稳中求进，迭代深化——图形与几何领域下整体教学研究活动

チホチー

面积

学生

图形

度量

体积

长度

单位

老师

几何

单元

　　4月15日，安吉县人力资源中心和教科研中心联合举办2022学年安吉县小学数学“新锐教师”项目化主题研修活动于线上开展。参加本次活动的有安吉县教研员厉金文老师、黄琴老师，以及安吉县小学数学青年教师。

　　此次活动围绕着大观念统摄“图形与几何”领域下整体教学研究与实践展开卷入式学习。

　　昂利·彭加勒在《科学与方法》一书中说道：“如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。”史宁中教授指出：“度量是数学的本质，是人创造出来的认识数学，进而认识现实世界的工具。”

　　可见，度量在数学中有着重要的地位。在我们的小学数学课中，“度量”集中体现在“数的认识”和“图形的测量”两大领域，于是活动参与人员认真研读课程标准，对和度量相关的课程目标进行了梳理。

　　第一节课是陆雯老师的《面积和面积单位》。面积概念的建立是学生空间观念形成过程中一次重要的飞跃，标志着在认识一维空间的基础上，开始认识二维空间。

　　陆老师共设计了四个环节：环节一以学生所熟知的一维空间的线段入手，让他们感受线动成面的过程，并通过问题“怎样让1号这个面变得比隔壁的2号面更大？”让学生明白面的大小与长宽皆有关，接着揭示面积的概念。环节二让学生用5个数分别表示5个图形的大小，让他们感受统一面积单位的必要性。环节三首先让学生回顾长度单位的研究方法，然后通过学习方法的迁移，运用研究长度单位的方法整体推进面积单位的研究，充分调动了学生的多种感官，让学生脑海里成功建立1平方厘米、1平方分米、1平方米的表象。环节四是沟联长度和面积与体积，明确计量时都是先统一计量单位，再数计量单位个数，让学生深刻感到数学知识之间的联系与结构。

　　整堂课内容充实，思路清晰，层层深入，环环相扣，学生的参与度很高，在同桌合作和小组讨论的过程中每位孩子深入在面积这个二维空间快乐学习。

　　金雅昕老师带来《长方形的面积》教学，基于学生已有的学情进行教学，在任务一中直接请学生计算长方形的面积，从学生已知的长方形面积计算公式入手，提出质疑——为什么长和宽都是长度，面积是大小，而长和宽相乘却能计算面积呢？以此为本节课的重点即面积是面积单位的累积做铺垫。
　　在任务二中，以整体反馈的形式让学生感知铺计数单位优化的重要性，并培养学生的思辨，学会找异同，在这个过程中，金老师适当地打通周长与面积，将学生的易错点拿出让学生辨析，确定周长是长度，是小线段的累积，而面积是大小，是面积单位的累积。
　　在任务三中，金老师要求学生在方格中画出面积是24平方厘米但不是长方形的图形，既让学生加深面积是在数或者计算面积单位的个数，也是在为下一节课平行四边形、三角形、梯形的面积奠定基础。

　　王霞老师带来《平面图形的面积》复习课，王老师先通过任务一引出学生对于 6.28×2 这一算式的理解，已知五个图形，让学生在其中标一标边的长度，使其刚好面积与题目中的算式一致，这一步不仅考察了学生对于公式的记忆能力，而且由算式推长度也是考察了学生的逆推能力。

　　在此过程中也渗透了图形的变换，理解平行四边形经过割补变化可以转化成长方形，圆经过分割合成也可以转化成长方形，三角形以及梯形都是可以通过转化变成长方形的，培养 了学生的推理以及空间想象能力。
　　接着再通过三种形式的任务二，让学生理解线、面、体在生活中的具体应用，也为后面学习立方体打下基础，整节课的过程流畅， 活动新颖。

　　余桂兰老师的《立体图形的体积》这节课是从四个立体图形的体积计算进入的。课前余老师收集了学生的4幅作品，让学生辨析哪幅作品中的立体图形的体积可以用12.56×10来表示，实际上就是看成数长方体内有几个体积单位。长就是一排体积单位的个数，宽就是排数，高则是层数，而计算公式的出现就是让数的更快更方便。从而使思考的问题具象化、可视化，更利于理解立体图形体积公式，并探讨清楚长方体的公式是如何推导的。
　　接着，从怎么算到为什么这么算帮学生回忆这些立体图形的体积推导过程以及数学转化思想。然后，介绍新的立体图形，即直柱体。引导学生运用转化思想探究这些直柱体的体积计算公式。

　　凌丽娟老师从大观念领域下的“统筹思考”、“教材分析”、“课堂回顾”三个方面，展开发表“图形度量”领域下的一些观点。
　　从测量维度来看，测量可分为一维，长度单位的拼合。二维，是面积单位的平铺，三维，体积单位的内填。纵观三个维度，相同之处是三者均以计量单位去数，都需要定标准，定数量才刻画大小；不同之处是三个维度的属性各不相同。
　　凌老师还分享了关于“怎么教”的构思。以《面积》单元为例，从教材编排出发，“面积的认识”是人教版三年级下册第五单元的内容，面积概念贯穿于整个单元的核心内容。人教版《面积》单元是在学生掌握了长方形和正方形特征，并会计算长方形、正方形周长的基础上展开教学的。本单元主要编排了四部分内容：面积和面积单位、长方形正方形面积计算，面积单位之间的进率，以及运用相关知识解决实际问题一是通过直观感受理解“面积”的内涵，淡化了“面积”定义；也就是刚刚提到的“定属性”二是注重面积单位的认识过程；“定标准”三是强调长方形、正方形面积公式的探索过程；“定数量”从一维到二维是学生空间形式认识发展上的一次飞跃。教材试图引导学生经历度量的过程，感悟度量的本质的必要性。
　　那么如何可以做到从一年级开始，从图形的认识开始中，建立一以贯之的大概念？以《面积》单元为例，在做单元整体设计时，要考虑到“学情分析”“整体框架”“关键课例”，分别是：

评估先期经验，明确前在基础，确定学习难点；

找准核心概念，确定单元目标，形成整体架构；

提供资源支架，丰富学习体验，促进自主学习。

　　张迪老师的报告指出，在小学阶段，度量的内容主要集中在“图形与几何”领域，长度、面积、体积的学习，是几何知识学习的初始阶段，是建立几何空间观念、探索几何空间规律、进行几何空间运算的基础。
　　把握长度、面积和体积三者之间在内在知识结构和关系，不仅要让学生全面把握长度、面积、体积的概念产生和发展的来龙去脉，理解概念的内涵本质，更要帮助学生把握三个概念之间的异同与联系，使学生在沟通与比较中逐步建立从一维到二维再到三维的空间观念。
　　“长度—面积—体积”作为度量单位的有机整体，虽然分散在不同年级，但究其概念的本质内涵，无论是知识结构还是方法结构都存在紧密联系，具有连续性与相似性。点的连续运动形成线（积点成线）；线的连续运动形成面（积线成面）；面的连续运动形成体（积面成体或转面成体），一维的长度是二维的面积的构成要素，一维的长度和二维的面积又是三维的体积的构成要素；反过来，后者分别又是在前者基础上形成和拓展的。“点—线—面—体”的运动过程，打通长度、面积、体积三者之间的横向联系和纵向贯通，丰富学生的表象，发展学生的空间表象能力，构建完善的知识体系。

　　李俊迪老师主要从教育价值、核心观念、学习主线、感悟思考这四个方面谈感想。
　　小学数学课程注重发展学生的应用意识和创新意识，内容包括“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”这四个领域，“图形与几何”中的“图形”是研究的对象，“几何”是研究的方法。“图形与几何”主要目的是发展学生的空间观念、几何直观、推理能力以及量感。
　　而对于怎样更好地教学《图形与几何》，李老师也分享了他的五点看法：
　　一、情境激趣——提供现实情境，激发学习兴趣。
　　二、方式转变——注重学生独立思考、自主探索、合作交流，促进学生学习方式的转变。我们数学课堂上也可以设立“你说我摆”、“观察与测量”、“有趣的图形”、“动手做游戏”等等丰富有趣的活动。
　　三、有机渗透——注重各部分教学内容的互相渗透，有机结合。图形的认识、图形的测量、图形的运动、图形与位置并不是孤立存在的，在教学中应注意互相联系和渗透，相辅相成。
　　四、有意直觉——加强直接感知，发展空间观念，培养创新意识。
　　五、暴露过程——关注学生的学习过程，不断反思教学设计、教学过程，更好地促进教学。
　　最后，李老师还分享了《图形与几何》的教学还需要注意这几个方面，指出要凸显现实性、体现操作性、注重探究性以及把握数形结合。

　　刘聪老师从纵向看教材，教材中的长度、面积和体积作为度量概念的有机整体，引领我们遵循明确度量对象的属性，确定度量单位，获得度量值的顺序来学习的，而且都提供了两种获得度量值的方法，一种是数，一种是算，数的方法能凸显度量的本质，而算的方法是对数法的优化。
　　刘老师认为要单元整体架构，教师首先要站在大单元观的基础上，建立有利于构建数学知识的承重墙；其次在课程中要开展实实在在的测量活动，发展学生的量感。第三点就是要把握知识间的联系，打通知识点中的隔断墙即将单元间的知识点进行勾连，从而发展学生的空间观念。

　　参与活动的其他老师也踊跃积极加入点评交流，我们的教研员黄琴老师和厉金文老师全程参与活动，与青年数学教师们积极研讨，并且给予关键性的指导与点拨。

　　从纵向的长度、面积、体积之间的知识结构关系梳理，再到横向的同计数单位相关联，用计量计数相同的大观念，都清晰地表达了不论是一维的长度、二维的面积还是三维的体积，都是计数、度量单位的累加。

　　一天的活动充实有效，怎样在“大单元”领域视角下开展“数与运算”、“图形与几何”的教学，如何把握度量单位的数学功能和本质特征，把握度量单位的形成过程和表达形式，把握学生认知度量单位的先天本能和特殊能力，是我们需要不断思考、创新的问题，让我们且行且思，且行且悟。