数学小站47：多面体的欧拉定理与正多面体

平凌

多面体欧拉定理多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数学关系，在三维空间中多面体欧拉定理可表示为：顶点数+表面数-棱数=2。用V表示顶点数，用F表示面数，用E表示棱数。则就是： V+F-E=2 　　正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。其中面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体。有些化学物质的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体。 正多面体只有五种：正四面体、正八面体、正二十面体、正六面体（正方体）、正十二面体。下面用多面体的欧拉定理证明为什么只有这五种正多面体。 一、正多面体的各个面是等边三角形：（1）由三个等边三角形围起来的多面角。那么从一个顶点观察，有三个面、三条棱。 设顶点数为x，一个顶点对应三个面，x个顶点对应面数为3x，但有三次重复计数，所以要除以3得x。一个顶点对应三条棱，x个顶点对应棱数为3x，但有两次重复，所以除以2得3x÷2。代入V+F-E=2得x+x-3x÷2=2，解出x=4。即顶点数4、面数4、棱数6，是正四面体。 （2）由四个等边三角形围起来的多面角。那么从一个顶点观察，有四个面、四条棱。 设顶点数为x，一个顶点对应四个面，x个顶点对应面数为4x，但有三次重复计数，所以要除以3得4x÷3。一个顶点对应四条棱，x个顶点对应棱数为4x，但有两次重复，所以除以2得2x。代入V+F-E=2得x+4x÷3-2x=2，解出x=6。即顶点数6、面数8、棱数12，是正八面体。 （3）由五个等边三角形围起来的多面角。那么从一个顶点观察，有五个面、五条棱。 设顶点数为x，一个顶点对应五个面，x个顶点对应面数为5x，但有三次重复计数，所以要除以3得5x÷3。一个顶点对应五条棱，x个顶点对应棱数为5x，但有两次重复，所以除以2得5x÷2。代入V+F-E=2得x+5x÷3-5x÷2=2，解出x=12。即顶点数12、面数20、棱数30，是正二十面体。 六个等边三角形围起来在一平面内（60度×6=360度），不构成多面角。所以等边三角形为面的正多面体只有三种。 二、正多面体的各个面是正方形： 由三个正方形围起来的多面角。那么从一个顶点观察，有三个面、三条棱。 设顶点数为x，一个顶点对应三个面，x个顶点对应面数为3x，但有四次重复计数，所以要除以4得3x÷4。一个顶点对应三条棱，x个顶点对应棱数为3x，但有两次重复，所以除以2得3x÷2。代入V+F-E=2得x+3x÷4-3x÷2=2，解出x=8。即顶点数8、面数6、棱数12，是正六面体（即正方体）。 四个正方形围起来在一个平面内（90度×4=360度），就构不成多面角。所以正方形为面的正多面体就一种。 三、正多面体的各个面是正五边形： 由三个正五边形围起来的多面角。那么从一个顶点观察，有三个面、三条棱。 设顶点数为x，一个顶点对应三个面，x个顶点对应面数为3x，但有五次重复计数，所以要除以5得3x÷5。一个顶点对应三条棱，x个顶点对应棱数为3x，但有两次重复，所以除以2得3x÷2。代入V+F-E=2得x+3x÷5-3x÷2=2，解出x=20。即顶点数20、面数12、棱数30，是正十二面体。 四个正五边形内角和为432度，构不成多面角。所以正五边形为面的正多面体就一种。 …………………………………… 数学是思维的体操 思维是数学的灵魂