数学美的追求：

1⃣️柏拉图认为直线和圆是最简洁、最清楚的图形，只有直线、圆，以及由它们得出的图形才是最清楚的；

2⃣️直线和圆的对称性反映了部分与部分之间的统一性，而将这种统一性推而广之，便可探寻到整个宇宙的奥秘。