小学数学应用题分类自学系列辅导(十五.买几送几问题)

海阔天空

单价

关系式

数量

几送

实买

问题

题意

赠送

本题

实际

文字：海阔天空

图片：现行教科书封面及插图

　 一.自学辅导的原由和目的

(本部分为各篇目重复内容也可直接滑过)

长期以来，小学数学应用题无论是对于教师的教，还是学生的学都是一个特大难点。题目的数量与日俱增、不计其数，随着社会的飞速发展，题目的类型也在增添，而且都以杂乱无章、零敲碎打、随处可见的方式贯穿于全学段各册教材的各个角落，真可谓河宽而又水深。因此对于这个难关一个年级甚至全学段的教师未必就能完满解决。要想有一个重大突破，除了自身引起足够重视外，更需掌握正确的方法，这其中包括习题分类、方法总结、思路分析、寻找问题转化途径和掌握重要的数学思想方法。在小学阶段，只要突破了应用题这一难关，其它内容只需紧密配合老师就满可以了，毫不需要另想别法。

在国家未推行双减政策的那些年里，不少家长望子成龙心切，为了让孩子不输在起跑线上，常常选择在双休日和寒暑假里去接受高收费的校外培训。我钻研了多家培训机构教材，无非就是把各类应用题传统的问题类型改头换面，用一些引人注目的新标题在诱导人们多参加所谓的拔尖和拓宽培训。我身为一名初中数学退休教师，在闲暇之余一直在想，能否找到一种行之有效的义务性的小学数学应用题自学辅导的方式，帮助那些学有余力，又能立志成才的学子们通过自学突破应用题这一难关，既能培养自学能力，还能让他们节省一大笔费用。所以我从2020年12月5日开始陆续编拟并分享了《小学数学应用题分类谈讨一至八》，目的是有意启发和诱导有可能相遇的学生和家长朋友们改变听讲才能接受知识，课堂才是学习的场所的沉旧理念，为愿意自主学习的小学生小朋友们提供可能的帮助和辅导。

当前国家全面推行双减政策，要减轻学生校内作业负担和校外培训负担。给义务教育阶段的学生奉还了大量的自主学习空间，严格控制了在职教师课后补课和参与校外培训。但有不少家长还很不习惯、无所适从，更有一些还热衷于课后补课和校外培训的人，还想变换方式重操旧业，于是就瞅准了退休教师，我自然也在此之列，近期多次被看重和受到举荐，但都被我婉言拒绝，面对金钱和利益，我不动声色、初衷未改。因本人一贯主张和倡导自学的重要，不忍心看见学子们选择校外培训那种满堂灌的学习方式，所以我还坚持延续原来做法，并把原发系列文章标题更新为《小学数学应用题分类自学系列辅导》，这就是我首发本类文章的初衷和双减后坚持继续的具体做法。

本人用大量时间浏览了现行教材中几乎是所有的应用题，经深思熟虑，依照小学教材顺序，把小学数学3—6年级应用问题精心的分成40类左右(有待完善和增或减)。按类进行系列文章分享，每篇都包括：一.自学辅导的原由和目的。二.按类型方法总结。三.按类型精选5—10题不等。对自学辅导原由和目的的阐述，对各类型的方法总结，对每道题题意分析、详解过程、解后反思和解题中数学思想方法的渗透等各方面叙述的详尽程度，尽最大努力做到能让三年级及其以上的认识水平和理解能力(也包括初中及其以上文化程度的家长朋友)都能读得懂、吃得透、收到良好的效果，尝到自学的甜头，以达到预期的目的。

对于新课改教材，虽然拥有庞大的强有力的编写团队，但对于这河宽而又水深的内容在题目选用方面也很难做到协同作战、统筹兼顾、恰如其分。比如和差问题做为一个主要问题类型，无论是传统的还是现代的各类考试题目可以说是出现概率偏多的，特别是奥数题目。但遗憾的是我翻遍了3—6四个年级的8册教科书，仅仅只找到了四年级上册68页第8题1道和差问题的题目，而价格问题等一些类型又比比皆是、随处可见。所以这也是分类自学系列辅导的又一真实原由和思想所在。

我对分类自学系列辅导的撰写首先注意内容的先后顺序，更注意了由浅入深、循序渐进，题目选择少而精的原则，所有类型总题量控制在300道之内。如果能从三年级中期开始陆续分享自学，可在五年级上学期全部结束小学阶段所有内容。分类自学系列辅导除了帮助学子们突破应用题这一难关，更主要的是培养自学习惯、提高自学能力，变要我学型为我要学型，为更高学段数学和整个理科学习典定坚实的能力基础。关于自学方面的论述我已在《自学是学习数学最好的方法》一文中用了大量的笔墨做了阐述，在此不再多叙。

当下有很多人对双减政策不很理解，这几乎也包括我在内，不过我认为站在学生和家长层面最起码也应理解为双减就是：一要减掉学生的不努力，二要减掉家长的不重视。其实很多家长早已很重视了，但就是只管投资和付出，不讲方式和方法，很可能不少家长还在深情的怀念那课后补课和校外培训的日子。据估计当下肯定会有不少家长采取高薪聘请所谓的一对一的辅导方式，继续在误入歧途走老路。所以我真诚的赠送家长朋友们：当下教育搞双减，奉还自主多空间。若想赢在起跑线，唯有自学和自钻。

有缘相遇的小学生小朋友及家长朋友们：骄傲的说，当你们进入我的《分类自学系列辅导》时，既是免费的自主学习培训班，又是免费的解疑答难辅导班，让家长接省了费用开支，还让学子们提高了自学自钻能力。如果是一位精明的小学生家长，在每一个周末陪伴孩子花三、四个小时认真读懂读透一个篇目的话，那么我花了大量的时间和心血编辑、修改、反复更新获得的认知就完全变成你们的了，这就叫自学，你们何乐而不为呢？！

本部分内容更新于2021年10月14日

学生学习专用平板

　 二.买几送几问题方法总结

在商家采用的各种促销方式中，买几送几的题目是义务教育3—6年级教材和教辅资料上常有的题目，更是一些挑战性试题和奥数题目的重要组成部分。这类问题在数学应用问题中难度偏大，远远超过常规性的购物问题和其它方式的促销问题。

在已知买几送几前提下主要题型有：①由物品的原单价求实际单价及比原单价便宜多少；②已知买送数量求物品总价、③已知总钱数求买送数量。所牵涉到相关联的量有原单价、实际单价、买送数量、总钱数、实买数量、赠送数量等。数量关系式除了均适合一般购物关系式外，本类特有关系式为：

(1)实际单价=原单价*买几÷(买几+送几)。(上式为已知原单价求实际单价的关系式，如果已知实际单价求原单价所需关系式由上式变形可得)

(2)每件便宜的=原单价-实际单价。

[其中的实际单价又要用到关系式(1)]

(3)1买1送次(组)数=买送数量÷(买几+送几)。[1买1送次数只取相除所得的商数或整数部分，舍掉余数或小数。上式还表示按买送数量所占总份数求出的1份量是多少。有了这个1份量，容易再求出赠送数量和实买数量。即下面的(4)和(5)]

(4)赠送数量=1买1送次数*送几的几。[其中1买1送次数又要用关系式(3)]

(5)实买数量=1买1送次数*买几的几。[1买1送次数没有余数时可用本式，其中的1买1送次数又要用到关系式(3)]

(6)实买数量=买送数量-赠送数量

[1买1送次数有余数时可用 ，其中的赠送数量又要用到关系式(4)]

(7)物品总价=实际单价*买送数量。

[其中的实际单价又要用到关系式(1)]

(8)物品总价=原单价*实买数量。[其中的实买数量又要用到关系式(5)或(6)]

(9)买送数量=总钱数÷实际单价。[其中的实际单价又要用到关系式(1)]

(10)买送数量=总钱数÷原单价÷买几*(买几+送几)。(第一个“÷”表示先求的是实买数量；第二个“÷”表示由实买数量所占份数求出1份量；“*”表示由买送数量所占份数求出买送数量)

几点说明：

①要想突破本类，首先要牢记上面各关系式，但绝不能死记硬背，原则上要从前向后在深刻理解的基础上达到活记通背，烂熟于心。

②商家推出的“买几送几”优惠活动，当客户购物的买送数量不是(买几+送几)整数倍时，赠送次数只取商数或整数部分，这种情况说明有部分只买不送。

③关系式(7)、(9)是从实际单价的角度思考问题的；关系式(8)、(10)是从原单价的角度思考问题的。

④关系式(3)和(10)都用到了份数思考问题，应认真体会。

本类应用问题，首先是对10个关系式的深刻理解和熟练记忆；其次才是根据具体题目寻求正确解法，一种解法的综合算式往往是多个关系式的结合使用；要想突破本类，非下大功夫不可，这也包括我在内，可以说上面10个关系式的归纳总结和精选7题的多种解法，是我经过长时琢磨和多次修改后的认知。

三.精选7题详解过程

1.有一种果汁原价每瓶2元，在商场推出“买三送一”优惠活动后，实际单价是多少？比原单价便宜多少？

题意分析：

关系式(1)实际单价=原单价*买几÷(买几+送几)就是用原单价和买三送一这两个信息结合起来表示实际单价的。其中“*”把原单价变成了总价，“÷”又把总价变成了单价，最终把原单价变成了实际单价，这就是对这个关系式的真正理解。

解：(1)买三送一后实际单价为：

2*3÷(3+1) [关系式(1)]

=6÷4

=1.5(元)

(2)比原单价便宜：

2-1.5=0.5(元) [关系式(2)]

答：实际单价是1.5元，比原单价便宜0.5元。

解后反思：

①本题是对关系式(1)和(2)的严格应用。实质上关系式(1)中“*”和“÷”都用的是常规购物的关系式，这说明一个特有关系式中包含了两个常规关系式的应用。

②实际上，有买3送1也就有买6送2、买9送3、买12送4等依次类推都成立。

③做本题的主要目的是对关系式(1)中求实际单价和关系式(2)中求便宜了多少的真正理解和应用。

2.一种化妆品原价每瓶60元，母亲节这天，商场推出“买6送2”优惠活动，小明给妈妈买回了10瓶，应花去多少钱？

题意分析：

(1)本题买回了10瓶应理解为买的和送的一共10瓶，可称为买送数量。

(2)因为赠送次数10÷(6+2)有余数，这说明在买不够6瓶时只买不送，也就是说购买中不能全程享受实际单价，所以不能从实际单价角度思考和解决。

(3)从原单价角度思考应先求赠送次数，再求赠送数量，再求实买数量，再连同原单价求物品总价。

解：(1)赠送次数为：

10÷(6+2)=10÷8=1……2=1(次)

[关系式(3)]

(2)赠送瓶数为：

1*2=2(瓶) [关系式(4)]

(3)实买瓶数为：

10-2=8(瓶) [关系式(6)]

(4)应花的钱数为：

60*8=480(元) [关系式(8)]

可列综合算式为：

(原单价*实买数量=物品总价)

60*[10-10÷(6+2)*2]

=60*[10-10÷8*2]

=60*[10-(1……2)*2] (只取商数)

=60*[10-1*2]

=60*8

=480(元)

答：应花去480元。

说明：

1.综合算式中，除了“+”外，其余的共有四个运算符号，观察运算顺序应依次为“÷”、后“*”、“-”、前“*”，这正是分步式中的四步。只要深钻细研一番，分步式和综合式可以按部就班的互化。但毫无疑问这是一种很不一般的能力。

2.本题求实买数量只能用关系式(5)而不能用关系式(4)。

解后反思：

①解决这个问题的关键先求出实买数量，再乘以原单价即可。而实买数量又可由买送数量减去赠送数量而得，这就需要再求赠送次数。

②在原题中所说的“买回了10瓶”实际上包括买和送一共10瓶，称为买送数量。

③在用关系式(3)求赠送次数时，只取商数不考虑余数或只取整数部分不考虑小数部分。

④应特别深钻细研综合算式的每一个运算符号的作用和意义。

3.一种酸奶每盒3元，超市搞“买五送一”促销活动，幼儿中班需要60盒，一共要花多少元？

题意分析1：

从实际单价角度考虑问题，由“买五送一”可得总六，因为60盒是总六的整数倍，所以购买时可全程享受“买五送一”优惠。可用关系式物品总价=实际单价*买送数量，即物品总价=原单价*买几÷(买几+送几)*买送数量列综合式求解。

解：一共要花的钱为：

3*5÷(5+1)*60

=15÷6*60

=2.5*60

=150(元)

答：一共要花150元。

说明：本解法在“买送数量”不是“(买几+送几)”整数倍的时候不能用，因为“实际单价”是享受了优惠的，而如果“买送数量”不是(买几+送几)整数倍时，会出现买一到买四并不能享受送的优惠。所以不能用实际单价求买送总价，应另寻别法。

题意分析2：

从原单价的角度考虑问题，可用关系式物品总价=原单价*实买数量 即物品总价=原单价*[买送数量÷(买几+送几)*送几]列综合式求解。

解：一共要花的钱为：

3*[60÷(5+1)*5]

=3*[60÷6*5]

=3*10*5

=150(元)

答：一共要花150元。

说明：方括号前为原单价，方括号内整个表示实买数量。(本解法应重点掌握)

题意分析3：

本题也可用关系式物品总价=按原价全买-送的部分的钱数考虑问题列式求解。

解：一共要花的钱为：

60*3-60÷(5+1)*1*3

=180-60÷6*1*3

=180-10*3

=180-10*3

=180-30

=150(元)

答：一共要花150元。

说明：

①60÷(5+1)*1表示“买五送一”中送的那一部分盒数，再*3就表示送的那一部分值的钱数。

②应认真思考综合算式中每一个运算符号的作用，在深刻理解的基础上记忆关系式。

题意分析4：

本题由“买五送一”可得“总6”。因此可按物品总价=送的钱数的6倍，即物品总价=送的次数*送几*实际单价*6可列式求解。

解：一共要花的钱为：

60÷(5+1)*1*[3*5÷(5+1)]*6

=60÷6*1*[15÷6]*6

=10*2.5*6

=25*6

=150(元)

答：一共要花150元。

说明：

①这样的思考必须要用实际单价求赠送部分的钱数。

②本题也可按物品总价=买的次数*买几*实际单价*1.2列式求解。即列式为60÷(5+1)*5*[3*5÷(5+1)]*1.2。

解后反思：

①解决本类问题应首先思考买送数量能否被(买几+送几)整除，若能整除说明这个商就是能送几的次数，若不能整除说明这个商的整数部分就是能送几的次数。

②对于同一题目的多种解法完全来源于从不同角度思考问题和对“买五送一”的深刻理解。

③由买送数量可以很快求出买的和送的也可从份数的角度思考。

④本题应重点掌握解法2，这是本题最基本的思路。

4.要买50个足球，每个25元，买五送一，实际花多少元？

题意分析：

因为赠送次数50÷(5+1)有余数，这部分只买不送。所以只能从原单价角度思考问题。用关系式(8)物品总价=原单价*实买数量 即物品总价=原单价*(买送数量-赠送数量)列综合式求解。

解：实际花的钱数为：

25* [50-50÷(5+1)*1]

=25*[50-50÷6]

=25*[50-(8次……2个)]

=25*[50-8] (只取商数)

=25*42

=1050(元)

答：实际花1050元。

说明：

1.50÷6=8(次)……2(个)，表示只有8次“买五送一”，说明赠送个数应是8*1=8个，所以50-8=42个，这就是实买数量。

2.本题中要求实买数量只能用关系式(6)而不能再用关系式(5)了。

解后反思：

1.本题列综合式的依据是物品总价=原单价*(买送数量-赠送数量)，可先写在草稿本上对照列式，本来这里的赠送数量还可写成赠送次数*送几的几，赠送次数又要写成买送数量÷(买几+送几)，这样就完全把关系式右边变成已知信息了，但并不需要完全这样，后面这些思考可以通过心理活动完成即可。

2.仔细对照琢磨可以知道本题综合算式中包含了(3)、(4)、(6)、(8)四个关系式，实际上从综合算式中“÷”、“-”、后“*”、前“*”完全可以看出是这几个关系式的应用。

3.解决本类问题可以深刻挖掘综合算式的每一个运算符号和每一种括号的作用，当你感到一点都不含糊的时候，你的解决问题的能力不知不觉的已经上了身了。

5.王老师带了240元给班上同学代购钢笔，单价为6元，正逢商场推出“买四送一”优惠活动，问王老师最多能买回多少支钢笔？

题意分析1：

本题可用关系式(9)买送数量=总钱数÷实际单价思考进行，可列综合算式。

解：最多能得到钢笔支数为：

240÷[6*4÷(4+1)]

=240÷[24÷5]

=240÷4.8

=50(支)

答：最多能买回钢笔50支。

说明：

①综合算式是按关系式(9)列出的，但这其中的实际单价又是关系式(1)，即方括号内的部分，可见本解法要牵涉两个关系式。

②一般的关系式中只有一个运算符号，但关系式(1)中包含了三个运算符号。

题意分析2：本题可用关系式(10)买送数量=总钱数÷原单价÷买几*(买几+送几)列式求解。

解：最多能买回钢笔数为：

240÷6÷4*(4+1) [关系式(10)]

=40÷4*5

=10*5

=50(支)

答：最多能买50支钢笔

①上式中第1个“÷”求的是“实买数量”，第2个“÷”是由实买所占份数求出1份的量，“*”是由买送共占份数求出“买送数量”的多少。

②本题解法应重点掌握。

题意分析3：

由“买四送一”可得“买四送一总五”，即总是买的(4+1)÷4=1.25倍。所以只要把按原单价实买的求出，再乘这个倍数即可得到买和送的总数量了。

解：最多能买回的钢笔数为：

240÷6*[(4+1)÷4]

=40*1.25

=50(元)

答：最多能买回50支钢笔。

说明：

1.上面的综合算式实质是按“买送数量=总钱数÷原单价*[(买几+送几)÷买几]”思考进行(买的*总是买的倍数)。

2.本解法是对“买四送一”深刻理解的结果。

题意分析4：

本题也可用关系式买送数量=实买的+赠送的。

解：最多能买回的钢笔数为：

240÷6+(240÷6)÷4

=40+40÷4

=40+10

=50(支)。

答：最多能买回50支钢笔。

说明：

①240÷6÷4表示实买的数量包含着多少个“买四”就要送多少支，或者理解为赠送的为实买的¼。也能列式为240÷6+(240÷6)*¼即可。

②对于同一个题目，可从不同角度去思考分析和解决问题，本解法所用关系式并没有在10个关系式之内。

解后反思：

已知总钱数求买送数量，除了从原单价和实际单价两个角度思外，还可从“买几送几”中买、送、总的关系列式求解。

6.一种饮料，每瓶2元，买三送一，拿了50元，可买回多少瓶饮料？

题意分析1：

按关系式(9)买送数量=总钱数÷实际单价列式求解。

解：50÷[2*3÷(3+1)]

=50÷[6÷4]

=50÷1.5

=33.33…

=33(瓶)

答：可买回33瓶饮料。

说明：

表示瓶数的不足一瓶的都需舍去。

题意分析2：

按关系式(10)买送数量=总钱数÷原单价÷买几*(买几+送几)列式求解。

解：50÷2÷3*(3+1)

=25÷3*4

=8.3…*4

=33.2

=33(瓶)

答：可买回33瓶饮料。

说明：

表示瓶数不足1瓶的均舍去。

题意分析3：

按关系式买送数量=买的+送的列式求解。

解：(1)50元可买瓶数为：

50÷2+50÷2÷3

=25+25÷3

=25+8.33(瓶)

=25+8

=33(瓶)

答：可买回33瓶饮料。

说明：表示瓶数的不足一瓶均舍去。

题意分析4

由“买三送一”仍可得“买三送一总四”，进而可得总是买的(4÷3)倍，即买送数量=实买数量*(4+1)/3。

解：50元可买饮料瓶数为：

50÷2*[(3+1)÷3]

=25*[4÷3]

=25*1.33…

=33.25

=33(瓶)

答：可买回饮料33瓶。

说明：

如果运算中途有小数，至少先保留两位。

解后反思：

1.已知总钱数求买送数量时，均可从实际单价和原单价两个角度思考，以及“买几送几”中买、送、总之间关系列式求解。

2.若出现小数至少先保留两位，最后表示瓶数时凡不足一瓶的部分均舍去。

7.有一玩具商场打算清仓处理，以“买五送三”进行优惠，原价每件6元，幼儿园老师共买回了120件，请问一共优惠了多少钱？

题意分析：

由“买五送三”可得“买五送三总八”，所以可由优惠钱数=买送总价*3÷(5+3)，即优惠钱数=买送数量*原单价*3÷(5+3)列式求解。

解：优惠的钱数为：

120*6*[3÷(5+3)]

=720*3÷8

=2160÷8

=270(元)

答：共优惠了270元。

说明：

本题还可用按原价全买的钱数减去需要实买的钱数；也可先求出实买的钱数再乘以5分之3。

买几送几精选7题是通过有限的题目把两类基本问题多种思考进行了比较全面的概括，在题意分析时，结合具体题目除了从实际单价、原单价这两种角度思考外再充分利用买、送、总的两两关系可得多种解法。

因本人在职期间一直从事初中数学教学，对小学数学知识不是很熟，还得仔细钻研，内容顺序也不是很清，因此在编拟本套分类自学系列辅导过程中难免会有不妥和疏漏之处， 特别是先后顺序安排需要跟现行教材相匹配，所以我把已经拟定的目录表提供出来，如果能有幸遇到同行和能者，诚望提出宝贵意见，在此提前致谢！

　　 分类辅导问题目录

1.倍数问题：2.倍比问题：

3.价格问题：4.平均数问题：

5.等式变形问题：6.归一问题：

7.归总问题：8.和差问题：

9.和倍问题：10.差倍问题：

11.调配问题：12.植树问题：

13.年龄问题：14.盈亏问题：

15.买几送几问题：16.方案选择问题

17.倒推问题：18.排列组合问题：

19.逻辑推理问题：20.周期循环问题：

21.数字数位问题：22.锅牛爬井问题：

23. 至多与至少问题：24分率问题：

25.打折问题：26.货币兑换问题：

27.按比例分配问题：28.相遇问题：

29.追及问题： 30.行船问题：

31.列车问题： 32.环形运动问题：

33.工程问题： 34.鸡兔同笼问题：

35.时钟问题： 36.正反比例问题：

37.增减率问题：38.百分数问题：

39.利率问题： 40.规律性问题：

41.液体倒出问题.

备注：

1.上面彩色题目为已经编拟和发表后的篇目。

2.分类情况有待继续修改和完善。

3.诚望感兴趣的同行和朋友提出宝贵意见。

　

　　🙏欢迎您的光临和欣赏🙏