小学数学应用题分类自学系列辅导(十八.排列组合问题)

海阔天空

数字

三位数

问题

排列组合

自学

有次

应用题

解析

搭配

家长

文字：海阔天空

图片：现行教科书封面及插图

　 一.自学辅导的原由和目的

(本部分为各篇目重复内容也可直接滑过)

长期以来，小学数学应用题无论是对于教师的教，还是学生的学都是一个特大难点。题目的数量与日俱增、不计其数，随着社会的飞速发展，题目的类型也在增添，而且都以杂乱无章、零敲碎打、随处可见的方式贯穿于全学段各册教材的各个角落，真可谓河宽而又水深。因此对于这个难关一个年级甚至全学段的教师未必就能完满解决。要想有一个重大突破，除了自身引起足够重视外，更需掌握正确的方法，这其中包括习题分类、方法总结、思路分析、寻找问题转化途径和掌握重要的数学思想方法。在小学阶段，只要突破了应用题这一难关，其它内容只需紧密配合老师就满可以了，毫不需要另想别法。

在国家未推行双减政策的那些年里，不少家长望子成龙心切，为了让孩子不输在起跑线上，常常选择在双休日和寒暑假里去接受高收费的校外培训。我钻研了多家培训机构教材，无非就是把各类应用题传统的问题类型改头换面，用一些引人注目的新标题在诱导人们多参加所谓的拔尖和拓宽培训。我身为一名初中数学退休教师，在闲暇之余一直在想，能否找到一种行之有效的义务性的小学数学应用题自学辅导的方式，帮助那些学有余力，又能立志成才的学子们通过自学突破应用题这一难关，既能培养自学能力，还能让他们节省一大笔费用。所以我从2020年12月5日开始陆续编拟并分享了《小学数学应用题分类谈讨一至八》，目的是有意启发和诱导有可能相遇的，学生和家长朋友们改变听讲才能接受知识，课堂才是学习的场所的沉旧理念，为愿意自主学习的小学生小朋友们提供可能的帮助和辅导。

当前国家全面推行双减政策，要减轻学生校内作业负担和校外培训负担。给义务教育阶段的学生奉还了大量的自主学习空间，严格控制了在职教师课后补课和参与校外培训。但有不少家长还很不习惯、无所适从，更有一些还热衷于课后补课和校外培训的人，还想变换方式重操旧业，于是就瞅准了退休教师，我自然也在此之列，近期多次被看重和受到举荐，但都被我婉言拒绝，面对金钱和利益，我不动声色、初衷未改。因本人一贯主张和倡导自学的重要，不忍心看见学子们选择校外培训那种满堂灌的学习方式，所以我还坚持延续原来做法，并把原发系列文章标题更新为《小学数学应用题分类自学系列辅导》，这就是我首发本类文章的初衷和双减后坚持继续的具体做法。

本人用大量时间浏览了现行教材中几乎是所有的应用题，经深思熟虑，依照小学教材顺序，把小学数学3—6年级应用问题精心的分成40类左右(有待完善和增或减)。按类进行系列文章分享，每篇都包括：一.自学辅导的原由和目的。二.按类型方法总结。三.按类型精选5—10题不等。对自学辅导原由和目的的阐述，对各类型的方法总结，对每道题题意分析、详解过程、解后反思和解题中数学思想方法的渗透等各方面叙述的详尽程度，尽最大努力做到能让三年级及其以上的认识水平和理解能力(也包括初中及其以上文化程度的家长朋友)都能读得懂、吃得透、收到良好的效果，尝到自学的甜头，以达到预期的目的。

对于新课改教材，虽然拥有庞大的强有力的编写团队，但对于这河宽而又水深的内容在题目选用方面也很难做到协同作战、统筹兼顾、恰如其分。比如和差问题做为一个主要问题类型，无论是传统的还是现代的各类考试题目可以说是出现概率偏多的，特别是奥数题目。但遗憾的是我翻遍了3—6四个年级的8册教科书，仅仅只找到了四年级上册68页第8题1道和差问题的题目，而价格问题等一些类型又比比皆是、随处可见。所以这也是分类自学系列辅导的又一真实原由和思想所在。

我对分类自学系列辅导的撰写首先注意内容的先后顺序，更注意了由浅入深、循序渐进，题目选择少而精的原则，所有类型总题量控制在300道之内。如果能从三年级中期开始陆续分享自学，可在五年级上学期全部结束小学阶段所有内容。分类自学系列辅导除了帮助学子们突破应用题这一难关，更主要的是培养自学习惯、提高自学能力，变要我学型为我要学型，为更高学段数学和整个理科学习典定坚实的能力基础。关于自学方面的论述我已在《自学是学习数学最好的方法》一文中用了大量的笔墨做了阐述，在此不再多叙。

当下有很多人对双减政策不很理解，这几乎也包括我在内，不过我认为站在学生和家长层面最起码也应理解为双减就是：一要减掉学生的不努力，二要减掉家长的不重视。其实很多家长早已很重视了，但就是只管投资和付出，不讲方式和方法，很可能不少家长还在深情的怀念那课后补课和校外培训的日子。据估计当下肯定会有不少家长采取高薪聘请所谓的一对一的辅导方式，继续在误入歧途走老路。所以我真诚的赠送家长朋友们：当下教育搞双减，奉还自主多空间。若想赢在起跑线，唯有自学和自钻。

有缘相遇的小学生小朋友及家长朋友们：骄傲的说，当你们进入我的《分类自学系列辅导》时，既是免费的自主学习培训班，又是免费的解疑答难辅导班，让家长接省了费用开支，还让学子们提高了自学自钻能力。如果是一位精明的小学生家长，在每一个周末陪伴孩子花三、四个小时认真读懂读透一个篇目的话，那么我花了大量的时间和心血编辑、修改、反复更新获得的认知就完全变成你们的了，这就叫自学，你们何乐而不为呢？！

本部分内容更新于2021年10月14日

学生专用平板

　二.排列组合问题方法总结

排列组合问题就是要求把若干个元素按一定的要求和方式排列后能组合成所有可能的情况。这在生活和生产中应该是一种很普遍的现象，但早在上世纪七十年代中期以前，在我学生时代文革时期的高中教材中未必能看见排列组合这个字眼，而现在小学三年级上册《数学好玩》栏目搭配中的学问中的搭配服装 、营养配餐、去动物园的路线等课题里都渗透了排列组合的思想和方法。四年级上册《数学好玩》栏目数图形的学问中的鼹鼠钻洞、菜地旅行等课题也渗透了排列组合的思想和方法。由此可见，只所以我们伟大祖国能有今天的局面，正是因为现代教育有经过了近五十年的突飞猛进之后的现代盛况。

在排列组合问题中，最普遍和常见的两两组合时常用公式为①n*(n-1)或②n*(n-1)÷2。即上面两式表示在n个元素中，每个元素都和其它元素中的任何一个组合成一组共有的组数或它们的一半。比如把2、3、4、5、7这五个数字中任何两数相加的算式应有5*(5-1)=5*4=20个，而若要求任意两数相加的结果则应有5*(5-1)÷2=5*4÷2=20÷2=10个。因为类似于2+7和7+2都等于9，每两个数的和都重复了一次，所以相加的结果数恰好等于算式个数的一半，对两个公式应用时的区分在于对实际问题的真正理解。

常见的排列组合问题还有：由给定的数字按要求组数、由给定的参赛队数求单循环赛场次数、由直线上给定的点数求每两点之间的线段条数、由站台数求出单程票面价格种数、由给定几枚硬币或几张纸币求可形成的所有币值等等。无论是两两组合还是其他形式的排列组合时，都有转转转的规律。可以按规律把各种可能的情况全部写出，但这个做法有时并不现实，所以更需要按一定思路和规律把可能情况的种数计算出来。比如由1、2、3、4、5可组成三位数的个数为5*4*3=60个。

　　三.精选10题分析及解答

1.由数字0、1、2能组成多少个没有重复数字的自然数？(数字不必都用上)

解析：

1位数：0、1、2。

2位数：12、10、20、21。

3位数：120、102、201、210。

所以共有3+4+4=11个没有重复数字的自然数。

反思：

①排列组合具有转转转的特点，即从左向右依次选用数字。

②数字0永远不能做为最高位。

③如果要求数字都用上，那么组成的自然数只能是三位数。

④自然数包括0和比它大的所有整数。

⑤如果0、1、2中的0改为其它数字，那么2位数和3位数都应该是3*2=6个。

2.有2、5、7、9四个数字，由任意两个数字组成两位数共有多少个？

解析：

每个数字都可以做为十位上的数字，有4次可能，其它数字都可以做为个位上的数字，有3次可能。那么共有4*3=12个两位数，即25、27、29，57、59、52，79、72、75，92、95、97，这也正是常用公式①4*(4-1)=4*3=12的结果。

反思：

①如果把原题中两位数改为三位数，那么百位上数字有4次可能，十位上数字有3次可能，个位上数字有2次可能，那么共有4*3*2=24个三位数：257、259、275、279、295、297；579、572、592、597、527、529；792、795、725、729、759、752；925、927、957、952、972、975。排列规律为转转转！

②如果把原题中的两位数再改为四位数，那么千位上数字有4次可能，百位上数字有3次可能，十位上数字有2次可能，个位上数字只有1次可能，那么共有4*3*2*1=24个四位数。排列规律还是转转转！

3.各位上数字和为24的所有三位数有多少个？

解析：

①数字为8、8、8时：有888这一个三位数。

②数字为7、8、9时：有789、798；897、879；978、987这六个三位数。

③数字为6、9、9时：有699、996、969、这三个三位数。

所以，数字和为24的所有三位数有1+6+3=10个。

反思：

①因为24÷3=8，所以先考虑8、8、8的情况，再考虑其它情况。

②数字为6、9、9这种情况时，组成的三位数有重复，要减过2种情况。

③可以想象各位上数字和为27的三位数只有一种情况999。

④还可以想象各位上数字之和超过24的三位数应为：由9、8、8；9、9、8；9、9、9。容易知道共有三位数有4+4+1=9个。

4.有三块木板，上面写着4、5、6，你可以用这些木板拼出多少个不同的三位数？(木板可以翻转)

解析：

木板可以翻转就是6可变9，这实际就是4、5、6、9这四个数字能拼出多少个三位数。按照转转转的排列组合方式可以得到24个三位数。即456、459、469、465、495、496；569、564、594、596、546、549；694、695、645、649、659、654；945、946、956、954；964、965。(从每个数字开头的都有6个)

反思：

①24个三位数也不算太多，很快就能写出来，但如果是240个或更多个要全部写出来就不那么方便了，所以必须寻求更巧妙的方法。

②这个题目可以这样思考：因为百位上数字有4次可能，十位上数字就有3次可能，个位上数字有2次可能。所以可组成的三位数应为4*3*2=24个。

③可以进一步想到如果有7个不重复的数字组成三位数的个数就是：7*6*5=210个。(显然这样的三位数要全部写出来很不现实，这样的题目三位数的个数肯定要通过计算而得)

5.有10位好友出外旅游时，每两人都要合影做为留念，请问一共要照多少张双人照？

解析1：

在这10人中，因为每一个人都要和其它9人合影1张，所以一共有10个9张即10*9=90张，但应该想到第一个人照的9张照片当中有一张是和最后一个人的，而最后一个人照的9张照片当中也有一张是和第一个人的，显然每两个人的合影照都会重复一次，所以共照了90÷2=45(张)。即10*(10-1)÷2=10*9÷2=90÷2=45(张)。

解析2：

也可以这样思考：如果把这10个人站成一队，那么第一人要和后面9人合照，第二人只需和后面8个人合照，依次类推倒数第二个人只需和最后一个人合照，显然一共要照9+8+7+6+5+4+3+2+1=(9+1)÷2*9=45(张)。

反思：

①上面的解析1用的是常用公式②。但如果把本题改为从0——9这十个数字组成的两位数时，就不是10*9÷2了，而应该是10*9-9=81。(因为0不能作为十位上数字，所以要-9)

②解析2又是用的数数的方法，先得到一组等差数列，再用简单的求平均数后乘总个数的方法。

③上面两种方法体现了不同的“排列组合”思想。在实际生活和生产中和本题解法相同的例子很多，有待认真琢磨和体会。

6.在两个城市之间，除了起点站和终点站另有10个停靠站，请问应设计多少种单程票？

解析：

要设计的单程票种数就等于(10+2)=12个站中，每两个站构成的路段的条数，即12*(12-1)÷2=12*11÷2=132÷2=66(种)。

反思：

本题用的是常用公式②，因为甲站——乙站和乙站——甲站单程票价应相同，所以单程票价的种数应等于路段条数的一半。

7.有10名乒乓球运动员进行单循环赛，一共要打多少场球？

解析：

单循环赛就是人人见面，但是甲与乙打球和乙与甲打球是同一场比赛，所以比赛场次应该用常用公式②：即10*(10-1)÷2=10*9÷2=90÷2=45(场)。

8.在盛夏时期，某帅男有时尚的太阳帽2顶、短袖4件、短裤3条、凉鞋2双，他在出行时共有多少种搭配方法？

解析：

这里所说的搭配是指每种衣裤鞋帽各取其一配成一身，共有多少种搭配呢？可用A类表示太阳帽、B类表示上衣、C类表示短裤、D类表示凉鞋，如下图所示，用画线数数的方法可以看出：当太阳帽用2而其它各用1时有2*1*1*1=2(种)；如果把所有的全用上时应有2*4*3*2=48(种)。这说明该帅男在48天内穿戴每天都不重复原来的配搭！

衣裤鞋帽搭配图

反思：

本题可以表明，几种衣物搭配种数就等于几种衣物各自数量的积。

9.某配餐中心现有2种主食、2种付食，4种炒菜、3个凉菜、2个汤。现在按照炒菜2个、其余各1个搭配，请你帮配餐中心算出共有多少种不同的搭配？

解析：按照上题方法只需把4种炒菜先两两搭配，再求总共的种数。①4*(4-1)÷2=4*3÷2=6(种)。

②2*2*6*3*2=144(种)。

反思：

①营养配餐的搭配方法跟衣物搭配基本是一样的，就是要把其中的炒菜先两两搭配。

②如果要按各样一个的话应该为2*2*4*3*2=96(种)。

10.以下四种纸币，可以形成几种币值？

解析：

这实际是求1、5、10、20这四个票面有几种用法。分类法解答如下：

1张纸币：有1元、5元、10元、20元四种情况；

2张纸币：有十二种情况1+5、1+10、1+20、5+10、5+20、5+1、10+20、10+1、10+5、20+1、20+5、20+10。但结果有相同的只取其一，所以有6元、11元、15元、21元、25元、30元这六种币值；

3张纸币：有四种情1、5、10；5、10、20、10、20、1；5、10、20；但和有相同的，所以有16元、31元、35元这三种币值；

4张纸币：有一种情况1+5+10+20=36元这一种币值。

综合这四种情况可以知道，1元、5元、10元、20元这四张纸币可以组成4+6+3+1=14(种)币值。

反思：

① 求几枚硬币或几张纸币可以形成的所有币值，实际上就是求一共有多少个单个的钱数与所有可能的和的钱数结果的总数，但在排列组合中会出现相同的钱数只能算一种币值。

②所谓可能的和就是由给定张数决定的从1张单个的到2张的和、3张的和……直至所有张数的和为止。

上面精选10题基本上把小学阶段有可能出现的“排列组合问题”都覆盖上了，这类问题具有很大的挑战性，也是奥数题的主要内容，这里重在总结和归纳规律性和简便计算方法。

因本人在职期间一直从事初中数学教学，对小学数学知识不是很熟，还得仔细钻研，内容顺序也不是很清，因此在编拟本套分类自学系列辅导过程中难免会有不妥和疏漏之处，特别是先后顺序安排需要跟现行教材相匹配，所以我把已经拟定的目录表提供出来，如果能有幸遇到同行和能者，诚望提出宝贵意见，在此提前致谢！

　　分类谈讨问题目录

1.倍数问题：2.倍比问题：

3.价格问题：4.平均数问题：

5.等式变形问题：6.归一问题：

7.归总问题：8.和差问题：

9.和倍问题：10.差倍问题：

11.调配问题：12.植树问题：

13.年龄问题：14.盈亏问题：

15.买几送几问题：16.方案选择问题：

17.倒推还原问题：18.排列组合问题：

19.逻辑推理问题：20.周期循环问题：

21.数字数位问题：22.锅牛爬井问题：

23. 至多与至少问题：24分率问题：

25.打折问题：26.货币兑换问题：

27.按比例分配问题：28.相遇问题：

29.追及问题： 30.行船问题：

31.列车问题： 32.环形运动问题：

33.工程问题： 34.鸡兔同笼问题：

35.时钟问题： 36.正反比例问题：

37.增减率问题：38.百分数问题：

39.利率问题： 40.规律性问题：

41.液体倒出问题.

备注：

1.上面彩色题目为已经编拟后的篇目。

2.分类情况有待继续修改和完善。

3.诚望感兴趣的同行和朋友提出宝贵意见。

　

　　🙏谢谢您的光临和欣赏🙏