读书笔记11-20《义务教育数学课程标准（2022年版）课例式解读》

杨俊杰

数学

素养

数学课程

建模

核心

语言

教学

情境

问题

切入点

新课标关键问题解读11 || 数学语言作为核心素养有哪些意义

相对于2001年“三位一体”目标中的“过程”、2011年“四基”“四能”目标中的“思想、经验”等在当时体现出的创新意义，2022版课标的创新标志是以“三会”为代表的核心素养。“会用数学的语言表达现实世界”是其中最为体现时代特征的目标创新。

回顾以往数学课程发展改革进程中一些新提法的境遇，如对“过程”的诟病、对“情境”的诘问、对“大众”的不屑等，为了在推进“三会”的道路上少一些坎坷，有必要在“数学语言”提出之初，就把它作为核心素养的独特教育价值梳理清楚，为数学语言顺利走上数学课程发展之路做好铺垫和准备。

下面从三个比较重要的方面探讨“会用数学的语言表达现实世界”的意义。

1.为数学建模在基础教育数学课程中找准了位置

本来是分析数学语言，为什么提到数学建模？一个重要原因是，数学建模可以说是数学语言表达的最高层次，从数学建模入手，有助于把数学语言的意义说清楚。

“数学建模”这个词进入我国基础教育数学课程的时间已经不短，是为数不多的在基础教育与高等教育中名称完全一样的内容，但关于它在基础教育数学课程中如何定位，仍在讨论之中。

目前数学建模已经是我国高中的一个数学学科核心素养。数学之外其他许多学科的核心素养在义务教育和普通高中之间是一致的。也曾有过把高中的数学学科核心素养拿来作为小学和初中核心素养的主张。虽然数学建模的重要性毋庸置疑，但是否要拿来作为每个学生必学的内容，确实值得商榷。且不说义务教育,就是对高中阶段来说，虽然数学建模作为核心素养已成事实，但实际上也有需要商榷之处。其中的主要问题是：数学建模到底是专业素养还是公民素养？或者说，它是否符合核心素养对“必备品格、关键能力”要求？“必备”和“关键” 讲的都是“必要条件”，即必不可少或不可或缺。对我国数学课程来说，数学建模是否对每一个人都必不可少？如果不是，那到底数学建模中的什么成分对每一个人来说都必不可少？

现在已有结论，必不可少的就是数学语言。为了把这个问题梳理清楚，需要稍微多说一点。

事实上，与我国基础教育数学课程的绝大部分内容一样，数学建模也是一个舶来品。在美国的《州共同数学课程标准》（简称CCSSM）中，初中以下没有以数学建模命名的内容，与数学建模相关的内容可在以“问题解决”命名的内容中找到。

在CCSSM中，“数学建模”一词出现在高中，是用星号（*）标出的内容, 并特意说明：现实世界的情境，不是现成的或摆在那儿让你拿来就用的。提炼模型、做出分析，是个从情境出发的发现过程，是一项专业性强、需要创造性的工作（this depends on acquired expertise as well as creativity ）。从中可以看出，美国高中的数学建模不是对每个人提出的共同要求，而是为那些确有兴趣又有一定潜质的学生准备的有弹性的学习内容。这一点从我们熟悉的打星号上也可以看出。

这就是说，作为数学建模原产地的美国，并没有把数学建模作为高中数学的必学内容。我们舶来之后，在经验并不比美国多的情况下，把它定位为高中数学学科核心素养，使之成为有明确课时和内容要求的必学必考内容。仅从这一点看，我国高中数学课程对数学建模的要求就肯定比美国高了，因此也有可能是世界最高的。

问题是，我们为什么不能比美国高，或者成为全世界最高呢？

那要看看实际情况。

随着核心素养进入高中数学课程已经超过一个学段周期（三年）并进入高考，我们可以陆续见到关于数学建模在高中数学教学实践中表现的论文和著作，其中有的通过研究高考内容中核心素养的表现，反窥实际教学中作为必学内容的数学建模的状态，得出的结论应该说不够乐观。对类似的研究和结论肯定是见仁见智，但这样的结论至少可以提醒我们，要审慎思量把数学建模作为必学内容纳入义务教育阶段数学课程的可能前景。

无论是其思想还是应用，数学建模都代表了从小学一直到大学每个层级数学课程的方向，这一点毋庸置疑。其实真正应该审慎对待的是：小学、初中、高中、大学，甚至在专业人士那里的数学建模，是不是同一个东西？如果在这一点上囫囵吞枣，可能就会出现这种大方向上没问题，但在实践上未如人意的局面, 这一点也毋庸置疑。

因此，如果想把数学建模融入基础教育数学课程，除了要提供充分的弹性空间之外，更重要的是要在数学建模本身的数学价值与教育价值之间找到一个平衡点，这个“点”既能体现出数学建模的数学价值，又要符合基础教育数学课程的基本要求。特别地，这个“点”必须满足核心素养是“必备”（必不可少）和“关键”（不可或缺）的定位。所以，事实上需要关注的是两个方面：一是挖掘出数学建模中最具基础教育价值的成分，二是判断该成分是否处在每一个学习者都必须而且有能力达成的数学学习目标范围和任务水平上。

应该说，2022版课标已经找准了这个“点”，那就是“数学语言”。其意义是不仅实现了数学课程目标的创新，而且通过作为核心素养的数学语言，为数学建模在基础教育数学课程中找准了位置。虽然没用“数学建模”这个词，但数学建模最为重要的教育价值仍在。

数学建模追求的目标肯定是数学模型，对确有兴趣又有一定潜质的学生来说，确实存在根据问题情境和遵循具体要求建模成功的可能。但对基础教育阶段的“每一个学习者”而言，这个包括“建立、求解、检验、完善”的建模要求肯定具有很大的挑战性。如果明明做不到，又要作为核心素养提出，结果可能会形同虚设，令人敬而远之，从而失去核心素养应有的意义。

实际上，如果以模型本身为目标，至少每个人“必备”是无论如何都做不到的。但数学建模不只是个以模型为目标的“刚性”要求，更是一个从问题情境中提炼数学要素、确定关键元素、发现关键元素之间的联系，并逐步做岀数学表达的“弹性”过程。在这个过程中，数学语言是不可或缺的成分，如果没有发现、酝酿、提炼和选择数学语言，数学模型就无从谈起。这个在数学建模过程中表现为既不可或缺又富有弹性的数学语言，反映出数学建模全部教育价值当中，对每一个学习者来说都是必须而且有能力达成的目标和任务，是数学建模中真正符合核心素养要求的部分。

因此，数学建模的教育意义，很大程度上体现在用数学的语言表达方面，而且无论是对小学、初中还是对高中都一样。也就是说，在数学语言这个点上，不仅数学建模本身的数学价值与教育价值之间取得了平衡，也满足了核心素养对必备品格和关键能力的定位要求。

对这一点，还可以有更具体一些的考量。

诸如方程、函数和不等式等都是成长性良好、应用性广泛的数学模型。在现实生活当中，它们也几乎无处不在，在任何场合看到的一条折线或曲线都有可能与它们有关。当我们看到表示某种结果或趋势的曲线时，会马上想到解方程的技巧，或去琢磨它们的奇偶性吗？大概率是不会的。但我们肯定希望知道隐含在这条曲线背后的“故事”，并会试着把它讲出来，以此增进对某项事物、某种发展或某个现象的理解。这样的需求或本领，还到不了建模或解模策略那一步，但与当初的数学学习是否给了你“学会用数学的语言表达现实世界”的机会关系很大。

学生从义务教育阶段就开始与方程、函数和不等式等数学模型打交道，付出过漫长的时间和艰苦的努力，但绝大部分的付出可能与隐含在这些内容背后的“故事”关系并不大。也就是说，能在现实生活和职业中派得上用场的数学语言功能，在当初学习时，可能并没有被足够关注。因此，一个“含有未知量的等式”应该叫什么，它是不是数学模型或者是哪一类数学模型等，即使学的时候记扎实了，时间长了也可能忘。真正重要和有用的是，诸如知道“含有未知量的等式”是对已知和未知之间关系用数学语言做出的表达，这个表达能形成一个深入理解关系的载体和具体解决问题的入口，成为解决许许多多实际问题的抓手。进行这种表达的机会越多，对现实世界与数学世界之间的关系就会有越深入的把握，数学学习与学生未来之间的关系就会越紧密。在这个意义上，虽然义务教育数学课程不直接把数学建模作为要培养的学生核心素养，但“学会用数学的语言表达现实世界”为数学建模在义务教育数学课程中找准了位置，数学建模在义务教育数学课程中的地位依然稳固。

由此，联想到我们在实践中常见的一些教学场景，如教师一开始就开门见山：“这节课我们讲方程，那什么是方程呢？方程就是含有未知量的等式……”这种直接了当的方式，大体预示了后续的教学走向。这样的教学，可能会使学生在解方程的技巧方面比较娴熟，应试的效果可能会好一些，但这种“开门见山”差不多阻断了培育数学语言的通道，与核心素养之间的关系应该就不大了。

这也从另一个角度说明，为什么在探讨数学语言的意义时，要从讨论数学建模问题开始。

2.促成了大众数学与我国数学课程融为一体

本来是分析数学语言的意义，为什么提到大众数学呢？

这是因为，有些数学内容应该每个人都学会，有些数学内容则未必每个人都要学会。大众数学的理想是，每个人都应该学会的数学就一定要属于每一个人。但这个理想一直很难走进数学课程的现实。本来是一件天经地义的事，为什么会困难重重？造成这种局面的原因很多，有些是认知方面的，更主要的应该是我们找不准让这个理想走进现实的切入点，确切地说，数学课程本身好像一直没有把 哪些数学是每个人都应该学会的搞清楚。如果搞清楚了，让数学属于每一个人也就不会那么难了。

2022版课标关注了这方面的问题，最具代表性的就是把数学语言作为核心素养，通过数学语言，一下子找准了大众数学走进数学课程的方向。

因为语言是属于每一个人的。毫无疑问，数学语言也应该属于每一个人。如果掌握不了必需的数学语言，某种程度上就像在生活中遭遇到语言障碍一样，个人的生活、职业与发展肯定就会受到影响。所以，把数学语言作为核心素养，事实上促成了大众数学理念与我国数学课程融为一体。

大众数学的中国之路，曾经走得相当艰难。对我国新一轮数学课程改革进程多少有些了解的人，对此大概都不陌生。大众数学是1984年第5届国际数学教育大会(ICME 5 )提出的口号。当时会议手册封面印的一句话就是Mathematics for all (为了每个人的数学)，大众数学一说由此而来。那时在美国等西方发达国家，如果数学学得不好或数学学分修得少，上大学的可能性和选择学校及专业的空间就会大大缩小，学生今后就业的竞争力也连带大受影响，所以数学在一定程度上成了能不能上大学和选择哪个专业的筛子。加之当时美国少数族裔的升学难、就业难问题与数学的学业成绩有关联，所以数学能不能“for all”已经涉及教育的公平性问题，这就是个社会的大问题了。

大众数学这一理念的初衷，是把人的社会生活和职业需要放在数学教育的首位考虑，着眼点是数学与学生未来的生存发展质量之间的关系。这一点与《课程方案》中提出的“全纳性”——“面向全体学生” (for all)异曲同工，完全一致。

20世纪90年代末，当时我国部分青年学者站在中国社会发展需要的立场上,对中国数学教育的现状开展了在那时是前所未有的大规模系统调查研究，提出了在中国实行区别于精英教育的、以“三个人人”为标志的大众数学概一一人人学有价值的数学，人人能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。这个概念奠定了20世纪初中国义务教育数学课程的基础，“三个人人”作为基本理念，正式进入当时的数学课程标准，明确了数学课程不只是为学生接受高一级的教育做准备，更要与每一个学生未来的生活和职业相关联，为学生将来成为一个合格公民奠定基础。可惜的是，之后没有几年，大众数学还仅仅停留在理念层面，并没能真正走进课程现实的时候，“三个人人”中“有价值”和“必需”的提法就消失了，代之以“人人接受良好的数学教育”。而“良好”显然没有“必需” 鲜明，因为“必需”指的是人人都应该学会的数学，是数学课程内容的底线。

2022版课标沿用了 “人人接受良好的数学教育”的提法，不同的是，数学语言已经成为“良好”的注脚。

其实在20世纪末，我国的改革开放已经在大踏步向前，建设创新型国家的号角也已经吹响，大众数学本来恰逢其时，应该大有用武之地。历史经验告诉我们，如何协调好理想与现实之间的关系，也值得在这一次贯彻2022版课标时审慎思考和认真应对。

令人欣慰的是，伴随着国家发展的踏实脚步，今天教育的大众性由国家倡导和推进，大众数学已经成为当然之选。不过问题仍在，当数学课程本身需要平等地面对每一个学生、充分体现大众数学特质的时候，面对过去五六十年间，传统的内容舍不得减、熟悉的教学方式舍不得改、现实的内容又必须要加、新的教学方式也一定要试等内容多、要求新、变化大的复杂局面，该如何体现数学的大众性，用什么来衡量“一个都不能少”，确实还缺少一个相对明确的答案。现在2022版课标把“学会用数学的语言表达现实世界”作为核心素养，已经对此给出了一个明确的答案，而且是一个带有决定性意义的答案。真正把数学语言重视起来，顺应数学语言已经大众化的趋势，落实核心素养的要求，就是大众数学理 念的具体体现。以数学语言为课程目标，就是大众数学理念融入数学课程的具体行动。

至于具体该怎么行动，如何在数学课程领域实现“面向每一个学生”，更多的是期待教师在教学实践中对数学语言的重视。只要能理解数学语言的内涵，积极为每一个学生的“说一说、写一写、画一画、交流互动一下”等拓展教学空间，就是怀揣大众数学理想的具体教学实践。沿着这样的思路，围绕数学语言的大众数学之路就一定会变得开阔起来。

3.拓宽了数学教学实践创新的视野

本来是在分析数学语言的意义，为什么提到教学实践创新呢？

这是因为长期以来，在应试教育的负面影响下，数学教学的视野之窄已经让人有些无可奈何。几乎一切都围绕题型和训练展开，基本插不进别的，或者舍不得花时间干别的，这是一个不得不承认的现实。其实，谁都不情愿数学教学就是这种面貌，相信每个教师的心底都希冀改变，不过是还没找到改变的切入点罢了。

其实，2001年新一轮课程改革以来，有助于教学改变的切入点已经多得不胜枚举了，之所以成不了大气候，主客观方面的原因都有。

例如，从情境出发是推动教学改变的一个新举措。问题是教材里的情境大多是人为编出来的，多少会有些牵强，现实意义并不那么鲜明。即便如此，这些情境仍可作为教学改变的切入点。但在教材里，这个情境后面往往会紧跟着那个需要通过情境发现的结论。由于结论唾手可得，情境的意义就顿时暗淡下去。本来是一个教学改变的切入点，结果可能是不了了之。

又如，问题引领也是推动教学改变的一个新举措。从发现问题、提出问题开始的教学，确实会改变教学的形态和方向，反映出新课程的教学面貌。可是,“问题”从哪里来？有时会在课堂上听到这样的引领：“同学们，你们今天想到了哪些数学问题？”这时候学生的表现一般都是面面相觑，课堂氛围一下子僵在那里。为什么会“僵”呢？因为问题本身的质量决定着问题引领的效果，学生急匆匆赶来上学，有的还睡眼惺怯，怎么可能想到什么数学问题，而且世界上哪有无缘无故的数学问题呢？虽然教师把问题引领当成教学切入点的初衷是好的，可结果还是不了了之。

类似的例子还有很多，教材也好，教师也好，初衷都没有问题，都值得肯定。就像从情境出发、问题引领等，都是对改变教学形态有意义的切入点，而且这些切入点在理论上也都经得起检验，靠得住。可为什么在实践中就得不到预期的效果呢？

关键在于，情境也好，问题也好，它们是不是真实的情境、真实的问题，它们是不是真实世界发生的事。对于义务教育数学课程而言，“真实”才是数学教学真正发生改变需要的切入点。如果什么都是假的、人为的、编的，哪怕教学方式是新的，教师的水平是高的，也可能“僵”在那里，或者绕来绕去又绕回到了解题术。数学教学的视野之窄，很大一部分原因就出在这里。

虽然找到了原因，但这个问题该如何解决？我们的数学课程研究已经有了几十年的历史，可是有多少潜心研究“真实”与数学课程关系的成果？这是我们数学课程学术研究的一个实实在在的短板。

而以数学语言为核心素养，为弥补这一短板打开了一扇窗。“学会用数学的语言表达现实世界”给了我们一个拓宽教学视野、弥补短板的机会。

许许多多的真实情境和真实问题是与真实世界的语言共存的。虽然现实生活中的语言有真有假，但现实生活中与数学有关的语言几乎百分之百都与真实情境、真实问题有关。在这个意义上，现实生活中的数学语言都蕴含着数学与真实世界的联系。因此，作为核心素养的数学语言，拓宽了数学教学实践创新的视野——如果要找到对改变教学形态有意义的切入点，那就从深入生活中的数学语言开始吧。

举几个例子说明。

“昼夜温差”是我们在生活里经常会听到的语言，尤其是在北京的冬天，它更是人们特别关心的一个词。如天气预报说“明天的昼夜温差将达到15度”（来自北京某天的真实数据），由于这个温差有点大，就有了新闻效应，能引起学生的注意。这里的“差”是个数学概念，所以温差是气象语言也是数学语言。那么这个“差”与实际的气温是什么关系？这个“差”可能是怎么形成的？“昼夜温差15度”如果分别出现在冬天和夏天，可能反映什么样的气温情况？如果放在广州、哈尔滨，又分别是个什么概念？这些都是真实的问题，都能对学生产生真正的吸引力，也都与核心素养的主要表现有关。

从教学的角度，如果在小学，这些问题可以作为认识负数、增强数感的切入点；如果在初中，则可以作为理解负数、提高运算能力的切入点。总之，无论是在小学还是初中，有许多与温差有关的问题需要通过思考、交流和探索去解决。于是“温差”就成了学生认识真实世界的情境，问题引领的源头，学生合作、交流、探索、发现的载体。在这个过程中也会遇到计算，需要解题，但都远远超出为解题而学习的范畴，有了教学实践创新的模样。

再如“拥堵指数”，家里有汽车的学生可能已经多次听过这个词了。“指数” 本来是个数学专业用语，这里的“指数”是一个综合反映城市交通网络畅通或拥堵状况的概念性数值。这个数值是怎么得到的？这个数值是大表示拥堵，还是小表示拥堵？总之，在真实的情境中，问题源源而来，小学有小学的关注，初中有初中的考量，都需要数学语言才能表达清楚。只要避免上网直接找这个指数的算法，“说一说你心目中的拥堵指数指的是什么”或“你能不能根据你熟悉的公共交通路段情况，设计一个你认为合理的拥堵指数”这样的问题就会层出不穷，每一个都能成为丰富多彩的教学过程的切入点，字母表示、数据、系数、表达式、关系式、运算、检验等将接踵而来。

还有碳中和、疫苗保护率、垃圾分类、空气质量、人口老龄化、冰雪奥运……。总之，小到一片树叶的大小，大到小学入学率与成人退休率之间的关联，现实世界无穷无尽的语言当中，会源源不断地生成与真实情境、真实问题有关的数学语言,每一句都可能蕴藏着数学教学实践创新的切入点。

如果教材还是目前的状态，由于形式和容量的限制，未来的教材仍然会是人为编的成分居多，情境创设的后面仍然会跟着结论。无论教材编写者多么努力，这种状况都不太可能有实质性的改变，与真实情境有关的教学需求仍然不可能依赖教材解决。那么，如果以教材的设计框架为基础，在具体内容要求和教学思路与教材保持一致的前提下，根据教材的提示，到真实生活中的数学语言里去寻找对应的情境素材，情况会怎么样？极大可能是：与真实情境、真实问题和真实世界有关的数学语言，就真的成了教学实践创新的切入点。

新课标关键问题解读12 || 为什么数学课程要培养的核心素养是“三会”

核心素养的内涵在《课程方案》的“基本原则”中已经有明确界定，“三会”作为核心素养，完全符合这个原则中的定位与要求。本章的第一节已经对此做了 较为系统的分析和梳理。这里主要讨论与确定核心素养范围大小有关的问题。

我们见过的很多素养体系都比“三会”庞大。如原卫生部提出的“中国公民健康素养” 一共是66条，北京师范大学发布的“中国学生发展核心素养”是18条。在基础教育课程领域，除义务教育数学课程之外，其他课程的核心素养都是4条及以上，高中的数学学科核心素养也是6条。相比之下，义务教育数学课程提出的核心素养数量最少，似乎有点“单薄”。提出与多少、增减有关的问题, 应该与此有关。

回答这方面问题，事先需要明确的是，除了对核心素养内涵的界定，还要满足哪些条件，才能确定一门课程核心素养的规模，并形成一个整体上协调一致的核心素养体系。

义务教育课程的一个重要变化是，任何一门课程都以核心素养为统领性目标构建课程目标体系。对于这样一个目标体系，除了要把每个核心素养本身界定清楚，还要考虑到一些与保持核心素养在整体上协调一致有关的条件，其中最重要的是完备性和独立性。

完备性是指这个目标体系中的核心素养能延伸到该课程的每一个角落，无一遗漏。同时，该课程的每一个内容，无论巨细，都应成为达成核心素养的载体。一个具有完备性的核心素养体系在功能上表现为齐全够用，该有的都有了。

独立性是指这个目标体系中的核心素养缺一不可，核心素养的个数已经减到最少，不能再少，并且一旦多了，就会形成冗余。一个具有独立性的核心素养体系，在功能上表现为简洁、清晰和明确，核心素养相互之间肯定要有关联，但不能完全重叠。

除了完备性和独立性之外，保持核心素养体系自身的合理性还会涉及其他条件，如相容性（即目标相互之间不发生矛盾）等。对于一个课程目标体系而言,具体目标重叠或缺失的情况会比较常见，而在相容性上一般都不会有问题，对此这里不做讨论。

由于“三会”已经符合完备性和独立性的要求，再增加或减少都会对完备性和独立性产生影响，所以数学课程要培养的核心素养是“三会”，而不是“两会”或“四会”等。

新课标关键问题解读13 || 如何确定“三会”的完备性和独立性？

由于具体的课程内容是有限的，所以课程目标体系的完备性和独立性都可以通过枚举的方法逐个得到检验。下面通过例子简单说明。

先说完备性，即“三会”能够推及义务教育阶段每一个具体的数学内容。

以小学数学的“比”为例。如果从“生活中的比”出发，就与数学眼光有关了；如果引导学生对“比是什么”展开互动研讨，就与数学思维有关了；如果对比的不同表现形式，如倍数表示、分数表示或百分数表示等进行探讨，就与数学语言有关了。

通过上面这三个角度，“三会”就可以延伸到与“比”有关的每一个角落, 无一遗漏，同时与“比”有关的每一个具体内容，都成为培育“三会”的载体。反之，如果是绕过“与生活有关”直接从比的抽象定义开始，那么至少数学眼光就被屏蔽了。虽然“比”的抽象定义作为一个数学知识点仍然重要，但能否转化为可以让学生终身受用的核心素养，就很难说了。如果所有数学内容都直接从抽象概念开始，数学眼光就根本培育不出来了。

在教学实践中，这个检验过程可能比较长、比较复杂，但在教学思路上就是这么简单。实施也并不复杂，关键在于有付诸实践的意愿，客观的可行性始终存在。只要是围绕“为什么（与生活中的比有关）、是什么（与比是什么有关）、干什么（与比的多种表示形式有关）”展开，“三会”就一定会在教学过程中逐一得到孕育并生长。

循着同样的角度，数学课程、教材或教学中的任何内容，肯定都能出现在“三会”的视野里。如果仍然有出现不了的情形，则需要考虑“三会”是否要增加的问题了。实际上，不仅是义务教育，就是高中和大学的数学也都能被“三会”覆盖，“三会”对任意层次的数学课程来说，都称得上是完备的。

再说独立性，“三会”彼此之间既互有交叉，又都有各自的主攻方向和无可替代的独特教育价值，少了哪个，作为数学课程的目标体系都会出现缺失。在这方面早有共识，没有异议，这里不再细说。

问题是，如果已经不能再少，那么检验独立性的关键就是还能不能增加了。主观上当然可以增加，甚至加多少都行。但这些增加是否满足简洁、清晰和明确的要求，就需要具体分析了。结论是，无论加什么，都会与“三会”重叠，或者说新增加的，原本就已经能被“三会“包含。

还是通过举例说明这一点。以几何直观、数学推理、数学建模这几个大家都很熟悉并且颇具核心素养潜质的内容为例。在数学课程领域里，这些概念的重要性毋庸置疑。既然如此重要，那能不能也把它们作为核心素养，添加到以“三会”为代表的核心素养体系中，使“三会”成为“四会”或更多“会”呢？

事实上，“用数学的眼光观察现实世界”已经包含了几何直观的要义；“用数学的思维思考现实世界”已经包含了数学推理的成分；“用数学的语言表达现实世界”也已经体现了数学建模的功能。也就是说，“三会”已经包含了这些内容所体现的所有关键能力和必备品格。如果非要增加，核心素养体系内部就会出现重复的成分，加得越多，重复就会越严重。这种由增加而生出的重叠，对“简洁、清晰和明确”的冲击很大，最容易模糊核心素养的目标导向，冲淡我们对核心素养意义的认知，这也是为什么在构建一个目标体系时，要考虑独立性问题。

对一个目标体系提出独立性的要求，就是为了规避“模糊”或“冲淡”方面的问题，为数学课程的发展道路树立起简洁、清晰和明确的路标。

新课标关键问题解读14 || 可否选择数学领域之外的内容作为核心素养

这个问题的意思是，如果数学内部的内容加不进，可不可以在核心素养体系中增加一些数学领域之外的内容，如广义的“学会学习”等现代学习观念。因为已经跳出了数学领域，就有可能避免重叠的问题出现，“三会”就可以扩展为“四会”。

我们来分析一下。

作为“迈向21世纪的通行证”的“学会学习”，是由联合国教科文组织提出的口号。如果“三会”不包含“学会学习”，那一定是数学课程的一个重大缺失。

实际上，每一门课程都有独特的学科教育价值，每一个学科的“学会学习” 都有其特殊的内涵，正是不同学科“学会学习”的融会贯通，才能发展出具有普遍意义的“学会学习”，联合国教科文组织才有可能把“学会学习”视为“迈向21世纪的通行证”。

对于一门具体的学科课程，如数学课程，照搬“学会学习”并没有实际意义，而是应该把“学会学习”内隐在自己的每一个具体内容要求中，落实在每一个具体教学行动上。这样才能通过不同学科的教育，让“学会学习”成为学生的一项普遍适用的本领。如果每个学科课程都简单地重复同一个口号，反而容易使一个本来很重要的观念失去应有的分量，成为泡沫。

事实上，“三会”的“会”就是“学会”，本身就与“学会学习”相通。数学眼光、数学思维和数学语言等所代表的就是，数学课程领域内“学会学习“的具体含义，其中，“眼光”、“思维”和“语言”清楚地告诉我们数学课程要学什么；“观察”、“思考”和“表达”清楚地告诉我们怎么才能学会。显然，“三会”就是一个如何通过数学课程“学会学习”的答案，所以“学会学习”已经蕴含在“三会”之中。如果再要添加的话，对数学课程目标体系而言就显得冗余了。

虽然只是举例，但已经能够说明，对“三会”无论再添加什么，或无论从哪个方向上添加，都会产生不同程度的冗余。所以“三会”满足独立性的要求。

之所以对这些看起来好像不那么重要、大家平时也没那么关心的问题说这么多，是因为站在教学设计的角度，教师一般会希望核心素养越丰富越好。因为少了的话，教师在做教学准备时，可能不容易在具体内容与核心素养之间“对上号”。核心素养越多，教学上可供选择的空间就会越大。对教师在这方面的需求，2022版课标在设计课程的目标体系时，已经有所考虑，本书后面也会在关于教学问题的讨论中具体谈到。这里需要强调的是，数学课程要培养的核心素养，应该比其他学科课程更讲究一个目标体系应有的完备性和独立性，尽力做到言必有中，简明扼要。如果增加意味着冗余，那数学课程就一定不做这样的 选择。

简洁，不仅是数学科学的学科逻辑，还应当成为数学课程建设的追求。

综上所述，虽然看起来“三会”在我国所有基础教育学科课程的核心素养中数量最少，但它完全符合核心素养的要求，满足作为一个课程目标体系应当符合的条件，称得上是一个充分体现了数学学科特点、目标明确、内容简洁、表述接地气的核心素养体系。

当然，目前的“三会”是完备和独立的，但随着数学的发展，特别是数学与数字化、人工智能和大数据的深度融合，未来并不排除增加的可能，因为核心素养肯定是一个发展中的体系，这个体系的完备性和独立性也肯定会跟上时代发展的脚步。

新课标关键问题解读15 || 如何保持数学课程目标与教学目标直接的一致性

为使数学教学顺利融入“三会”的方向，并尽量避免出现类似“原地打转”的情况，在教学方面首先要明确以下两个事实。

一是数学课程标准同时也是数学教学标准、数学评价与考试标准、数学教材编写标准。

这一点与过去明显不同。过去是有了课程标准之后，还要依据课程标准确定教学目标，制订考试指南，提出教学和教材编写建议，等等。现在，课程目标是什么，教学目标、评价目标、教材编写目标就是什么。课程标准就是教学、评价和教材编写的标准，不再另行文。这种课程同教学、评价和教材编写在目标上的完全一致，会在相当程度上避免或减少由于彼此分离而出现的课程目标与教学目标脱节或“两层皮”的现象。

二是基于“三会”构建的数学课程目标体系是一个符合教学逻辑的目标架构。

核心素养是“三会”，而从由一节节课构成的教学过程中培育出“三会”，则需要构建一个符合教学逻辑的目标架构，通过具体教学实施，为“三会”提供体系化的支撑。在2022版课标中，基于核心素养的数学课程目标体系，就是一个以“三会”为核心、层层递进的多层目标架构。“层层递进”指的是目标的不同层次及层次之间以递进为标志的联结方式，这种联结方式决定了达成“三会”的教学实施路径，使数学课程目标与教学目标完全协调一致。其中由“层层递进”体现出的系统性，将在相当程度上成为避免具体数学知识技能与“三会”脱节的保障。

理想与现实“脱节”或“两层皮”现象，一直是数学课程改革与发展进程中难以摆脱的羁绊。上述两个事实都与避免此类现象的再次发生有关。

新课标关键问题解读16 || 数学课程目标体系如何把具体数学课程内容与“三会”联系在一起

基于核心素养的目标体系是一个有三层结构且层层递进的目标体系。具体课程内容就是通过这个体系，将“三会”融入由一节节课有逻辑地构成的教学过程。

先看这个有三层结构的体系：

“三会”是这个目标体系的统领性或顶层目标，即核心素养是数学课程中知识、技能等所有具体目标的最终目标。数学课程真正意义上的目标就是这“三会”。

为达成“三会”，设置了通往“三会”或为“三会”提供支撑的中间目标或过渡性目标，这被称为核心素养的主要表现。对小学而言，这个中间目标包括数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识，一共11个主要表现，除量感之外基本为大家比较熟悉的内容。

第三层目标是达成核心素养主要表现的支撑性目标，也就是大家熟悉的“四基”“四能”目标。其中，“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”共同支撑起一条教学实施路径，通过指向核心素养的主要表现达成培育核心素养的目的，实现数学课程目标体系与数学教学实践体系的携手共进。

另外，与情感、态度和习惯相关的目标，融会贯通于所有的目标层次之间。

需要说明的是，在2022版课标文本中，数学课程的总体目标是用序号排列的，并没有“最终目标、中间目标、支撑性目标”等说法。之所以给出这些用来区分层次的称谓，是由于总体目标中涉及小学的目标元素有22个之多，如果不把它们之间的层次及不同层次之间的联系梳理清楚，面对这么一大堆零散的目标，一线教师在理解和把握上可能会遇到困扰。用这几个词来定位这些目标之间的层次结构，就是为了厘清这个稍显复杂的目标体系的内部关系，以利于教师理解和在教学实践中参照运用。

为帮助读者整体把握这个目标体系，用下图直观显示这个目标体系的层次、结构及相互连接关系。其中的箭头是动态的，箭头方向指出了这个课程目标体系与教学实施体系之间应该如何协调一致地运行。

用箭头标出的具体运行过程大体是这样的：从以真实世界中的真实问题为基础创设的情境出发，沿着由“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”支撑起来的教学路径，逐步前行；在发现知识和收获技能的同时，积淀一些超越具体知识、技能，更具一般性的想法（基本思想）和体验（基本活动经验）；这些想法和体验经过持续的积累和提炼，以基本思想和基本活动经验为标志，与核心素养的主要表现融为一体，并共同指向“三会”。

这个图形象地显示出，基于核心素养的课程目标体系就是一个基于核心素养的数学教学目标体系。当教师手中的教材是以一节一节的形式编排时，沿着箭头指出的方向，就能把一个一个的具体内容和一节一节的课与“三会”联系在—起。

新课标关键问题解读17 || 四基与核心素养的主要表现是什么关系

上页图所反映的运行机制，已经直观地显示出“四基”与核心素养的主要表现之间的关系，不过仍有必要再分析梳理得更清楚具体一些。

经历了2011年以来的数学课程改革与发展进程，“四基”“四能”已经深入人心。这也是为什么在已经确立了核心素养的课程中心地位之后，2022版课标仍然把“四基”“四能”纳入数学课程目标体系的一个重要原因。

虽然知识、技能这“双基”已经位于上页图中由箭头表示的教学路径之上,但仍有必要明确的是，如果知识、技能这“双基”是以直截了当的方式出现，将难以走近“三会”。根据培养时代新人的要求，教学创新正在变得越来越迫切。

即便迫切，也一定要先把教学创新的方向找准。

有一种理解是把开发一些反映个人特色的教学方式视为教学创新。在实践中，这种创新确实存在，但真正具有创新意义的也确实不多。往往是听起来很新鲜，细一深究，多是在重复一些已经得到确认和肯定的教学方式，只不过又命了一个新名称罢了。教学的确需要创新，考虑到教师工作的实际情况，尽量不要去做类似的无用功，应该坚持在核心素养的引领下探索教学创新之路。

说到创新，教学创新和一般意义上的创新，特别是科技领域的创新不一样。科技领域的创新表现为“人无我有”，是绝对意义上的“新”。教育领域的创新是一种实践创新，重在实践，多属于“再”创新。

就问题19中提到的那些新教学方式来说，它们的内涵和要求已经非常明确了,并且都是在经过教学实践检验之后才被积极倡导和推广的。虽然就这些方式本身而言，它们已经不属于教学创新的范畴了，但如果以前没有尝试过，也不熟悉这种教学方式，现在经过学习、钻研、观摩等，已经对其中某种方式的意义、功能和教学基本流程有所理解，并且在日常教学实践中亲身尝试过，开始得心应手，还取得了一些可供借鉴的经验，就可以称为一种教学实践创新了。

所以，教学创新主要指教学实践创新，属于教学方式的再创新，是对个人而言前所未有的教学新尝试。当前，教学实践创新首先应该表现为积极探索、尝试和实践那些以前没有用过，自己并不熟悉，但《课程方案》和2022版课标都大力推荐的新教学方式，如情境教学，大单元教学，主题式、项目式学习活动，跨学科主题学习，等等，都有必要通过教学实践创新，逐步成为广大教师得心应手的教学方式。即使是一些我们耳熟能详的教学方式，如启发式、探究式教学等，其教学价值和相对于“三会”目标的教学运行细节等，也远没有得到令人满意的开发。这些都是值得深入开展教学实践创新的领域，需要我们凝心聚力积极推进。

有了这个基础之后，进一步开展具有个人特色的教学实践创新，才有真正取得实绩的可能。知识、技能应当以蕴含在问题情境中的方式，结合适宜的教学引导，经由“四能”支撑起来的教学路径，由学生在一个主动学习的氛围里,一步一步地在学习过程中发现、挖掘和提炼。只有这样，才能在收获知识、技能这“双基”的同时，积淀一些属于自己的想法和亲身体验。当这些想法和体验不是一次性的而是反复出现的时候，特别是当这些想法和体验已经可以被学生有意识、有步骤地在分析问题和解决问题的过程中派上用场时，它们就会散发出思想和经验的味道。这样，知识、技能、思想、经验这“四基”就都在图示所规划的 教学路径中了。

提到思想和经验，多少会让人觉得有点高大上或漫无边际。不过，数学的基本思想和经验都不是漫无边际，而是有规律可循的。具体到义务教育数学课程中，它们差不多都可以在中间目标——核心素养的主要表现当中寻得踪迹。例如，有的思想就表现为符号意识，有的经验则体现为运算能力，等等。即数学的基本思想和基本活动经验这“双基”，融入了这个目标体系中的核心素养的主要表现。这种融合，是这个目标体系的核心功能，对培育核心素养具有最大的推动作用。

为了加深这个认识，最好的办法是，读者自己试着想一个具体的数学内容,可以随意想，然后根据书中的图示，沿着箭头的方向，在脑海中模拟一下这个教学过程会如何一步一步向前推进，以及最后会走到哪里。也可以预测一下学生可能取得的收获，看看是不是可以和某一个或几个核心素养的主要表现融合在一起。当然，只是想一想是远远不够的，更重要的是把这个图示中的目标及其教学实施路径，落实到自己的每一个教学行动中去。

需要注意的是，如果出现有的“思想”与所有的主要表现都融合不起来的情况，就应该审慎推敲一下这个“思想”的出处，这种融合不进去的“思想”与“四基”中的基本思想无关的可能性很大。

新课标关键问题解读18 || 核心素养的主要表现与“三会”是什么关系？

对前面图示运行机制的说明，已经揭示了它们之间的关系。核心素养的主要表现与“三会”的关系是简单而直接的，即每一个核心素养的主要表现都同时指向“三会”。

在2022版课标中，用“主要表现为……”的形式，在“三会”与核心素养的主要表现之间给出了大致的对应关系，如数感、量感、符号意识等与数学眼光的联系更为密切，而运算能力、推理意识等与数学思维挨得更近，目的是引导教材编写者、教师和教研工作者能在具体工作实践中，充分关注到核心素养主要表现与“三会”之间的这种对应，始终把它们联系在一起考虑。

需要说明的是，这种“各有侧重”是相对的，教学上一定不要把这种“各有侧重”绝对化，避免把核心素养的主要表现分成几个各自独立的“小圈子”。本章第二节对此专门做过分析，“三会”是一个整体，彼此之间互有重叠，一个核心素养的主要表现如果与数学眼光有联系，就一定会与数学思维和数学语言有联系，即每一个“核心素养的主要表现”都能同时指向“三会”。即使确实是各有侧重，也不必特别强调。因为只要指向“三会“中的任何一个，就能同时达成培育“三会”的目的。

其中的道理并不复杂。以分数为例，一方面，分数是对现实生活中整体与部分之间关系做出的数学表达。发现这个关系需要数学眼光，表达这种关系要用数学语言，而要想厘清分数与除法、“比”、“率”等等之间的关系时，数学推理一定要登场。所以，对分数的学习过程同时是一个培育“三会”的过程。不仅分数是这样，其他每一个具体数学内容都是这样，因为这是由基于核心素养的课程目标决定的。另一方面，根据基于核心素养的教学逻辑，这一点在教学上，是通过中间目标，即通过核心素养的主要表现实现的。如发现整体与部分之间关系与数感有关，而数感指向数学眼光，从而指向“三会”。根据经验，分数与数感、符号意识、推理意识、模型意识等等关系密切，所以对分数的学习过程同时是数感、符号意识、推理意识、模型意识等交织在一起蕴育成长的过程。由于这两个方面反映的是同一个学习过程，把它们结合在一起就是在分数学习过程中体现的数感、符号意识、推理意识、模型意识等，其中每一个都能同时指向“三会”，达成培育“三会”的目的。其他的核心素养的主要表现也是一样。

总之，强调主要表现各有侧重的意义不大，因为每一个主要表现都能同时指向“三会”。但强调具体内容与主要表现之间的关联非常重要。这是理解基于核心素养目标体系的教学逻辑，把握“主要表现”与“三会”之间关系的关键。希望读者调动起个人的积极思考，像以分数为例那样，做出属于自己的分析和判断，试着得出属于自己的结论。这种“被动”与“主动”结合起来的方式，有助于理解和把握“三会“与核心素养的主要表现之间的联系，更是理解和把握2022 版课标中的新目标、新内容、新要求的基本途径。

新课标关键问题解读19 || 基于核心素养的课程目标体系对教学方式有什么具体要求

上面反复提到的由“四能”支撑起来的教学路径是对宏观的教学方向而言,即在一个目标框架下，每一个具体教学方式都要遵循的方向，类似于城市交通网络中方向明确并且可以许多车辆并行的宽敞大道，而不是胡同、羊肠小道或独辟蹊径。如果对教学的大方向模模糊糊，具体知识、技能与“三会”之间脱节或“两层皮”的现象就可能发生，只有“双基”没有素养，“三会”形同虚设的局面就可能再次出现。这不是危言耸听，甚至知识、技能这“双基”也未必能达成。因为一旦考试过后，它们在短时间内就可能被遗忘，除非经过一而再再而三的反复训练。而“反复训练”就相当于一条看不见尽头的弯弯曲曲的羊肠小道，只有极少数人有可能会在这样的小路上行远。所以，这个通过“四能”在宏观上明示的教学方向，对达成“三会”具有决定性的作用，不走在这个路径上，“三会”就难以保证。

教学方式是指根据课程目标确定的教学路径，在具体教学实践中采取的教学呈现方式和活动细节。教学路径是以核心素养为目标的教学大道，而教学方式是这个大道上各有侧重的具体教学选择。由于数学课程的内容和要求是丰富多样的，相对应的具体教学方式也应该丰富多样。在这个教学大道上可以并行多种多样的教学方式，唯一前提是彼此要为了同一个目标，共同前行。

关于教学方式的丰富与多样，我们已经迎来了有史以来的最好时机，教学改革已经进入了前所未有的广阔空间。2018年以来，党和国家推进新教学方式的力度前所未有。2019年，中共中央、国务院在《中国教育现代化2035》中明确提出“推行启发式、探究式、参与式、合作式等教学方式”，在《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》中又增加了 “重视情境教学”，“开展研究型、项目化、合作式学习”，等等。

改革开放以来，党和国家领导人以及党中央和国务院的文件中，从来没有像2018年以来这样对教学方式如此重视，提得如此具体。从中可以清晰地看到教学方式与我国全面建成社会主义现代化国家新征程之间的内在联系。这情形足以令人鼓舞。

在此基础上，《课程方案》对深化教学改革进一步提出了一些更为具体的要求，如“活动化、游戏化、生活化的学习设计”，“倡导‘做中学用中学’‘创中学’”，“注重真实情境的创设，增强学生认识真实世界、解决真实问题的能力”，“探索大单元教学，积极开展主题化、项目式学习等综合性教学活动”，“创设以学习者为中心的学习环境，凸显学生的学习主体地位”，等等。这些新的教学要求在2022版课标中都已经有所体现。

需要指出的是，上面提到的所有这些教学方式都是具有开放性的教学方式；都与学生主动学习、个性发展密切相关，都是释放兴趣和培养好奇、个性、自信、开放、灵活、合作及独立思考等创新品格不可或缺的教学方式，都满足基于核心素养目标体系的教学需要，都是可以实现常态化、有赖于教师积极开展教学 实践创新的教学方式。

新课标关键问题解读20 || 教师如何在核心素养的引领下实现教学实践创新

根据培养时代新人的要求，教学创新正在变得越来越迫切。

即便迫切，也一定要先把教学创新的方向找准。

有一种理解是把开发一些反映个人特色的教学方式视为教学创新。在实践中，这种创新确实存在，但真正具有创新意义的也确实不多。往往是听起来很新鲜，细一深究，多是在重复一些已经得到确认和肯定的教学方式，只不过又命了一个新名称罢了。教学的确需要创新，考虑到教师工作的实际情况，尽量不要去做类似的无用功，应该坚持在核心素养的引领下探索教学创新之路。

说到创新，教学创新和一般意义上的创新，特别是科技领域的创新不一样。科技领域的创新表现为“人无我有”，是绝对意义上的“新”。教育领域的创新是一种实践创新，重在实践，多属于“再”创新。

就问题19中提到的那些新教学方式来说，它们的内涵和要求已经非常明确了,并且都是在经过教学实践检验之后才被积极倡导和推广的。虽然就这些方式本身而言，它们已经不属于教学创新的范畴了，但如果以前没有尝试过，也不熟悉这种教学方式，现在经过学习、钻研、观摩等，已经对其中某种方式的意义、功能和教学基本流程有所理解，并且在日常教学实践中亲身尝试过，开始得心应手，还取得了一些可供借鉴的经验，就可以称为一种教学实践创新了。

所以，教学创新主要指教学实践创新，属于教学方式的再创新，是对个人而言前所未有的教学新尝试。当前，教学实践创新首先应该表现为积极探索、尝试和实践那些以前没有用过，自己并不熟悉，但《课程方案》和2022版课标都大力推荐的新教学方式，如情境教学，大单元教学，主题式、项目式学习活动，跨学科主题学习，等等，都有必要通过教学实践创新，逐步成为广大教师得心应手的教学方式。即使是一些我们耳熟能详的教学方式，如启发式、探究式教学等，其教学价值和相对于“三会”目标的教学运行细节等，也远没有得到令人满意的开发。这些都是值得深入开展教学实践创新的领域，需要我们凝心聚力积极推进。

有了这个基础之后，进一步开展具有个人特色的教学实践创新，才有真正取得实绩的可能。