三角形三边关系的一些问题

一天

　　在小学人教版四年级下册中，涉及到三角形三边关系，对于学生来讲，比较难以理解，下面就一些有关问题进行解析（限于小学生的数学水平，以下均在整数范围内讨论）。

三角形的三边关系可以用一句话进行概括：三角形中任意两条边之和大于第三条边，即a+b>c。同时得到一个推论：三角形中任意两条边之差小于第三条边，即a-b。

一、下面给出了几组小棒的长度，哪几组小棒能围成三角形？

A.3厘米、4厘米、5厘米

B.2厘米、7厘米、11厘米

C.2厘米、2厘米、6厘米

D.3厘米、4厘米、6厘米

我们可以运用三角形中3条边的关系来进行判断，为了方便快捷，可以把两条较短的边之和与一条较长的边进行比较。

A组，3+4>5，能围成三角形。

B组，2+7<11，不能围成三角形。

C组，2+2<6，不能围成三角形。

D组，3+4>6，能围成三角形。

因此，能围成三角形的有A组与D组。

二、从下面长度的小棒中选出3根小棒，能围成几种不同的三角形？

2厘米、2厘米、5厘米、5厘米、7厘米、7厘米。

为了实现不重复、不遗漏，我们要进行有序思考。为了直观，我们采用列表法：

　　从表中可知，能围成4种不同的三角形。

三、一个三角形的两条边分别为5厘米和7厘米，第三条边的取值范围是多少？

由于第三条边要小于另外两条边之和，因此第三条边要小于7+5=12（厘米），即第三条边最大值为12-1=11（厘米）。另外，第三条边要大于另外两条边之差，因此第三条边要大于7-5=2（厘米），即第三条边最小值为2+1=3（厘米）。以上整理为：

第三条边最大值：7+5-1=11（厘米）

第三条边最小值：7-5+1=3（厘米）

第三条边的取值范围为：3厘米～11厘米，即3厘米、4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米。

四、一个三角形的周长为24厘米，它的最长边取值范围是多少？

最长边的最大值是多少？可以这样思考：三角形的周长可以分成两部分，即最长边与另外两条较短边。从a+b>c中，我们可以看到，最长边要小于另外两条较短边之和，在这种情况下又要求最长边尽可能大，不难得出一个结论，最长边小于三角形周长的一半并尽可能接近三角形周长的一半。

基于这种分析，三角形周长的一半是24÷2=12（厘米），最长边的最大值是：12-1=11（厘米）

为什么要减1，是由于最长边要比12小，又要尽量接近12，所以用12-1来实现这个要求。当然，如果三角形的周长的一半不是整数，即周长除以2之后还有余数时，可以直接取商而不用再减1了，这是因为商是比周长的一半小且最接近周长的一半的。

最长边的最小值是多少？一个起码的要求是应该大于三条边的平均数，即三角形周长÷3。在本题中，最长边的最小值是：24÷3=8（厘米）。当然，如果周长÷3计算后出现余数的话，那为了保证最长边比另外两条边更长，应该取商+1的值做为最长边的最小值。

以上整理为：

最长边的最大值：24÷2-1=11（厘米）

最长边的最小值：24÷3=8（厘米）

最长边的取值范围为：8厘米～11厘米，即8厘米、9厘米、10厘米、11厘米。

五、一个三角形的周长是29厘米，可以有多少种不同的三角形？

要解决这个问题，我们要用上一题的方法来先求出最长边的取值范围，然后再结合三角形三条边的关系进行分析。

最长边的最大值：29÷2=14（厘米）......1（厘米）

最长边的最小值：29÷3=9（厘米）......2（厘米）

9+1=10（厘米）

最长边的取值范围为：10厘米～14厘米，即10厘米、11厘米、12厘米、13厘米、14厘米。

为了直观，我们下面采用列表法：

说明：”较短边“是相对而言的，是可以与最长边相等的，只要没有超过最长边就行。

　　从表中可以看出，周长是29厘米的三角形一共有21种。

以上是三角形三边关系中一些常见的问题，但不能生搬硬套，一定要根据三角形三边关系的特点，结合实际情况进行灵活运用。