<p class="ql-block">一、三十六军官问题 </p><p class="ql-block"> 1779 年，瑞士大名鼎鼎的数学家莱昂哈德 · 欧拉曾提出一个问题：即从不同的 6 个军团各选 6 种不同军阶的 6 名军官共 36 人，排成一个 6 行 6 列的方队，使得各行各列的 6 名军官恰好来自不同的军团而且军阶各不相同，应如何排这个方队？历史上称这个问题为「三十六军官问题」。三十六军官问题提出后，很长一段时间没有得到解决。</p><p class="ql-block"> 一个多世纪后的 1901 年，法国数学家加斯顿 · 塔里证明，确实没有办法将欧拉的 36 名军官排列在一个 6×6 的正方形中而不重复，他写出了 6x6 正方形的所有可能排列，证明 36 个军官问题是不可能的。时间到了 1960 年，数学家们使用计算机证明了对于任何数量的军阶和军团问题，都有解决方案，除了 6 个军阶和 6 个军团。于是出现了正交拉丁方阵问题的研究。</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">二、正交拉丁方阵</p><p class="ql-block"> 拉丁方阵是一种 n × n 的方阵，在这种 n × n 的方阵里，恰有 n 种不同的元素，每一种不同的元素在同一行或同一列里只出现一次，拉丁方阵又简称拉丁方。给出n个元素，n×n 阶拉丁方阵不是唯一的。</p><p class="ql-block">例：2×2阶一个拉丁方阵如下</p><p class="ql-block"> 1 2</p><p class="ql-block"> 2 1</p><p class="ql-block"> 3×3阶一个拉丁方阵如下</p><p class="ql-block"> 1 3 2</p><p class="ql-block"> 2 1 3</p><p class="ql-block"> 3 2 1</p><p class="ql-block">正交拉丁方阵：</p> <p class="ql-block"> 下面举岀 3×3 阶与 4×4 阶的正交拉丁方阵。</p><p class="ql-block">例：拉丁方阵A<span style="font-size:15px;">1</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> </span><span style="font-size:18px;">1 2 3</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;"> 3 1 2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;"> 2 3 1</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;"> 拉丁方阵A</span><span style="font-size:15px;">2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> </span><span style="font-size:18px;"> 条 品 万</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;"> 万 条 品</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;"> 品 万 条</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;"> 那么如下方阵</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;"> </span>1条 2万 3品</p><p class="ql-block"> 3万 1品 2条</p><p class="ql-block"> 2品 3条 1万</p><p class="ql-block">是方阵A1与A2的正交拉丁方阵，就是九个麻将牌排成三行三列。在这个方阵里不仅毎行、每列里数字不同，且每行、毎列里花色不同也不同。</p> <p class="ql-block"> 用扑克牌的四种花色（梅花，方块，红心，黑桃）的1（即A）、2、3、4共16张牌，将它们排成4×4的方阵，每一行，每一列四种花色俱全，并且都有1、2、3、4。这是个4×4阶的正交拉丁方阵（如下图）。</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">三、正交拉丁方阵的应用</p><p class="ql-block"> 拉丁方的应用起始于 20 世纪早期，它首先被人们作为平衡非完整块设计应用在统计分析中，拉丁方在实际应用中非常广泛。其中一个很重要的应用是合理安排实验。例如，1,2,3,4 这 4 种品牌的汽车轮胎磨损测试，若动用编号为 A,B,C,D 的 4 辆小汽车参加试验，由于同一牌子的轮胎在不同部位，不同车的磨损程度有差别，为了使试验次数少且均衡，可以安排如图1。</p><p class="ql-block"> 如果同时要考虑 4 种不同牌子的刹车车闸对车胎的磨损，则还要求 4 种车闸在 4 辆车及 4 个不同位置各出现一次。当然还要求不同牌子的轮胎和车闸恰好配合一次。车闸的实验安排如图2。</p> <p class="ql-block"> 由上述两个矩阵得正交拉丁方，则车轮与车闸的配合试验可安排如图3。</p> <p class="ql-block"> 利用正交拉丁方均匀搭配不同参数和各种取值，组成特定的考核状态空间，使得工作量呈几何级数下降，仅用较少的实验次数就能够达到近似于全遍历状态空间的效果。</p> <p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block">……………………………………</p><p class="ql-block"> <b style="font-size:18px;">数学是思维的体操</b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:18px;"> 思维是数学的灵魂</b></p>