任意6个自然数中，必有两个数的差是5的倍数

一天

命题：任意6个自然数中，必有两个数的差是5的倍数。

对于这个命题，令这6个任意自然数中最小的为Amin，其他5个数分别为：A1 、A2、A3、A4 、A5 ，用这5个数与最小数Amin的差去除以5得到商与余数，则这些差可以表述为：
差1 ＝A1－Amin＝5×商1 ＋余数1 （余数1<5，即余数1∈{0、1、2、3、4}）
差2 ＝A2－Amin＝5×商2 ＋余数2 （余数2<5，即余数2∈{0、1、2、3、4}）

差3 ＝A3－Amin＝5×商3 ＋余数3 （余数3<5，即余数3∈{0、1、2、3、4}）

差4 ＝A4－Amin＝5×商4 ＋余数4 （余数4<5，即余数4∈{0、1、2、3、4}）
差5 ＝A5－Amin＝5×商5 ＋余数5 （余数5<5，即余数5∈{0、1、2、3、4}）

一、如果余数1 、余数2 、余数3 、余数4 、余数5 这5个余数中有一个余数i为0，则说明差i是5的倍数，命题成立。

二、如果余数1 、余数2 、余数3 、余数4 、余数5 这5个余数均不为0，从中不难看出，这5个余数都是只有4个元素的集合{1、2、3、4}中的元素，从而至少必有两个余数是相同的。
即：存在余数i＝余数j∈{余数1 、余数2 、余数3 、余数4 、余数5},其对应的自然数为Ai、Aj，
则有：Ai＝Amin＋5×商i ＋余数i

Aj＝Amin＋5×商j ＋余数j
那么：Ai－Aj＝（Amin＋5×商i ＋余数i）－(Amin＋5×商j ＋余数j)＝5×(商i－商j）＋(余数i－余数j)
其中，5×(商i－商j）是5的倍数，余数i＝余数j ，余数i－余数j＝0，
从而：Ai－Aj＝5×(商i－商j）＋(余数i－余数j) ＝5×(商i－商j）是5的倍数。