天平称球

一天

有12个球，从颜色、外形上都不能区分它们，但其中有1个球与另外11个球的重量不相同。现在设计一个方案，利用一架没有砝码的天平，通过只称量3次，找出那个重量不同的球，并判断它比其他球更轻还是更重。

为了方便表述，我们将这12个球进行编号，为1、2、3……12。特别地，本文中数字仅仅是球的编号，并不是自然数。其中那个重量不相同的球称为异常球，其他重量相同的球称为正常球。

下面的描述比较繁琐，请耐心阅读，并在头脑里进行想像来配合理解。

步骤一

将这12个球分成三份，为第一份（1、2、3、4），第二份（5、6、7、8），第三份（9、10、11、12）。将前两份分别放在天平的两端，第三份留在原处。这时，天平上无外乎这三种现象，即：

A：左重右轻，即（1、2、3、4）>（5、6、7、8）。异常球在天平上的第一份或第二份内，即在1、2、3、4号或5、6、7、8号内，天平下的第三份全部是正常球。 B：左右平衡，即（1、2、3、4）=（5、6、7、8）。天平上的第一份和第二份全部是正常球，异常球在天平下的第三份内，即在9、10、11、12号内。 C：左轻右重，即（1、2、3、4）<（5、6、7、8）。异常球在天平上的第一份或第二份内，即在1、2、3、4号或5、6、7、8号内，天平下的第三份全部是正常球。

步骤二

对于A：将天平上的左边三个球（1、2、3）移到右边，将右边的（5、6、7）拿下来，从天平下的第三份内拿（9、10、11）到天平的左边，天平下面的球为（5、6、7、12）。也只可能出现三种现象，即：

a：左重右轻，即（9、10、11、4）>（1、2、3、8）。异常球位置没有发生移动，锁定异常球为4号或8号，且有4>8，其他均为正常球。 b：左右平衡，即（9、10、11、4）=（1、2、3、8）。异常球位置发生移动，且不在天平上，则异常球在拿下去的5、6、7号内，并且根据步骤一的天平现象可知，异常球更轻。 c：左轻右重，即（9、10、11、4）<（1、2、3、8）。异常球位置发生移动，且仍在天平上，则异常球在移动的1、2、3号内，并根据步骤一的天平现象可知，异常球更重。

对于B：将9、10、11号放在天平左边，正常球1、2、3号放在天平右边。天平下留有12号与其他正常球。天平上也只能有以下三种现象，即：

d：左重右轻，即（9、10、11）>（1、2、3）。异常球在9、10、11号内，且异常球更重。 e：左右平衡，即（9、10、11）=（1、2、3）。异常球是留在天平下的12号。 f：左轻右重，即（9、10、11）<（1、2、3）。异常球在9、10、11号内，且异常球更轻。

对于C：将天平上的左边三个球（1、2、3）移到右边，将右边的（5、6、7）拿下来，从天平下第三份内拿（9、10、11）到天平的左边，天平下现在的球为（5、6、7、12）。也只可能出现三种现象，即：

g：左重右轻，即（9、10、11、4）>（1、2、3、8）。异常球位置发生移动，异常球为1、2、3号，且异常球更轻。 h：左右平衡，即（9、10、11、4）=（1、2、3、8）。异常球位置发生移动，且不在天平上，则异常球在拿下去的5、6、7号内，并且根据步骤一的天平现象可知，异常球更重。 i：左轻右重，即（9、10、11、4）<（1、2、3、8）。异常球位置没有发生移动，即锁定在4号或8号，且有4<8。

步骤三

对于a， 异常球在4号或8号内，且有4>8。则将4号放在天平左边，正常球1号放天平右边。如果4>1，则异常球为4号且更重；如果4=1，则异常球为8号且更轻；如果4<1，则出现了8<4<1，这种现象不可能。

对于b，异常球在5、6、7号内，且更轻。则将5号放天平左边，6号放天平右边，7号留在天平下边。如果5>6，则异常球为6号且更轻；如果5=6，则异常球为7号且更轻；如果5<6，则异常球为5号且更轻。

对于c，异常球在1、2、3号内，且更重。则将1号放天平左边，2号放天平右边，3号留在天平下边。如果1>2，则异常球为1号且更重；如果1=2，则异常球为3号且更重；如果1<2，则异常球为2号且更重。

对于d，异常球在9、10、11号内，且更重。则将9号放天平左边，10号放天平右边，11号留在天平下边。如果9>10，则异常球为9号且更重；如果9=10，则异常球为11号且更重；如果9<10，则异常球为10号且更重。

对于e，异常球是12号。则将12号放在天平左边，1号放在天平右边。如果12>1，则异常球是12号且更重；如果12<1，则异常球是12号且更轻。

对于f，异常球在9、10、11号内，且更轻。则将9号放天平左边，10号放天平右边，11号留在天平下边。如果9>10，则异常球为10号且更轻；如果9=10，则异常球为11号且更轻；如果9<10，则异常球为9号且更轻。

对于g，异常球在1、2、3号内，且更轻。则将1号放天平左边，2号放天平右边，3号留在天平下边。如果1>2，则异常球为2号且更轻；如果1=2，则异常球为3号且更轻；如果1<2，则异常球为1号且更轻。

对于h，异常球在5、6、7号内，且更重。则将5号放天平左边，6号放天平右边，7号留在天平下边。如果5>6，则异常球为5号且更重；如果5=6，则异常球为7号且更重；如果5<6，则异常球为6号且更重。

对于i，异常球在4号或8号内，且有4<8。则将4号放在天平左边，正常球1号放天平右边。如果4<1，则异常球为1号且更轻；如果4=1，则异常球为8号且更重；如果4>1，则出现了8>4>1，这种现象不可能。

经过以上三个步骤，就能找出那个重量不相同的球并知道它比其他球更轻还是更重了。