小学数学应用题分类自学系列辅导(五.等式变形问题)

海阔天空

<p class="ql-block">文字:海阔天空</p><p class="ql-block">图片:源于网络和现行教科书</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;"> 一.自学辅导的原由和目的</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">因为</span><b style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">《小学数学应用题自学系列辅导》</b><span style="font-size:22px;">是陆续撰写和分享的,所以我在</span><b style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">系列辅导一.倍数问题</b><span style="font-size:22px;">一文中用了2014个文字将</span><b style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">自学辅导的原由和目的</b><span style="font-size:22px;">已经阐述过了,在此不必再叙。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">本篇主要进行第五类“</span><b style="font-size:22px;">等式变形问题</b><span style="font-size:22px;">”的</span><b style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">方法总结</b><span style="font-size:22px;">和</span><b style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">精选5题</b><span style="font-size:22px; color:rgb(1, 1, 1);">的</span><b style="font-size:22px; color:rgb(22, 126, 251);">题意分析</b><b style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">、</b><b style="font-size:22px; color:rgb(57, 181, 74);">详解过程</b><span style="font-size:22px;">和</span><b style="font-size:22px; color:rgb(255, 138, 0);">解后反思</b><span style="font-size:22px;">。</span></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">  二.等式变形问题方法总结 </b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">在四则运算中,加减互为逆运算,一个加法式可变成两个减去式(</span><span style="font-size:18px;">反之亦然)</span><span style="font-size:22px;">;乘除互为逆运算,一个乘法式可变成两个除法式(</span><span style="font-size:18px;">反之亦然)</span><span style="font-size:22px;">。在一些纯数学性的文字题和一些实际中的应用题的逆行思维题目中,往往可以利用这些互逆运算和等式的合理变形,思考和解决问题可达到化难为易、事半功倍的效果,把这类问题称为</span><b style="font-size:22px;">等式变形问题</b><span style="font-size:22px;">。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">具体作法是根据题意或凭经验先写出一个包含</span><b style="font-size:22px;">要求数量</b><span style="font-size:22px;">的等式,然后经若干次按部就班的合理变形,最终得到要求的结果或得到这个题目求解的综合算式。</span></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">  三.等式变形问题精选6题</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">1.在除法运算中,被除数是123,商数为4,余数为3,求除数是多少?</span></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">题意分析:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">1.容易写出</span><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">123=除数*4+3,</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">如果把</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">除数*4</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">看成一个整体的话,这就是一个加法算式。把这个加法算式变成减法算式是:</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">除数*4=123-3</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">,即</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">除数*4=120</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">,这已经是一个乘法算式,再把这个乘法算式变成除法算式:“</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">除数=120÷4”</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">可得到</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">除数=30</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">2.本题也可以这样简单的叙述:在</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">123=除数*4+3</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">中,先把3减过去,再把4除过去,即</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">(123-3)÷4</b><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">,</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">这便是本题目求解的综合式。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:20px;">解:(123-3)÷4</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:20px;"> =120÷4</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:20px;"> =30</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:20px;">答:除数是30。</span></p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">解后反思:</b></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">1.把上面的分析1的实质可归结为分析2的简单表述,这样便于得到解答的综合算式。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">2.本题中的等式是由被除数、除数、商数、余数的关系得到的,所有除法式中都会隐含这个关系。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">3.这个问题很简单,但是可以用以说明用</span><b style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:20px;">等式变形</b><span style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">解决问题的方法。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">2.某数减去2再加上3,再乘以2后除以3,结果为6,求这个数是多少?</span></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">题意分析: </b></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">①</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">.按题意可得:</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">(某数-2+3)*2÷3=6</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">,先把“÷”前的部分看成一个整体由除法式变乘法式得</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">(某数-2+3)*2=18</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">,再把“*”前看成一个整体再由乘法式变除法式可得</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">某数-2+3=9</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">,再把“+”前看成一个整体由加法式变减法式可得:</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">某数-2=6</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">,再由减法式变加法式可得:</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">某数=8</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">。</span></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">②</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">.在</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">(某数-2+3)*2÷3=6</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">中,又可简单叙述为:先把3乘过去,再把2除过去,再把3减过去,再把2加过去,即</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">某数=6*3÷2-3+2</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">,这就是本题求解的综合算式。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);">解:6*3÷2-3+2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =18÷2-3+2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =9-3+2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =6+2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =8</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);">答:这个数是8.</span></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">解后反思:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">1.这个题目也是一个“</span><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">倒推还原问题</b><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">”,将在</span><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">系列辅导十七</b><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">一文中专题表述。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">2.上面两题属于纯数学题目,只要理解了“</span><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">等式变形的实质</b><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">”,只要能写出等式,利用简单叙述就可按部就班得到求解综合式,也可以依照综合式中的运算符号按运算顺序先写出分步算式。</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">3.育才小学购买了46套办公桌椅共花了7360元,办公桌的单价是115元,求办公椅的单价是多少元?</span></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">题意分析:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">本题可以按照</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">价格问题</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">正常思路进行分析转化,但更容易得到一等式:“</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">115*46+椅子单价*46=7360</b><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">”</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">再按照先把115×46减过去,再把46除过去就可很快得到一个求解的综合算式:</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">(7360-115*46)÷46</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">,这个方法省时又省心。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);">解:(7360-115*46)÷46</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =(7360-5290)÷46</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =2070÷46</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =45(元)</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);">答:椅子的单价是45元。</span></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);"> 解后反思:</b></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:20px;">1.上面的脱式计算是按照先乘法、再减法、最后除法进行的。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">2.如果要列出分步式也是三步,先乘法式,再减法式,最后除法式。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">4.有两筐水果,甲筐重32千克,从乙筐取出20%后就是甲筐的3/4(四分之三),求两筐共重多少?</span></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">题意分析:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);"> 要求两筐共重,需先求乙筐重量,本题既是</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">调配问题</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">,又是</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">分率问题</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">。要寻找求解列式都比较费解,若利用</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">等式变形</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">就能达到显而易见的效果。容易写出下面等式:</span><b style="font-size:20px; color:rgb(22, 126, 251);">32*3/4=乙数*(1-20%)</b><span style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">,若把等号左边看成一个整体,可把乘法式变成除法式可得求乙筐的式子。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);">解:(1)乙筐重量为:</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> 32×3/4÷(1-20%)</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =32×3/4‘÷4/5</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =32*3÷4*5÷4</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =32*3*5÷4÷4</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =32*15÷16</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =480÷16 </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =30(千克)</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> (2)甲乙两筐重量为:</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> 32+30=62</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);">答:两筐共重62千克。</span></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">解后反思:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">本题分析题意中所说的</span><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">调配问题</b><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">和</span><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">分率问题</b><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">要在本系列辅导的第十一类和第二十四类才能进行,可见现在若不用</span><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">等式变形</b><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">方法解答还有很大的难度。</span></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);"></b></p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">5.在一次趣味性数学测试中,共有55个小题,游戏规则是做对一题得3分,做错一题倒扣2分,不做得0分,淘气做对40道 题,得了100分,没做的题有多少道?</span></p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:20px;">题意分析:</b></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:20px;">要求没做的题有多少道,需先求做错了多少道,因为不做得0分,所以暂时先不考虑没做的题,只要把做错的道数求出就可以了。容易得到等式:</span><b style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:20px;">40*3-错题*2=100</b><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:20px;">,按照等式变形可依次变为:</span><b style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:20px;">错题*2=40*3-100</b><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:20px;">(减数=被减数-差),即</span><b style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:20px;">错题*2=20</b><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:20px;">,再变形可得:</span><b style="color:rgb(22, 126, 251); font-size:20px;">错题=20÷2=10</b><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:20px;">,没做题为55-40-10=5(道)。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74); font-size:20px;">解:(1)做错题的道数为:</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> ( 40*3-100)÷2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =(120-100)÷2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =20÷2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> =10(道)</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> (2)没有做的题道数为:</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(57, 181, 74);"> 55-40-10=5(道)</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(57, 181, 74);">答:没做的题为5道。</span></p><p class="ql-block"><b style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">解后反思:</b></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">1.本题中等式变形中的依据一个是</span><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">减数=被减数-差</b><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">,另一个依据是</span><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">一个乘数等于积除以另一个乘数</b><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px; color:rgb(255, 138, 0);">2.本题题意分析可借助草稿本把等式先写出来,再通过心理活动变形为本题求解综合算式。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> 上面5道</span><b style="font-size:20px; color:rgb(176, 79, 187);">类型精选题</b><span style="font-size:20px;">都是利用了互逆运算的同级算式互化将有关等式进行合理的变形解决问题的,为后面的各类数学问题的学习做了铺垫,它将能解决好多按常规不易解决的问题。特别是</span><b style="font-size:20px;">价格问题</b><span style="font-size:20px;">、</span><b style="font-size:20px;">归一问题</b><span style="font-size:20px;">、</span><b style="font-size:20px;">调配问题</b><span style="font-size:20px;">中,凡是具有</span><b style="font-size:20px;">逆行思维</b><span style="font-size:20px;">的题目都能显示出此法的重要性。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">因本人在职期间一直从事初中数学教学,对小学数学教学的内容顺序不是很清楚,因此在编拟本套</span><b style="font-size:22px; color:rgb(1, 1, 1);">分类自学系列辅导</b><span style="font-size:22px;">过程中难免会有不妥和疏漏之处, 特别是先后顺序安排需要跟现行教材相匹配,所以我把已经拟定的目录表提供出来,如果能有幸遇到同行和能者,诚望提出宝贵意见,在此提前致谢!</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;"> </span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">  分类自学系列辅导目录</b></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">1.倍数问题:2.倍比问题:</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">3.价格问题:4.平均数问题:</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">5.等式变形问题:6.归一问题:</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">7.归总问题:8.和差问题: </span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">9.和倍问题:10.差倍问题:</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">11.调配问题:12.植树问题: </span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">13.年龄问题:14.盈亏问题:</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">15.买几送几问题:16.方案选择问题:</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">17.倒推还原问题:18.排列组合问题:</span> </p><p class="ql-block">19.逻辑推理问题:20.周期循环问题:</p><p class="ql-block">21.数字数位问题:22.锅牛爬井问题:</p><p class="ql-block">23. 至多与至少问题:24分率问题: </p><p class="ql-block">25.打折问题:26.货币兑换问题:</p><p class="ql-block"> 27.按比例分配问题:28.相遇问题:</p><p class="ql-block">29.追及问题: 30.行船问题:</p><p class="ql-block">31.列车问题: 32.环形运动问题:</p><p class="ql-block">33.工程问题: 34.鸡兔同笼问题:</p><p class="ql-block">35.时钟问题: 36.正反比例问题:</p><p class="ql-block">37.增减率问题:38.百分数问题:</p><p class="ql-block">39.利率问题: 40.规律性问题:</p><p class="ql-block">41.液体倒出问题.</p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);">备注:</b></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">1.上面彩色题目为已经编拟后的篇目。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">2.分类情况有待继续完善和增减。</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">3.诚望感兴趣的同行和朋友提出宝贵意见。</span></p> <p class="ql-block"><b style="font-size: 22px; color: rgb(237, 35, 8);">  🙏谢谢您的光临和欣赏🙏</b></p>

问题

等式

算式

变形

题意

除数

本题

某数

乘法

辅导