方程（三）

数学百科全书（今年6年级）

我们今天继续来讲方程。

你们所猜的音乐有几个猜中的呢？欢迎评论区留言哦～

七，不定方程。

不定方程就是未知数数量大于方程数量的方程。不定方程有很多，这里我就只用一元不定方程来举例子。

他有常用的三种解法。

第一种方法：奇偶性分析。

就如这道题：7x+2y=24。

两个数的和等于24，是一个偶数。所以2y也一定是个偶数，所以说7x的值一定是个偶数。7是奇数，所以说x只能是偶数。那么x又是从0~3，那么所以说x只能是0或者2这两种可能。最后算出有两组答案：x=0,y=12；x=2,y=5。

第二种：余数分析。也是用的比较多的方法，通常从系数较小的未知数入手。它的原理其实就是利用了：和的余数等于余数的和，进行判断分析。当然这种方法一般不是孤立使用，而是将这几种方法综合运用。

第三种：个位分析法。在有5或10的系数的不定方程中使用这种方法会比较省力。

比如说：5x+2y=23，已知x、y∈N，求x、y的值。因为5x个位要么是0，要么是5，所以说2y的个位只有两种可能。当5x的个位是0的时候，2y的个位是3，但2y一定是个偶数，所以说这种情况是不存在的。因此只有一种情况～5x的个位是5，因此可以推导出x一定是奇数，2y的个位是8。有以下几种情况：2y=8；2y=18，两个数的和总共是23，所以说2最大是18。分别把2y的两个值代入方程中，可解出以下两组答案：x=1，y=9；x=3，y=4。

八，微分方程。

含有未知函数的导数，如dy/dx=2x的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

其定义式为：

微分方程的解

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。

例如：dy/dx=sinx，其解为：y=-cosx+C。其中C是待定常数。

如果知道y=f（π）=2，则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。

对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：

对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：y=C（x）e^（-∫p（x）dx），然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

二阶常系数齐次常微分方程

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解

对于方程：y＂+py＇+qy=0可知其通解：y=c①y①+c②y②，其特征方程：r^2+pr+q=0，根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解。一般的通解形式为：若

，则有

若

，则有

在共轭复数根的情况下：

。r=α±βi

约束条件

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

唯一性

存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。

针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。

针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

制作不易，求点赞👍～！