聊一聊中国古代的计算神器——算筹

石关口

马上到3月14日，是圆周率日。说到圆周率π，实在是有很多故事，其中不得不说的一定是我国南北朝时期一位伟大的数学家：祖冲之。在祖冲之之前，中外数学家已经开始计算圆周率，但得到的数字都不太精确，祖冲之用了割圆术的方法，推算出π的真实值在3.1415926和3.1415927之间，比欧洲达到相同精确程度的时间早了近一千年。

不过，今天不是想聊圆周率，而是想和大家聊一聊，祖冲之当时用来推算圆周率的重要工具：算筹。

祖冲之所在的南北朝时期，阿拉伯数字还远远没有传入中国，甚至当时连算盘都还没有被发明。祖冲之计算圆周率，用的是“算筹”这个当时中国最主要的计数工具。

在《玩出来的数学思考力》这本书里，我有特意把算筹记数和古埃及记数写到游戏里。和小朋友介绍不同的记数方法，一来可以从数学文化的角度帮助他们了解记数的历史，增加对数学的兴趣，二来是作为阿拉伯数字记数方法的补充，从多个角度来理解记数，第三也是最重要的，小朋友可以从了解古人记数的方法里，学习记数背后的智慧。

 什么是算筹 

中国古代有很多种计数方法，结绳计数、文字计数、算筹计数、算盘计数等等。大约从春秋战国时期到元明时期（也有一说是到唐宋时期），算筹一直是当时中国使用最普遍的计算工具。

算筹的样子就像我们在上面这张图片上看到的，实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13--14cm，直径粗细约2毫米-3毫米，大多用竹子制成，也有用木头、兽骨、金属等材料制成，比较讲究的，还有用象牙、玉制作的。

比如下面左图，是汉代青铜的算筹，右图是象牙算筹。

古人使用的时候，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来。

有的著作中说，算筹运筹的时候有专门的算筹盘，算筹盘是一种带格子的板，要放在算筹盘上摆放，也有些资料中提到可以使用任何物体的表面做算筹盘，比如桌子上，床上等等。

 算筹如何记数

用算筹表示数，有纵式和横式两种形式。为什么要用两种形式来表示，其实是一个非常巧妙的设计，后文会详细解释，这里先来了解一下纵式和横式两种表示方法。

在纵式里，纵向摆的每根算筹都表示1。数字1-5的表示里，摆几根纵向的算筹，就表示几；数字6-9用了一个非常巧妙的表示方法，就是上面用横向排列的一根算筹表示5，再加上下面纵向排列的相应的算筹，比如7，就是用一根横向排列的算筹表示5，再加上下面2根纵向排列的算筹表示2，加起来就是7。

横式里，数字1-5是用横向排列的、相应数目的算筹来表示，比如数字3，就是用三根算筹横向排列来表示；数字6-9是用纵向排列的一根算筹表示5，再加上下面横向排列的相应的算筹。

教孩子算筹记数的时候，有一点非常重要，就是要告诉孩子，不管是纵式还是横式，表示5的那一根算筹始终是放在上面的。

值得一提的是，数字6-9的表示方法，对小朋友学习数数有一定帮助，因为这样的表示方法，可以让小朋友数数不再是每次都从1开始，而是自然会引导他们从5开始，比如数字8，用算筹表示的时候，小朋友会试着从5开始数，5，6 7 8这样数数得来，对他们练习数数有一定帮助。另外，算筹对6-9这几个数字的表示方法，还可以帮助小朋友理解某个数字是“5+几”的拆分模式，对下个阶段的加减法运算也会有很有帮助。

上面算筹记数的介绍看上去有些枯燥，小朋友学会以后，动手摆起来就好玩多啦！

比如我们可以让孩子看着阿拉伯数字，用算筹摆出来。

如果没有小棍子，用数棒、水彩笔都是很不错的替代品。

这个游戏还可以做个小小的变化，把数字卡片替换为实物，请小朋友数一数实物的数量，然后用算筹表示出来。

积木的摆放可以加点小心机，这样把数积木的方法也融合进去了。比如：

也可以反过来，用算筹摆出一个数字，让小朋友说出是几，然后摆出同样数量的物品。

这样的游戏，理论上认识10以内数字的小朋友就可以玩起来。不过我还是建议等小朋友有了20以内基础以后，进行10以内数字第二轮学习的时候再加入。小朋友刚开始学习数与量对应的时候，还是先学好阿拉伯数字，同时介绍两种方法的话，会容易混淆。

 算筹的多位数表示 

上一个部分中，我们有一个小小的疑问：算筹记数法里面，为什么1-9这九个数字要用纵式和横式两种方法来表示呢？在10以内数字的表示法中，我们一时还找不到答案，但是当我们带孩子一起了解算筹中多位数的表示方法后，就很容易明白了。

在算筹记数法中，如果要表示一个多位数，有一些特定的规则，具体是：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式，这样从右到左，纵横相间，依此类推就可以用算筹表示出任意大的自然数。

比如我们来试着表示一下42和317

算筹记数法中还有很重要的一点，就是0的表示。在当时的算筹记数里，是没有数字0的特定符号的，古人是用空位来表示。比如要表示10，就是用一根横式1，加上空格来表示。

从上面这几个例子我们可以看到，算筹用纵横两种方法表示的智慧所在：因为算筹是纵横变换摆放，所以如果遇到两个纵式连在一起，或者两个横式连在一起，就说明其中应该有一个空位，就是0，这样可以大大提高记数的准确率。

相比阿拉伯数字在还没有发明符号0以前，也是用空位来表示0，但阿拉伯数字就容易出错多了。

比如要表示120，阿拉伯数字写成12加一个空格，非常容易看成12；而算筹是纵式1，横式2，加空格，不会和12混淆。

和数字1-9一样，和孩子介绍完算筹多位数表示方法以后，也可以玩一些摆摆放放的小游戏。

比如我们写一个数字，请孩子用算筹摆出来，反过来，我们用算筹摆一个数字，请孩子说出它表示几，爸爸妈妈可以和孩子相互出题。

 算筹这样运算 

等小朋友会用算筹表示多位数了，我们就可以和他们用算筹来进行运算啦！

《如果国宝会说话》专门有一集讲了算筹，其中有关于用算筹进行加法的演示，我把它转过来哈。

看完这个视频，我们可以带孩子一起来试一下，用算筹分别来计算2+5，15+6，37+45。这个运筹的过程是不是很神奇？

算筹是中国古代数学智慧的结晶。如果我们把算筹记数和今天通用的阿拉伯数字记数做一个比较，就会发现这两种方法有很多相似之处。它们都设计了1-9这九个数字符号（阿拉伯数字还没有发明0以前是9个数字符号），如果从这九个符号的设计来看，算筹显然更简洁，更容易理解，纵式和横式两种表示方法的设计也更加巧妙；另外，这两种记数方法都采用了非常先进的位置记数法，比古埃及数字、古罗马数字适用性都更好。

但是，在这两种当时都非常先进的记数方法里，历史最终选择了阿拉伯记数法。我们可以带着孩子一起想一想，这是为什么呢？

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