读书笔记1-10《义务教育数学课程标准（2022年版）课例式解读》

杨俊杰

新课标关键问题解读01 || 为什么要把数学的眼光作为核心素养在2002年出版的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读》一书的序言中，张孝达先生语重心长地提出：要给我们所有的学生“一双能用数学视角观察世界的眼睛”，在数学课程领域里为“数学眼光“ 一说开了先河。由于毕竟只出现在课程标准解读的序言里，所以后来并没有产生大的影响，相关的研究与实践进展也不明显。2022版课标第一次让“数学眼光”成为数学课程的内容，并作为核心素养提出，成为中国义务教育数学课程的最新进展，具有里程碑式的意义。数学眼光之所以如此重要，首先是由数学的学科特点决定的。我们可以通过对比来说明这一特点。数学以外的其他自然科学学科，如物理、化学、生物、天文、地理等，都是以“真实”为学习和研究对象的。无论是在宏观的世界（如宇宙），还是在微观的世界（如基本粒子），它们的研究对象都以真实的面目出现。就像肆虐一时的新冠病毒，无论它多微小，有多少种不同类型，都可以在显微镜下观察到，都能通过对病毒某种蛋白具体点位的真实表达，让它们原形毕露。以“真实”为对象，意味着无论是用肉眼还是通过实验设备，这些对象都要被真切地捕捉到，或被实验真实地验证。这种以实践或实验为标志的真实，是数学以外其他自然科学学科检验真理的标准。典型的例子如杨振宁、李政道发现的“弱相互作用下的宇称不守恒定律”,就是在吴健雄对该定律的实验确证之后才获得了诺贝尔奖；牛津大学的彭罗斯（R.Penrose）早在20世纪60年代就运用数学推演发现了一个寻找宇宙黑洞的数学规律，之所以等到2020年才获得诺贝尔物理学奖，是因为随着宇宙观测技术的进步, 人们根据这个规律在21世纪真的捕捉到了黑洞的踪迹，这才最终确认了他的结论。这些著名的例子都形象地说明，自然科学是如何以“真实”为研究对象，直接认识真实世界，解决真实问题，并把实践或实验作为检验真理标准的。数学不是这样的，它并不以“真实”为研究对象，而是以真实世界里并不存在的抽象数量关系和空间形式为对象，通过一种间接的方式，达到认识真实世界、解决真实问题的目的。这是数学独特的教育价值，也是把数学眼光作为核心素养的原因。 新课标关键问题解读02 || 数学眼光是如何形成的人类生活在真实的世界里，数学的对象当然也要从真实中来。不过数学不是以“真实”本身为对象，而是通过“剥离”或“去掉”真实对象中的“真实”，找到代表“真实”的本质属性，进而得到数学的研究对象。这里的“剥离”和 “去掉”之所以加引号，是因为这些动作并没有真实发生，而是人们根据解决问题的需要，在观察真实情境时，仅聚焦与数量关系和空间形式有关的要素，在大脑里展开的思维活动。数学眼光就是通过这样的思维活动逐渐形成的。这样的思维活动，如果用神经科学、脑科学、认知科学的原理解释，几乎是几本厚书的内容，但从数学学习的角度看，其实也没那么复杂，大体可以描述为下面这样一个过程。首先，“真实”通常会表现为一个真实的问题情境，需要用“眼光”“剥离”或“去掉”的，就是问题情境中所有的“真实”，或者说所有的物理属性。如果是一个真实物体，这种“剥离”或“去掉”就表现为“降维”，即通过想象把物体从高维向低维压缩（或投影），即由体到面、由面到线的想象等。经过“剥离”、“去掉”或“降维”之后，剩下的就都是真实生活中并不存在的东西了，如数字或图形等。一个问题情境如果“剥离”了所有物理属性，留下的可能就是一些数字。例如，“第一小队栽了3棵树，第二小队栽了4棵树”中的“一、二、3、4”等。它们可能有的与解决问题有关，有的与解决问题无关。接下来，在留下的这些元素中继续剥离或去掉那些与解决问题无关的元素。注意，这里的“剥离”或“去掉”没有引号，因为这是真的要剥离或去掉了。如“第一小队”中的“一”就只有标识作用而并无其他数学意义。换句话说就是, 用A代表第一小队也可以，但用A代表3就不行。大脑中展开的思维活动至此, 剩下的都是有意义的元素或关键元素了，如“第一小队栽了3棵树”中的“3”,“第二小队栽了4棵树”中的“4”，等等。最后，具体元素就是再“关键”，但如果它们只是一个个孤立地待在那里, 就仅仅表现为一个元素的集合。而元素之间如果没有“关系”，一般也构不成什么有意义的数学对象。此时大脑中展开的思维活动，就要回到最初那个真实的问题情境，寻找或发现这些关键元素之间有没有关系、有什么样的关系。一旦找到了，就用已知的数学语言把这个关系表示出来。这时候，代表“真实”的本质属性——某种数量关系或空间形式就开始出现了。例如，第一小队栽了3棵树，第二小队栽了4棵树，那么两个小队一共栽了几棵树呢？这就转化为3和4一起是几的表示问题了。如果学生还没学过加法的话，那这个过程对学生“学会用数学的眼光观察现实世界”的意义会更大。上面的叙述是比较粗线条的，但总体上能够形象地说明问题，为如何培育数学眼光提供参照，也为读者进一步举一反三奠定基础。实际上，数学眼光就是一次次地经过这样的思维活动而不断从萌生、积累到形成，并逐渐成为一种素养,嵌入学习者的人格，对他们未来的学业、职业和生活产生影响的。总之，从教学的角度看，数学眼光的机制并不复杂，形成的过程比较清晰, 思维活动的空间也十分开阔。只不过在以应试为目的的教学环境中，一般是舍不得为培育数学眼光留出那么多时间和位置的。 新课标关键问题解读03 || 数学眼光与数学抽象是什么关系由于数学眼光始终聚焦抽象的数量关系和空间形式，在这个意义上，可以把数学眼光理解为我们熟悉的“数学抽象”，但还不能完全等同于数学抽象。相比之下，数学眼光相当于数学抽象的门槛，即没有数学眼光，就走不进数学抽象的大门。实际上，数学眼光更接近一种从数学出发看问题的角度，是每个普通公民都应该达到的数学抽象水平。就义务教育数学课程的宗旨而言，用“眼光”这种人人都理解、都有所感觉的说法，更容易让学习者产生亲近感，比较有利于引导教师站在学习者的立场思考教学问题,也能启发教材编写者认真对待内容题材的真实性问题。虽然数学抽象是个更为严格的数学称谓，但要求也更高，容易让人产生敬而远之的感觉。所以用数学眼光而不是数学抽象作为未来公民的必备品格和关键能力，从数学眼光开始认识和理解数学抽象，不仅完全符合核心素养的要求，也有助于在常态的教学中，走出培育数学抽象能力的大众之路。 新课标关键问题解读04 || 数学眼光的教育意义体现在哪些方面前文在分析数学眼光的形成时，已经涉及了它的教育意义问题。但因为数学眼光是个新提法，所以有必要再仔细地梳理、分析和概括一下，作为核心素养的数学眼光有哪些教育意义或独特的教育价值。1.数学眼光对整个教育而言不可或缺对整个教育而言，数学眼光必不可少。也就是说，教育，不仅指数学教育，如果没有数学眼光，其意义就不完整。原因在于，人的很多“眼光”是先天的，属于本能。就像人们常说的“看问题的眼光”，一个人即使没有接受过正规教育，随着年龄增长和经验的积累，也会逐步形成一些相对合理的看法或眼光,而且这些看法或眼光有时候甚至可以很高级，例如那些基于“总而言之” “归根到底”等做出的判断，就是基于经验的本能的眼光，但它已经有了一般意义上抽象概括的成分。不过，数学眼光不是先天的，真实世界中没有的抽象数量关系和空间形式,必须通过后天的数学教育才能习得。这就是说“没有数学眼光，整个教育的意义就不完整”的原因。虽然天生的眼光也会通过“总而言之”进行抽象概括，但这种抽象概括的可靠性与作为受教育结果的数学眼光完全不在一个量级上，几乎没有可比性。在基础教育的所有学科领域里，数学眼光对事物的去粗取精最明确，去伪存真最彻底，本质聚焦最深刻，从迷惘中寻找规律也最精准。甚至唯有经过数学眼光的过滤，一个学科才有可能成为一门科学。这种功能，在基础教育众多学科中为数学所独有。例如人们耳熟能详的“量化”，就是数学眼光的一个代表。“量化”这种眼光与先天无关，只能通过后天的数学教育才能习得，但在社会、经济、文化、科学、生活等各个领域无处不在，在哪里都能起到关键作用。所以，无论是对于人的一般思维发展来说，还是就教育的社会学意义而言, 数学眼光都具有无可替代的独特教育价值。2.数学眼光是数学检验真理的标准之一 其实是“三会”共同构成数学检验真理的标准，不过在这里只谈数学眼光。这一点在分析数学眼光的形成时已经提过，每个学科都有自己检验真理的标准，数学检验真理的标准与其他学科都不一样。物理、化学、生物等学科检验真理都是以实践或实验为标准，也就是说，如果看不见摸不着也观察不到，它们就不被确认为真理。因此才有了前面提到的发生在彭罗斯身上延后几十年才获得诺贝尔奖的例子。数学不是以真实，而是以远离真实为检验真理的标准。唯有经过数学眼光的过滤，或经由数学眼光“剥离”或“去掉”真实之后得到的结果，才可能成为数学的真理。之所以对每一个经过数学眼光检验的结果，无论它是否有用或是否获过奖，人们都会表现出足够的敬畏和肯定，就是因为数学眼光在考察事物本质属性的可靠性方面所具有的无可替代的作用。在这个意义上，数学眼光表现为数学检验真理的标准。3.数学眼光有助于创新人格的培育我国正走在建设创新型国家之路上，而李克强总理一直非常强调数学与创新的关系。数学究竟应该如何为建设一个创新型国家服务？数学教育应该有自己的答案。有一种比较根深蒂固的看法是搞精英教育。例如，早点把有数学潜质的“苗子”选拔出来作为未来数学家的预备队，加以特殊培养和训练，曾被认为应该是数学教育的答案。无论这个答案的结果如何，总是有些道理的。这其实就相当于培养乒乓球世界冠军的做法，虽然冠军只有一个，但全国的乒乓球运动的确开展得有声有色。因此，虽然国际数学奥林匹克竞赛的金牌只有几块，但全国的奥林匹克培训学校（简称“奥校”）也的确办得有声有色过。不一样的是，每一个打乒乓球的人都会自豪地称自己为“爱好者”，而上奥校或奥数班的孩子呢，都是为了愉悦自己的身心吗？中国是一个数学大国，但还不能说是一个数学强国的原因，可能要从这些方面去找。也就是说，能选出好苗子专门培养当然好，但数学教育为建设一个创新型国家服务的答案，肯定是“广种”而不是“薄收”。通过喜欢和好奇激发每一个学习者的潜质，为每一个学习者插上想象和发现的翅膀，才是建设一个创新型国家的标志，也是成为一个数学强国的基础。早在2001年，教育部颁布的《基础教育课程改革纲要（试行）》中就已经提出培养学生创新意识和实践能力的要求。之后，这一要求被反复强调。2020年, 教育部郑富芝副部长在此基础上进一步提出了“创新人格”的概念，并把创新人格具体归纳为六个要素：开放、自信、灵活、专注、合作和独立思考。这是随着时代的发展，对创新意识内涵做出的一个具体刻画。比起20年前相对宏观的“创新意识”，创新人格的提法把创新意识具体化、人格化了，使创新意识与教学之间的联系更为紧密，要求更为明确，目标也更为具体。可以认为，培育创新人格就是教育“为建设创新型国家服务”的一个明确答案，当然也是数学教育“为建设创新型国家服务”的答案。事实上，稍做推敲就能发现，前面关于数学眼光形成过程的具体分析已经涵盖了创新人格的全部六个要素。以独立思考为例，形成数学眼光的每一步都离不开独立思考，它几乎无可替代。不仅是独立思考，形成数学眼光的每一步同样地离不开开放、自信、灵活、专注和合作的共同作用。所以，培育数学眼光的过程，就是培育创新人格的过程。学生如果能在一个学习过程中收获数学眼光，也就同时塑造了创新人格。反之，如果在数学课程中数学眼光显得无足轻重、可有可无，数学课程就差不多失去了对创新人格的追求。在这个意义上，数学眼光与创新人格之间，实际上形成了一种自然的相互成就的关系。4.数学眼光有助于打通数学课程与社会生活之间的联系在《课程方案》中，“加强课程内容与学生经验、社会生活的联系”是课程建设的一个基本原则。长期以来，由于把数学作为考试工具的倾向难以抑制，数学和社会生活之间的联系往往被严重忽略，而这个被忽略的部分，恰恰与数学教育的宗旨有关。归根结底，对绝大多数学生来说，学习数学是为了今后在生活和职场里有用，如果不知道数学与生活的“联系”，数学就仅仅是纸上谈兵，“用” 将无从谈起。著名的数学教育家弗赖登塔尔（H. Freudenthal）就认为，知道数学与现实世界的“联系”，是排在第一位或最重要的数学素养。否则，数学将沦为被他称为“筛子“的单纯考试工具。的确，我们的学生在数学上几乎下了最多的功夫，做过数不清的数学题目，考试成绩可能也说得过去。可一旦不用考了，他们往往会最先与数学说再见。这方面的例子不少，媒体报道中常看得到。之所以如此，一个重要原因就是长期以来，我们总在强调学习的效率，而这个效率又往往是用考试成绩衡量的。所以在教学上就自然倾向于“一针见血、直截了当、开门见山”，至少也要“精讲多练”。至于什么情境、过程等，即使教材里有，一般也会被“跳”过去，直接 “端”出概念、方法和技巧来，义无反顾地往解题和训练的路上跑。由于教学上缺少了建立数学与社会生活之间联系的环节，因此学生长大成人有了自己的生活和职业之后，对那个折磨了自己多年的数学还在哪里、还能派上什么用场，一般都不怎么关心；至于应用，就更懵懵懂懂了。据统计，中国的成人整体上对数学教育的评价不高，甚至在所有基础教育学科课程中的评价最低。这样的例子就是数学课程与社会生活脱节在成人社会的真实反映。把数学眼光作为核心素养，有望打通数学与社会生活之间本来就有的联系。因为数学眼光本身不是被动接受的结果，所以教师“教”不了，无法通过灌输或训练实现，只能在老师的引导下，由学生自己通过亲身实践、独立思考，一点一点积累。学生需要在一个相对开放的学习环境中，通过自己的努力，厘清真实生活与数学之间的联系，从中发现数学，并进一步通过数学洞悉一个真实的世界。这种发现就是一次次从问题情境中提炼数学对象，一次次地交流与表达，在一次次呈现出真实生活与数学的关系时，凝练出自己的数学眼光。所以，培育数学眼光的过程，就是一个打通数学与真实生活之间联系的过程，或者说，数学眼光就建立在这种“联系”的基础之上。5.数学眼光有助于弥补我国数学教育的弱项数学课程的内容一般与三个数学要素相关：抽象、推理和模型。在教科书中，推理和模型一般都是以具体的定义、方法和技能的形式存在，如圆的周长（定义）、求圆的周长（方法）、圆周长的应用（技能）等。而代表抽象的数学眼光，通常隐身在这些内容的后面，如果没有问题情境和问题串的引导，很难找到适宜的生长环境。由于推理和模型是限时的纸笔考试中不可或缺的内容，故一直都格外受到重视。因此，这些有规律可循、通过训练能迅速提高的显性内容，就成了中国学生的强项。而隐身的数学眼光则成了明显的弱项。正如前面分析的那样，之所以弱，与直接“端”出概念的教学方式，以及对“高效”教学的片面追求有关。在那种眼里只有现成结果，只有考试成绩的教学氛围之下，无法通过被动接受达成的数学眼光可以说基本没什么机会。由此造成数学学习“只见树木，不见森林”，学生发现问题和提出问题的能力普遍较弱的局面。虽然在课程改革的推动下，情况有所改善，但由弱转强的契机，应该说仍未出现。前面已经指出了，数学眼光是数学抽象的门槛。既然是门槛，就要每个人都能迈过去。所以，作为核心素养的数学眼光，事实上就是为数学课程设置的一个“门槛”，即每一个学生都要不断经历“剥离”或“去掉”真实对象中的“真实”，发现抽象数量关系和空间形式的过程，逐步具备跨过这个门槛的能力。围绕这方面努力，意味着数学课程改革会有实质性进展和巨大进步，虽然困难肯定不少，但相信数学眼光能够把数学课程引上注重隐性知识、积极弥补弱项的道路。6.数学眼光奠定了真实情境的课程地位真实情境（或现实情境、问题情境）本来就是数学课程的组成部分，学生的喜欢、好奇、探索、发现等都与真实情境有关，甚至没有真实情境就做不到这些。但一直以来，“真实情境”在数学课程中的状况并不令人满意。在“老师讲学生听，老师要求学生做”的教学氛围中，有时甚至会把用在真实情境上的时间与“低效”混为一谈，如认为：数学的特征就是抽象，本来已经得以抽象成功的数学，为什么还要再回到原始的情境当中去呢？在课程改革的进程中，类似的声音不少。对教材设置的情境，在教学中敷衍了事的情形一直都不同程度地存在着。数学眼光的形成机制已经表明，没有真实情境就不会有真正的数学眼光，学生也没有机会理解抽象，更谈不上学会抽象。前面对每一个意义的具体分析，都已经得出相关的结论，这里不再重述。总之，把数学眼光作为核心素养，意味着真实情境必须是数学课程不可或缺的组成部分，只有这样，才能为学生通过真实情境解决真实问题和认识真实世界敞开数学课程的大门。在这个意义上，数学眼光奠定了真实情境的课程地位。上面结合核心素养的目标定位，分析了数学眼光的内涵，阐释了形成数学眼光需要经历的递进过程，梳理了数学眼光的意义，为读者理解和把握数学眼光提供了比较全面的解读和说明。因为数学眼光是解读“三会”的开篇，所以在这里要特别强调：真正理解和把握数学眼光，既需要客观的解读，更要有读者自己的独立思考，读者不仅要将两者结合起来，而且要认识到个人的独立思考更重要。因为只有基于这样的思考，数学眼光才有可能真正融入常态的课堂，转化为每天发生的教学行动。这一点，也是整体上理解和把握“三会“的基础。 新课标关键问题解读05 || 理解和把握作为核心素养的数学思维时需要特别注意些什么以下是几个在理解和把握作为核心素养的数学思维时，需要特别注意的具体事项。1.“三会“中的数学思维相对侧重推理作为核心素养的“三会”是一个整体，三者互为支撑。一方面，数学眼光的观察和数学语言的表达都离不开数学思维；另一方面，数学思维也肯定要在“眼光”和“语言”拓展出的空间中开展。因此，“三会”中的数学思维与我们一般了解的广义的数学思维不完全一样。广义数学思维活动中的观察、概括、正确阐述等内容，实际上已经分别对应于“三会”中的数学眼光和数学语言了。也就是说，在“三会”的框架下，数学眼光、数学思维和数学语言都既有各自的単独表述，又在同一个目标体系中以相互支撑的方式共为一体。所以，比起一般意义上几乎包罗万象的数学思维，在共为一体的“三会”结构中，数学思维事实上相对侧重推理。推理是数学思维活动中最能反映数学独特思维价值的部分。所以，一般意义上思维活动涉及的归纳、比较、猜想、分析、综合等，在作为“三会”的数学思维中，都应在推理的框架之下，以有条理并言之有据的方式开展，都要有规律可循。2.推理的形式推理的形式是相当丰富的，但无论有多少种形式，都有统一规律可循。所有推理的基本形式都是：如果P,那么Q,或者写成P→Q。其中P和Q是命题, 也可以称P是前提，Q是结论。数学推理的P和Q就是与数学有关的命题。3.推理的类型推理的方法决定了推理的类型。如果推理采用的是归纳法，就称为归纳推理；如果用的是演绎法，就称为演绎推理；如果借助的是图形直观，就称为直观推理或空间推理；如果运用的是数据，就称为统计推理（或统计推断）；等等。只要满足第2点的要求并言之有据、步步有据，推理在类型上是比较开放的。4.必然性推理虽然推理形式比较开放，但必须清楚的是，推理形式本身的合理性并不能保证推理结果的必然性。对于任何一个推理形式P→Q,如果对讨论问题范围（论域）内任何一个元素都有“如果P成立，那么Q就一定成立”，或者说“如果P是真的，那么Q就一定为真”，这样推理得到的结论是可靠的。因此，像归纳、类比等推理形式就不能保证结果一定是可靠的。5.演绎推理是必然性推理用演绎法做出的推理被称为演绎推理。演绎法就是通常所说的“三段论”，也就是先要证明A是成立的，接下来再证明A→B是成立的，那么结论B就成立。在教学中，这种方法会被称为从一般到特殊。“三段论“有许多等价形式，在教学中我们也会用不同称谓来区分，如分析法、综合法，这里就不一一列举了。演绎推理的言之有理是遵循规则的结果。考虑到义务教育阶段学生的年龄特征，一般是用朴实且不突兀的方式引入推理规则。例如，把学生已有的知识积累和生活经验作为依据，像矛盾律和排中律等也是作为应有之意，不去刻意强调。即使是2022版课标中给出的“基本事实”，也大多数是已知的性质或可以被证明的结果。这样的推理规则，本身就是促进学生大脑健全发育的丰富营养。数学推理形式多种多样，在所有推理形式当中，只有演绎推理是必然性推理，即只有演绎推理的结果一定是正确的。其他推理的结果可能成立，也可能不成立，即推理结果是或然的，或者说是未必可靠的。所以，如果一定要确认一个结论普遍成立，就只能用演绎推理。为了有所区分，从2001年颁布的课标开始, 把演绎推理之外的推理形式统称为合情推理,所以数学推理事实上相当于演绎推理+合情推理，这也是2022版课标中“推理“ 一词的含义。6.演绎推理与合情推理的比较可从两个方面比较，这种比较对于理解数学思维很重要。一方面，演绎推理虽然可靠，但只是一个根据已知命题确认一个新命题成立的推理。虽然在推理过程中也可能产生提出新概念、开发新方法的需求，存在进一步发现问题和提出问题的可能，但仅就推理的结果而言，因为都是已知的，所以只是确认了一个事先备好的命题的真伪，与发现新命题没有关系。而几乎所有的合情推理都是为发现一个新事物或提出一个新命题而发起的，虽然它们推出的结论是或然的，不一定为真，甚至可能推不出什么结果，但数学和科学领域的开疆拓土往往与合情推理提出的猜想或假设有关。在数学课程领域，合情推理已经被视为引导学生进行数学“再发现”的一个基本途径了。另一方面，合情推理遍布于基础教育的许多学科，不为数学课程所独有，也就是说没有数学课程，学生也多少会受到合情推理的熏陶，只不过机会没有这么多，熏陶程度也没有这么强烈。演绎推理在基础教育其他学科中只是零星地出现，故可以认为系统的演绎推理在义务教育阶段仅存于数学课程中。加之演绎推理在培育思维严谨性方面具有显著作用,所以使得数学思维表现出不可替代的教育价值。把这两个方面的比较放在一起，可以明显看出：如果想给学生的数学思维插上发现的翅膀，合情推理必不可少；如果想让学生的数学思维严谨扎实，演绎推理不可或缺。如果想两者兼得，就一定要赋予演绎推理和合情推理同等重要的思维教育使命。因此，那些关于演绎推理和合情推理哪种重要哪种次之的讨论意义都不大，如何在教材和教学当中平衡严谨扎实与开放灵活之间的关系，使之相互协调、成为一体，才是最为重要的。在教学实践中，这个关系有时会表现为一对矛盾，可能不太好协调。如果遇到这种情况，应该怎么办？其实核心素养已经给出了一个协调的标准：在义务教育阶段，数学思维是“会用数学的思维思考现实世界”的简称，所以无论是演绎推理还是合情推理，无论是严谨求实还是开放灵活，能否相互协调、熔于一炉, 归根结底，要由“思考现实世界”的需要决定。如果现实需要探索发现，就一定要开放灵活；如果现实需要求真务实，就一定要严谨扎实。基于“思考现实世界”的需要，基本可以避免严谨扎实与开放灵活之间可能产生的矛盾。毕竟，现实世界是我们思考数学思维问题的基础。更重要的是，思维是属于大脑的功能，大脑的发育有年龄特征和大脑本身的分区特征。通常所说的“多大的孩子做多大的事”或课程要“符合学生的生长发育规律”等，都与大脑发育的节奏有关。上面强调的“相互协调、熔于一炉”是仅就教师对数学思维的整体认知与把握而言，“同等重要”也仅针对思维教育的使命而言，与课程中合情推理与演绎推理之间各自所占的比重没有任何关系，这一点务必不要搞混。事实上，西方发达国家在我们的义务教育年龄段几乎没有几何的演绎证明，而是尽力拓展合情推理的教学空间。这样的做法是自20世纪 70年代之后，在脑科学的一些新发现(如大脑的左右半球理论)的引领下，逐步调整的结果，到今天已经是约定俗成。这方面的经验值得借鉴，至少教师应该意识到，当学生在演绎证明过程中遇到挑战时，可能并不是因为他们不努力，而是因为这个内容可能在高中学才更合适。7.统计推理与其他推理的关系虽然统计推理的说法在教学或研究领域已经被广泛使用，但统计推理与前面提到的演绎推理或合情推理其实是不一样的推理。这个不一样差不多是完全不一样，主要表现在三个方面。一是对象不一样。数学的推理，一般是对命题之间的逻辑关系而言，对象是命题；而统计的推理是就数据的获取与分析而言，对象是数据。二是目标不一样。数学推理的目标是确认或提出一个事实；而统计推理的目标是对一个未知事件发生的可能性做出预测。三是推理的结果不一样。数学推理的结果是一个命题的成立与否，是一个纯客观的结果；统计推理的结果是关于一个事件发生可能性大小的估计，是一个相对主观的结果。在专业的统计科学领域里把推理称为推断，这个“断”字，在汉语中反映的就是人的主观性。 新课标关键问题解读06 || 为什么把统计推理纳入数学推理 原因在于，虽然在学科领域里，统计和数学的对象和方法论都不太一样，但它们同时又在方方面面深度地相互融合与借鉴。这一点在基础教育课程领域尤为明显。以百分数为例，百分数既是一个有理数，又是一个“率”，还是一个作为统计推理依据的统计量。百分数这种数学和统计你中有我、我中有你、紧紧“抱”在一起的状态，就是在义务教育阶段把数学和统计放在一起的重要原因。特别地，在“学会用数学的思维思考现实世界”的框架下，统计推理和数学推理都是人们在现实世界里从已知探索未知的过程中，有条理、合规并言之有据且步步有据的思考。这时，不同学科之间的界限已经没那么重要，把统计推理纳入数学推理领域，虽然不怎么严格，但从培育核心素养的角度，其教育意义很大。以上几个事项应该是读者已经有所了解的，而且肯定不是如此简单的文字能够完全表述周延的。由于确切的结论可以在很多专业书里查到，所以这里的提示只为唤起读者对以下两个方面的特别关注。为什么要做这些特别提示呢？第一，对于数学思维，不仅提法为大家所熟悉，以往与此相关的讨论也比较广泛。正因为这样，中小学与数学思维有关的内容难免有些五花八门，包含一些来源并不清楚、依据也不扎实的某某思维、某某思想等令人眼花缭乱的内容。这种随意性容易造成读者好像对数学思维知道得很多，可一下子又抓不住重点的状况。所以这里通过具体事项的方式，特别聚焦与数学思维相关的基础性内容，强调数学推理独特的教育价值和表现形式。希望读者在考虑数学思维问题时，能够有意识地与推理及推理的具体方式联系在一起。这不仅会让数学思维看得见也抓得住了,而且有助于使推理成为一种能逐步伴随学生走进未来职业和生活的思维方式，提高他们作为未来公民的理性思维水平。第二，即使在当下，把数学思维与解题思维混为一谈的现象仍然存在，一谈起数学思维，就与题型纠缠在一起的情形比较多见。解题确实需要思维策略，但这种策略一旦表现在题型上，就容易演变成关于条件反射能力的训练，而其作为核心素养的思维教育价值就会大打折扣。即使是那些有一定思维价值的解题策略，也多围绕演绎推理展开，而演绎推理并不是推理的全部，在义务教育阶段这一点尤为明显。由于解题策略在当前教育环境下被过度关注，这种不平衡的“数学思维”反而有可能屏蔽核心素养中数学思维的“发现”光芒。因此，在这里对思维的类型、不同思维形式的功能、演绎推理的可靠性与局限性、统计推理与其他推理的区别等做出相对具体的说明,目的是希望这些内容能有助于读者明确思考数学思维问题的思路，通过对具体教学实践产生影响，转化为培育学生核心素养的营养。 新课标关键问题解读07 || 为什么把数学语言作为核心素养把数学语言作为核心素养是时代发展的要求使然。数学在应试氛围之下的那些教学表现，如果放在自20世纪中期开始、我国从农业化向现代工业化加速转型的时期，就有很多是值得肯定的有效教学方式了。因为在那个时期，国家的发展以“多快好省、力争上游”为目标，追求的就是立竿见影。这种追求反映在数学课程目标上，当然也要“又对、又快、又准”了。所以像勤学苦练、精讲多练等就成了当时理所当然的教学选择，怎么能高效地学会就怎么做，数学的语言功能根本走不上前台。另外，那时的生产力水平还比较低，教育的普及率也不理想，系统学习数学的人还不多。在一个以劳动密集型产业为主的时代，数学与社会生产和生活之间的交集十分有限。当数学只是面对小众时，数学语言的作用和影响肯定就难以彰显，数学语言当然不可能成为那时数学课程的重要目标。今天是信息时代，而且人工智能和大数据的浪潮也开始汹涌澎湃，数学语言已经成为人们日常交流不可或缺的组成部分。毫不夸张地说，我们说的每十句话里，差不多一半以上要与数学有关，有时候几乎是百分之百。就以我们已经离不开了的出行导航为例，其中的方向、距离、速度等都是数学语言，如果有一句听不懂，就可能迷路。至于那些与每个公民都息息相关的疫情通报、天气预报、国家统计局公布的经济数据和人口普查数据、股票市场走势、菜市场行情，甚至对一场体育比赛的关注、对一部影视作品的评价等，都离不开数学语言。这些可以信手拈来、举都举不完的例子，每一个都与义务教育阶段的数学有关。在这个时代，一个人想要公平地获得信息和有理有据地做出判断，几乎都离不开数学语言。时代的发展，使数学的交流功能日益放大，数学语言的影响迅猛扩张，数学语言与个人的生活质量、职场表现和社会见识之间的关联越来越紧密，影响越来越明显。这些现象都说明，是发展的需要推动数学语言走上课程的前台，数学语言本身作为公民必备品格和关键能力的特质，使数学语言满足了作为核心素养走进数学课程的条件。在数学科学领域，数学语言的作用和影响从来都是举足轻重的。哲学意义上关于数学是什么的语言表述问题，在20世纪上半叶曾经引发了一场世纪大讨论。那时世界上最有名的数学家几乎都参与了这场举世瞩目、影响深远的讨论。随着讨论的展开和深入，衍生出诸如数学基础论、数理逻辑、模型论等一系列与数学语言有关的数学学科。虽然一直到现在，关于数学是什么的问题还没有得到完全解决，但在这场大讨论中派生出的许多成果，已经成为计算机科学、信息科学的基础，有的还为人工智能和大数据等新兴学科提供了生长点。 新课标关键问题解读08 || 数学语言的功能和表现形式是什么自然语言有三个基本功能：信息的载体、认识世界的工具和交流的桥梁。数学语言也同样具有载体、工具和桥梁这三个功能，不过数学语言有自己独特的表现形式。一般来说，自然语言有文字语言、图形语言和符号语言三种形式，而且三者之间可以互相转化。数学语言也是如此，不同之处在于，自然语言可能除了文字和发音不一样之外，图形语言和符号语言也会有所区别。而数学语言不是这样，数学的图形语言和符号语言是世界统一的，数学语言是一种世界性的通用语言。这里仅以符号语言为例做些说明。数学的符号语言包括三类元素：基于阿拉伯数字的数字表示、通用的运算符号、字母——包括英文字母、希腊字母和拉丁字母。用这些元素把数学的某个要求或某种规律表示出来，就是一个数学的语言表达。或者说，数学的符号语言就是由这样的数字、符号和字母“串”在一起组合而成。在义务教育阶段，希腊字母和拉丁字母还没怎么出现（表示圆周率的希腊字母π是个例外）；绝大多数的数学运算符号也没有出现，但已经出现的都是最常用，甚至会和我们终生相伴的。虽然数字、符号和字母的组合是数学语言，但随意组合在一起的一般没有什么意义。就像用汉语随意写几个字——如“吃，西，东，丑”，每个字大家都认识，都明白其字意，但串在一起之后，“吃西东丑”却提供不了任何有用的信息。当然，也可以说它是一个编码，而如果真的视其为编码，就意味着每个字本身的意义已经消失，虽然它们看着还是汉字，但实际上只相当于几个没有任何含义的字母，所以仍然没有一般的语言表达功能。 新课标关键问题解读09 || 什么样的数字、字母、符号串是有意义的数学符号语言？广义的答案比较复杂，要用到数理逻辑。如果把范围局限在基础教育课程领域，把“有意义”理解为有教育意义，答案就比较明确：只有作为沟通真实世界与数学世界的桥梁，理解数学世界的工具和解决数学问题的载体的数字、字母、符号串，即具有桥梁、工具和载体作用的数字、字母、符号串，才是有意义的数学语言。需要再次强调，这个“意义”是指教育意义。有意义是数学语言的特征，在一个数字、字母、符号串的背后，能讲出一个与“桥梁、工具、载体”有关的真实或抽象的“故事”，这个数字、字母、符号串就是有意义的数学语言。如x-3=8,就讲了一个已知的8和未知的x之间由等式关系表达的抽象故事，所以是有意义的数学语言，可以叫作方程。x-3÷=5也是数字、字母、符号串，但运算符号“÷”后面直接连上等号，使得它与“桥梁、工具、载体”之间毫无关系，什么故事都讲不出来了。虽然它也是一个数字、字母、符号串，却并不属于数学语言。 新课标关键问题解读10 || 有意义的数学语言从何而来数学语言的特征和意义不难把握，关键是有意义的数学语言如何产生，是按事先的设定“教”给学生，还是由学生自己在解决问题过程中，发现和运用数学语言，并体会其功能与意义？这个问题与数学语言作为核心素养的课程价值有关。这方面的问题如果用脑科学、认知科学和语言学从原理开始解释，几乎又是一本难以读懂的厚书，这里没必要搞得那么复杂。下面仅从教学实践的角度，大体描摹一下有意义的数学语言从何而来。当教学过程中需要学生自己“想一想”、“说一说”或“写出来”时,“学会用数学的语言表达”就开始登场了。需要说明，有意义的数学语言离不开数学眼光和数学思维。举个例子：一号教室的面积是40㎡,它的长、宽各为多少？首先，当数学眼光从问题情境中“剥离”教室、面积、㎡等物理属性之后,需要用数学语言把留下的元素表示出来，代表这个“剥离”过程的成功，如一、 40、a （表示长）、3（表示宽）等。然后，去掉与解决问题无关的元素“一”，保留与解决问题有关系的元素, 或称关键元素：40、a、b。其中确定谁去谁留的过程常常会表现为一个推理过程, 需要通过数学语言进行。最后，如果留下的关键元素多于一个时，这些元素之间的关系就成为解决问题的关键，需要继续通过推理，用数学语言把这个关系表示出来。在这个例子中，40、a、b之间的关系是已知的：40=a×b，需要继续推理，用数学语言把a 和b具体表达出来，得到问题的答案。到此，代表问题情境本质属性的某个数字、字母、符号串40=axb，以“关系及其表示”的形式表现为解决问题、寻求答案的载体。虽然a=2, b=20或 a=5，b=8都满足40=a×b,但究竟哪一个更符合教室的要求，仍然需要把数学语言作为沟通数学世界与真实世界之间关系的桥梁。不管还有没有其他答案，肯定都离不开数学语言的表达。例子虽然简单，但已可以说明，数学语言的意义来自解决问题进程中的表达需求。上述过程如果在学生已经掌握了完备的数学符号语言的情况下进行，就是一个直接的数学语言表达。如果学生已经掌握的数学符号语言还不足以直接表达,如例子中的面积概念、面积计算公式、倍数关系的表示等还是学生未知的，这个过程就同时成为一个开发数学语言的过程，所以是一个间接的数学语言表达。无论是直接的还是间接的表达，都是有意义的数学语言的来源。特别地，由于基于核心素养目标的教学倾向于营造开放的学习环境，所以间接的表达方式会使学生同时进入一个开发数学语言的过程，可以呈现出数学语言更为丰富多彩的侧面。虽然殊途同归，最终必须进入共同的数学语言系统，但在一个开放的环境中为寻找恰当的符号或表达方式的徜徉与探索，肯定是培育核心素养的沃土。读者可以举一反三，循着同样的思路举一个能与有意义的数学语言结合起来的例子。同时把这个例子作为一个了解数学语言与数学眼光、数学思维之间关系的机会，体会一下“三会”虽然各自单独表述，但本质上是共为一体、不可分离的关系。语言的产生伴随着眼光和思维，眼光和思维的产生亦是如此。这种关系在后面还会提到。总之，数学语言就在一次次这样的“表达”活动中成长壮大，并逐渐成为一种素养，嵌入学习者的人格，对他们未来的学业、职业和生活产生影响。