如何学好高中数学

李慕荷(天涯此时)

2020高考成绩7月25日公布，河南省理科700分以上169人，650分以上9653人。看到这样的成绩，我们普通人惊掉了下巴，羡慕嫉妒恨油然而生。当我们用尽吃奶的力气，在500分上下挣扎时，而他们却考出了我们梦里都不敢想的高分！于是，我们开始怀疑我们的智商，抱怨自己的父母，继而质疑学校，甚至讥笑专家说的“人的智力差别不大”这句话。可冷静之后，我们扪心自问：我们真的努力了吗？我们了解“学霸”们的辛苦吗？ 我接触过一个学霸，一个暑假做完一本《五年高考三年模拟》，你能做到吗？人人都喊打“题海战术”，试问我们做过的题敢称做“海”吗？如果你没有超常的智力，你就应主动下“海”。 她就是李育君同学，以总分724分的优异成绩，夺得2020年河南省高考理科状元，其中语文137分、数学145分、英语144分、综合298分。 我们每一个人都渴望成功，渴望自己是最优秀的那一个！面对茫茫人海，时常问自己“为什么最优秀的人不是我？” 我们到底缺什么？ 我是从教近四十年的高中数学教师，自己解题无数，接触学生数千。量的积累，使我对学习数学，有了自己的认识。现在把我观察到的现象和我的一些感悟分享给大家，若能够对你有些许帮助，我将非常欣慰。有的亲们问我，有没有正面谈学习方法的文章。大家可以在美篇中搜索《和高一新生谈数学学习》，这样可能对学好数学有一个更完整的认识。 一、了解学习的本质 学习的本质，就是知识“输入，理解，内化和输出”的过程。 其核心是"理解+内化"，"理解+内化"是新旧知识的桥梁，是把“学习的知识＋自己的思考、加工、试验、练习＋教师讲解＋…”，用已有的知识和方法，来同化理解新知识，新方法，使新旧融为一体（不打架）；使知识、教师讲解、自己理解和平共处（不排斥），最好是欢笑一堂，彼此喜欢，这样新旧知识才能合作共赢，共同提高。 知识经过思考加工，不断进行修正，最终成为自己的知识。“输入”也很重要。孔子曰“学而不思则罔，思而不学则殆”。只有不断地吐故纳新，才能步步登高。输入方式有被动接受和主动吸收两种，主动吸收的人更容易成功。“输出”是学习终极目标。要能想得起——知识的迁移力（由此及彼）；用得上——知识的应用能力，达到学以致用的目的；有突破——知识的创新能力。例 有人发明了轮子，有人发明了蒸汽机，你能把他们结合在一起做成汽车，你的思维达到思维最高级境界——创造发明。 同样的课堂，同样的老师，同样的时间，不同的结果，为什么？问题可能出在每个人对知识的加工能力不同。像做饭，同样的材质，不一样的做法，有的好吃，有的难吃。 二、数学难吗？教学中，看到学生被数学题难住，甩笔痛哭，心里极疼；瞧见学生因想不通，算不出，使劲地拍打自己的脑袋，心中滴血。 数学难吗？难！教了一辈子数学，做了一辈子的数学题，到如今也不敢说句大话，“高中数学题我都会做！” 为什么数学这么难？我想主要有下面几个因素。①一个小小的数学定理，数学公式可能是某个科学家穷其一生，冥思苦想，反复验证得到的结果，现在让我们用几分钟去掌握，存在时间障碍。②数学知识经过数千年的积累，凝聚了无数的科学家思维和智慧，让我们在较短的时间，接受他们的思想，掌握许多知识精华，存在量的障碍。肉虽好吃，吃多了消化不了！③ 数学可谓是人类理性巅峰的代名词。数学魅力在于，把复杂的问题打包，用抽象，简练，准确的数学符号语言来表达。抽象化使我们难以理解。严格的的理论体系，使我们的每步推理必须有理有据，因果分明。④高中的数学语言与初中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要以形象，通俗的语言表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合符号语言、逻辑运算语言、函数语言、图形语言等。高一同学一开始思维跨度太大。以及几何、影射、函数等概念难以理解。觉得离生活太远，似乎很“玄”。 1984年的数学试卷上出现了大批的新试题，北京市的分数，更是人均只有17分，创下了新中国成立以来的历史之最。 　　三、优秀人才具有哪些优秀品质 志存高远，高度自律，乐于奉献热爱学习，善于思考，博学强记攻坚克难，锲而不舍，追求完美 对照以上要素检视自己的不足 四、学习的好坏决定于你思维的维度、深度、广度、灵活度。思考永远要放在教学的第一位。多给学生思考的机会和时间；鼓励表扬善于思考，敢于思考的学生；课堂上给学生机会展示思考成果。教学过程中，以学生的思维为主，优化学生的思维，优化解题过程。不要轻易否定学生解题思路，不要把老师强加给学生。因为上考场的是学生不是老师。学生的思考和解答大部分情况下都是正确的，只是某些方面出现错误，某些方面遇到障碍，从而不能完成。教师的作用就是帮助学生纠正错误，克服障碍，继续做下去。学生思维有偏差，不完善，教师引导帮助学生回归正确。教师要做到“道而弗牵、强而弗抑、开而弗达。”，也就是教师要引导学生，而不是牵着学生走；激励学生，而不强加逼迫；启发学生独立思考，而不直接把结论告诉学生。要鼓励学生敢想，想错了不可怕，可怕的是不敢想。不能把思维像小鸟一样关在笼子里。思维要挣脱任何束缚，天马行空自由驰骋。学习就是靠思维，靠脑子进行的，离开了想或想的少，学习成绩肯定上不去，因为知识没过脑子，不能与已有知识融合在一起。说人笨实际上就是说人不善用脑子处理问题。教师应给学生张胆，想错了不要紧，俗话说失败是成功之母。其次，要让学生会想。通过具体的例子教给学生想到方法。如新旧转化，抽象问题具体化，高次化低次，多化少，空间化平面，数形结合，动手实践具体操作，一题多解，一题多变，鼓励学生经常自己编题等。慢慢提高学生的思维能力。①思维的维度用一只麻雀的活动轨迹来解释维度零维———麻雀原地不动（点）一维———麻雀沿一根电线前后移动（直线）二维———麻雀在一个广场上觅食，前后左右都可以移动（平面）三维———你把麻雀抛向空中，四面八方都可能是它飞行的方向（空间）例 一个数学等式，如果从左→右感觉自然，若右→左觉得别扭。思维的维度为二分之一度（射线），这样的学生并不少见。希望同学们的思维象烟花🎆一样，向四周自由地绽放。而不是如关在笼子里的小鸟，失去自由。 ②思维的广度 就是想得多，能由此及彼。例1 说别人说到椅子，你能想到板凳，沙发，桌子……这种就叫广度。 例2 面对常见的“1”，你能想到它的几种表现形式？ 例 3 数与形的思想贯穿于数学的始终。数学的每一部分内容都涉及数形结合的思想，也就是数学是两条腿走路，一条腿是数，一条腿是形。少一条腿（跛脚）走路，注定了在数学的道路上，会很难很难！华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。比如下式是一个无穷级数，和式等于2，让人觉得很莫名其妙。 但是配合几何图形，比如一个面积为2的矩形，这个矩形可以看做无限个内部矩形面积之和，是不是很神奇。所以该级数又被称为几何级数。当我们以赞叹，欣赏的态度去看待这种结合，理解它的美！享受它的美！觉得学习是件幸福的事，才达到学习的最高境界。 ③思维的深度 就是想得透，能由表及里，透过现象看本质。例 1 椅子可以研究所有椅子是由哪几部分组成，材质是什么。例2 又如研究函数的性质，都是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、图象这几方面研究，有了这样的认识，在研究和记忆上我们就有了明确的方向。 ④思维的灵活度 就是想得活，能灵活地思考问题。能从不同角度、运用不同方法思考问题，在条件发生变化时，能随机应变，及时地改变原有计划、方案，寻找新的解决问题的途径。例 从a=b的各种变换方式可以检验一个人思维的灵活度 以上四个方面，是相互联系、相互依存的。数学学习需要思考！思考！再思考！在学习上你是否经常恍然大悟？恍然大悟的前提是什么？是不断持续地思考！对于数学来说，思考太重要了，只有不停的思考，不停的去问为什么，才能将所学知识消化吸收，才能拓展提高，才能内化成自己的知识，否则，学到的只是皮毛！如何思考？搞清楚几个事情就好了，这道问题从哪里来，到哪里去，需要借助哪些工具！能把这三个问题解决好，思考也就有了出路。课堂教学也是以发展学生思维能力为目标，以培养学生良好思维品质为主线，让学生敢想，会想。教材只是培养学生思维能力的载体，教师是学生思维能力的开发者。 五、高中生没有学好数学的主要原因 能力因素，“三力”较弱，即记忆能力，理解能力，迁移能力不强，也就是记不住，想不通，想不起。心理因素，耐不住寂寞，抵不住诱惑，顶不住压力，下不了苦功，抓不住重点，改不了错误环境因素，社会因素、家庭因素、学校因素、朋友因素、教师因素在某一阶段，某些方面产生了负面影响。 1.没有足够的心理准备，没有坚强的意志和必胜的信心三十三天天外天，白云里面住神仙。神仙本是凡人做，只怕凡人心不坚。 ① 多数学生初上高中，不知道高中数学比初中数学难得多，幻想和初中一样轻松学好。初步接触，大惊失色，手足无措。心态，方法调整不及时，干预不到位，再加上教学进度很快，一二本教材很快学完，结果发现许多知识都不会。② 怕苦，怕累，怕难，怕繁，怕问。见困难就投降，见难题就心慌，不敢硬碰硬，不敢枪对枪。岂不知“困难像弹簧，你弱它就强”。学习是苦，还是甜？ ①请看名言“勤能补拙是良训，一分辛苦一分才”——华罗庚不经历风雨怎么见彩虹，没有人能随随便便成功业精于勤荒于嬉，行成于思毁于随。书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。悬梁刺骨，韦编三绝凿壁偷光，囊萤映雪天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感。——爱迪生 可见"持续吃苦"才是成功的基石。只要你想掌握一门知识或一种技能，都需要付出辛勤的汗水。你选择了安逸，你就远离成功。缺乏克服困难的勇气和霸气 我接触过一些学生，他有一些薄弱章节，他的态度是能得第一问的基础分就行了，第二问能做多少做多少，不打算解决。当老师提出咱师生下点劲，彻底解决这些问题时，学生面带难色。虽然老师做了他思想工作，但他并不打算行动。一方面想有所提高，另一方面想绕着困难走，矛盾不？事实上他遇到的问题，只要以研究的心态，认认真真做上十个左右具有一定代表性的练习题，就基本上可以解决遇到的问题。 一个学生能把学习当乐趣，把做题当游戏，把考试当大餐。这样的顶级学霸有没有？有，但绝对稀有！绝大多数人在学习中都是在烦恼中疲惫地挣扎。不是不理解，就是记不住，不是没思路，就是算不出，不是失败就是在失败的的路上。 意志薄弱的人，放弃抵抗，停止挣扎，甚至当了逃兵。学习和长跑比赛一样，你感觉很累，别人也好不到哪里去，你中途退出，就是失败，你坚持到底，就是成功。学生在学习过程中，暂时不理解，搞不清都很正常。不能过分纠缠，更不能停止学习的脚步。随着时间的推移，知识的增加，思维能力的提高，许多原来的问题将不成问题。初中生看小学知识，会觉得很容易，高中生看初中知识会觉得很简单。其实当初也学得也不怎么样。我教高三复习班多年，上学期觉得很“笨”的同学，到了下期觉得他很变“聪明”了。我思考其中的原因，得出这是一个由“量变到质变”的过程。没有量的积累，就没有质的飞跃。 2.在吸收，借鉴，批判，纠错上出了问题①无意识地排斥先进的东西 有人会说谁这样傻，会排斥先进的东西。事实上，这样学生在我的教学中很常见。如某同学能用很烦的方法解决某一问题，老师在分析思维的多样性或简捷方法时，他会精神焕散，不愿意听明显外露，甚至将头扭离老师。可见多数人坚持以自我为中心，有意或无意地排斥先进，选择落后；放弃简捷，选择麻烦；舍弃智取，选择武力；落后的、麻烦的、没有灵魂的方法不舍得丢掉，先进的、快速的、具有创造性的方法就难以接受。 落后的东西处于强势地位，这样在吸收新知识，新方法就会存在一定的障碍。先进的败给落后的，教师影响不了学生。学生的思维和方法处于停滞状态，这是成绩下滑主要原因，所谓不进则退就是这个道理。②无意识地坚持错误每个人脑子中，都有某种固有的错误，有的人还很多。多数人经过他人苦口婆心的解释，一次二次的练习，就回到正确的的道路上。可是总有小部分人，他的思维象根橡皮筋，别人费了九牛二虎之力把他拉到正道上，过段时间他又回到原来错误的道路上狂奔。有些书写不规范，运算过于繁琐，方法错误等，当老师指出后，有的人学生就没有改正的意识。这些人对待错误的像家长对孩子一样溺爱，让错误吞噬仅有的一点成绩。要想改变一些错误，是很难的。就象戒烟，吸烟者也知道吸烟的危害，但他更看重吸烟的好处。③无意识地破坏规律做题过程中，谋化方法，发现规律，简化运算是快速解题的法宝。有的同学观察视野太过狭窄，观察的角度过于狭隘，譬如，观察一个方程，不等式，代数式等，往往看左不看右、看前不看后、看上不看下、看已知不看求证。不是谋定而后动，而是慌忙出击，破坏了其中规律性的东西，导致不是思路卡壳，就是运算太繁，几番挣扎，无奈放弃。数学的解题过程是不断化简，丢包袱的过程，约分，提出公因式，去分母，去根号，去绝对值等是我们要做的，部分同学带着大量垃圾一路走下来，累成了必然。一手好牌自己打坏了，心中还怨恨出题人。④无意识地守旧，守拙一元二次方程，一元二次不等式，一元二次函数问题的求解，在高中阶段只要结果，高中生中有许多人，思维和方法停留在初中的水平上，亦步亦趋，慢且错。幼儿园小朋友用手指扳着算2+3=5不奇怪，若初中生这样做就奇怪了。又如多项式的化简，配方法，许多高中同学要三四步才能完成，老师强调一次完成，学生依然我行我素，不肯尝试。问其原因，说是怕出错！其实质是守旧，守拙。落后思想左右着一个人思维，想有较大提高就比较难了。有些学生升入高中，成绩大幅度倒退，就是思维，方法，运算等不能及时调整和改变，停滞在初中水平不能自拔。心魔不除，难获真经。 3.思维能力某些方面明显不足 ①知识调不出 学生记忆知识和使用知识脱节，单独让他说知识点时会准确无误，实际应用时，要么忘记，要么很随意地写出一些错误的东西。知识储存在脑中，调不出来。知识和方法“死”在脑子里。就像买了件衣服放在衣柜里，时间长了忘记了还有这件衣服，有和没有已无多大区别。②方法不灵活公式的应用比较死，公式只会从左边推到右边，不会从右边推到左边，思维的单向性特征明显，不能像石子投入水中，涟漪向四周扩散，更不能进行球状发散，像放烟花一样向四面八方绽放。譬如，将a=b写成b=a或a－b=0或b－a=0，有些人就感觉很别扭，不舒服，甚至想不通。③想不起———知识的迁移，加工能力不足有些熟悉的问题，穿着马甲出来，不认识了。有些掌握的方法，戴上眼镜亮相，眩晕了。缺乏回归的思想，知识回不了老家。不能将陌生问题转化成熟悉问题，复杂问题转化成简单问题，新问题转化成旧问题，难题转化成易题。新知识，新方法回归不到知识的根据地，不能回到熟悉的环境中，心中发怵是难免的。④停滞不前有一部分高中生思维和方法停滞不前。许多可以口算或简算试题，仍用初中的方法亦步亦趋。一个一步可以到位的运算，他非得经过四五步运算。一个简单的问题他硬是作出难题的感觉。一个一分的题目，花费了十分的力量。问之则曰“跳步怕出错”。许多知识，初中需要过程的，高中只要结果，部分学生停留在初中走不出来。象一元二次方程，一元二次不等式解法，配方法，多项式的运算，绝对值的运算，数字的加、减、乘、除、平方、开方等。学习的原则是就近出发，而不是从零出发。怕出错是借口，不熟练是原因，不改变是心结。 4.没有自己的知识根据地①最基础的知识没有记住例如，韦达定理，一元二次方程求根公式，立方差立方和公式，等差（比）数列求和公式，基本不等式，绝对值不等式，抽象函数的对称性，周期性结论，一些重要函数的性质。三角形函数中特殊角的三角函数值，三角公式，辅助角公式，立体几何中的公理、定理、面积公式、体积公式，解析几何中直线方程的五种形式，圆锥曲线的定义、距离公式、斜率公式等，这些都是建设知识大厦的最基本条件——钢筋水泥，没有这些知识，知识的大厦建立不起来。②没有真正的熟悉的知识和方法例如，数列求和的错位相减法，几乎所有的同学知道怎么做，但至少60%的同学做不出来。原以为练习3—4个就行了，可是下次仍不行。又如立体几何中用坐标求角，思路单一，运算也不麻烦。不少同学不是将坐标写错，就是将向量写错，反反复复，一个题花费了许多时间，无法正确解答，可以说有些同学是“死”在运算上了。三角函数图象变换，知识题型非常固定，用心学一个课时就解决了，可总有一部分同学老是出错。这些“死”的方法掌握不往，我们就失去了最基础的得分点。再如三角函数中的辅助角公式，许多同学不熟练，想不起。还有指数、对数的运算，到了高三还有不少同学用的磕磕拌拌，运算法则还没有真正掌握。③没有真正掌握的章节什么叫真正掌握?当你心中不怯，甚至希望考试多出本章内容，才叫真正掌握。就是做题达到半自动化状态，思路清晰，过程畅通,易错点心知肚明，一做就对。这样的章节越多，你的成绩就越优秀。我们平时学习中就是要不断地建立自己的知识根据地，使我们知识有个放心点，考试有个得分点。 1.对学习没有兴趣学生时代，风华正茂，朝气蓬勃。在学习中，我们应有烈火一样的热情，野草一样的性格，钉子一样的精神。可是有学生上课没精打采，形似霜打，状似神佛。我曾单独辅导过一个学生，时不时的惦记着手机中的信息，或哈欠连天、扣手、擤鼻涕、不断上厕所、喝水。或把问题拿给老师，自己好像没事人一样，带搭二意。或经常上课发楞，目光呆滞。碰到这样的学生，教育一二次若不改变，教师没有必要在他身上浪费精力。 2.注意力不集中若学生若长时间玩手机、唱歌、看电视、运动，那么他的精神就会很疲惫，这时让他学习就会很木，反应很迟钝，甚至瞌睡打盹。老师们普遍发现，学生过个星期天疯玩两天，星期一上午上课的效果就比较差。学习必须在安静的环境下，精神饱满地静下心来，才能保证学习效果。 3.顶不住压力现实生活中，百分之八十以上的同学都不是爱学习。学习给普通人的压力非常大，理解，记忆，运算，方法各方面都可能有压力。一次次的失败，一次次的打击，就容易产生怯的心理，怯是长年累积的结果。有些同学情愿干一些体力活，也不愿学习，学习有时候真的是太折磨人了！4.抵不住诱惑一个同学本来打算去做作业，或者参加辅导，另一同学喊他玩，结果编造谎言选择了玩。挡不住诱惑，当今世上诱惑太多，手机，电脑，电视，游戏那一样都比学习轻松，都比学习有吸引力。 一个学生千万不要在老师热情为你讲解时，你表示的很冷漠，甚至无视。这样既不尊重老师，又伤害了你自己。老师会认为你根本就不想学，是老师自作多情，修养再好的老师，往后不会再关注你。切记！不要在老师面前使你的小性子！不要给老师甩脸子！