绝对值的几何意义教学之我见

昕杭的教育絮事:我和我的“孩子们”

培优班第二周这一讲，我们对绝对值的几何意义作一个深入的剖析．因为在绝对值的知识点中，蕴含了许多重要的数学思想．

(1)分类讨论思想：绝对值化简时，要根据被化简式子的正负性来分类．

(2)整体思想：绝对值化简时，有时需要将被化简式子看作整体．

(3)数形结合思想：绝对值的几何意义中，结合数轴来了解，更加简单易懂．

——写在前面

一、概念辨析

首先，来回忆一下绝对值的几何意义：数轴上，表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．如数a的绝对值记作|a|，表示数a的点与原点的距离．

 

但是我们其实可以把|a|看作|a－0|，这样就能表示为数a的点与数0的点的距离．

那么|a－5|表示什么呢？千万别说成数a－5的点与数0的点的距离．而应该看成数a的点与数5的点的距离．

不能理解的同学，我们就举最简单的例子，数10的点与数5的点的距离是多少，你肯定是知道是10－5，那这里只不过把10换成了a而已，如果a比5小，加个绝对值符号，保证距离的非负性即可，这下你明白了吧．

那么|a＋5|表示什么呢？|a＋5|＝|a－(－5)|，表示数a的点与数－5的点的距离．

最后，你能说出|a－b|和|a＋b|的几何意义吗？

二、典型例题

1.绝对值化简求最值

例1

求|x－1|＋|x－2|的最小值．

分析：

|x－1|表示数x的点与数1的点之间的距离，

|x－2|表示数x的点与数2的点之间的距离，

|x－1|＋|x－2|表示数x的点与数1的点之间的距离与数x的点与数2的点之间的距离之和．

我们不妨在数轴上，设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x．

当1≤x≤2时，即P点在线段AB上，此时|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＝1；

当x＞2时，即P点在B点右侧，此时|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＋2PB＞AB；

当x＜1时，即P点在A点左侧，此时|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＋2PA＞AB；

解答：

综上，当1≤x≤2时(P点在线段AB上)，|x－1|＋|x－2|取得最小值为1．

结论归纳：

若已知a＜b，则当a≤x≤b时，

|x－a|＋|x－b|取得最小值为b－a．

变式1

求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值．

分析：

我们不妨在数轴上， 设A、B、C、P四点对应的数分别为1、2、3、x．

①当1≤x≤3时，|x－1|＋|x－3|＝PA＋PC＝3－1＝2，取得最小值；

②当x＝2时，|x－2|＝PB＝0，取得最小值；

而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＝PA＋PB＋PC，即上面两式|x－1|＋|x－3|与|x－2|之和，如果这两式能同时取得最小值，那么它们的和必然也取得最小值．

解答：

当x＝2时，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|

的最小值为(3－1)＋0＝2

变式2

求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|的最小值．

分析：

我们不妨在数轴上，设A、B、C、D、P五点对应的数分别为1、2、3、4、x．

①当1≤x≤4时，|x－1|＋|x－4|＝PA＋PD＝4－1＝3，取得最小值；

②当2≤x≤3时，|x－2|＋|x－3|＝PB＋PC＝3－2＝1，取得最小值；

而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＝PA＋PB＋PC＋PD，即上面两式|x－1|＋|x－4|与|x－2|＋|x－3|之和，如果这两式能同时取得最小值，那么它们的和必然也取得最小值．

解答：

当2≤x≤3时，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|

的最小值为(4－1)＋(3－2)＝4．

变式3

求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＋|x－5|的最小值．

分析：

我们不妨在数轴上，设A、B、C、D、E、P六点对应的数分别为1、2、3、4、5、x．

①当1≤x≤5时，|x－1|＋|x－5|＝PA＋PE＝5－1＝4，取得最小值；

②当2≤x≤4时，|x－2|＋|x－4|＝PB＋PD＝4－2＝2，取得最小值；

③当x＝3时，|x－3|＝PC＝0，取得最小值；

而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3＋|x－4|＋|x－5||＝PA＋PB＋PC＋PD＋PE，即上面三式|x－1|＋|x－5|，|x－2|＋|x－4|与|x－3|之和，如果这三式能同时取得最小值，那么它们的和必然也取得最小值．

解答：

当x＝3时，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＋|x－5|

的最小值为(5－1)＋(4－2)＋0＝6．

结论归纳：

例3

|x＋1|＋|x－3|＝6，x＝_______．

分析：

|x＋1|＋|x－3|表示数x的点与数－1的点之间的距离与数x的点与数3的点之间的距离之和．

显然，我们易知，当－1≤x≤3时，距离之和为4，因此，x的取值必然满足x＜－1或x＞3．

我们不妨以x＜－1为例，结合数轴分析，设A、B、P三点对应的数分别是－1、3、x．设P、A两点距离为a，则P、B两点距离为a＋4，a＋a＋4＝6，a＝1，则x＝－1－1＝－2，同理，当x＞3时，也可求．

解答：

x＜－1，设P、A两点距离为a，则P、B两点距离为a＋4，

a＋a＋4＝6，a＝1，则x＝－1－1＝－2，

x＞3，设P、B两点距离为a，则P、A两点距离为a＋4，

a＋a＋4＝6，a＝1，则x＝3＋1＝4，

综上，x＝－2或4．

例4

|x＋1|－|x－3|＝2，x＝_______．

分析：

|x＋1|－|x－3|表示数x的点与数－1的点之间的距离与数x的点与数3的点之间的距离之差．

显然，我们易知，当x＜－1时，距离之差为－4，当x＞3时，距离之差为4，因此，x的取值必然满足－1≤x≤3．

我们不妨结合数轴分析，设A、B、P三点对应的数分别是－1、3、x．设P、A两点距离为a，则P、B两点距离为a－2，a＋a－2＝4，a＝3，则x＝－1＋3＝2．

解答：

x＝2

本讲思考题

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