截长补短法

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截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。

中文名 截长补短法

别称 几何辅助线做法之一

应用学科 数学

适用领域范围 几何

定义 几何题中一种辅助线的添加方法

定义

截长：1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短：1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

用法例题

例1：正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45°。求证：EF=DE+BF。

证明：延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。

∵ABCD是正方形

∴∠ADG=∠ABF=90°，AD=AB

又∵DG=BF

在Rt△ADG与Rt△ABF中：

DG=BF

∠ADG=∠ABF

AD=AB

∴Rt△ADG≌Rt△ABF（SAS）

∴∠GAD=∠FAB，AG=AF

∵ABCD是正方形

∴∠DAB=90°

=∠DAF+∠FAB

=∠DAF+∠GAD

=∠GAF

∴∠GAE=∠GAF-∠EAF

=90°-45°

=45°

∵∠GAE=∠FAE=45°，AG=AF，AE=AE

∴△EAG≌△EAF（SAS）

∴EF=GE

=GD+DE

=BF+DE

例2：如图，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求∠AEB的度数。

解：向AE方向延长AE，交BC的延长线于F。

∵∠5和∠6是对顶角

∴∠5=∠6

∵E是CD的中点

∴DE=EC

∵AD∥BC

∴∠1=∠F

∴△AED≌△CEF（AAS)

∴AD=CF，AE=EF

∴AB=AD+BC

=CF+BC

=BF

∴△ABF是等腰三角形且AF为底边

又∵AE=EF且点E在线段AF上

∴BE⊥AF

∴∠AEB=90°

例3：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC。求证：AB+BD=AC。

证明：在AC上截取AE=AB，连接DE

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

又∵AD=AD，AB=AE

∴△ABD≌△AED（SAS）

∴BD=DE，∠B=∠3

又∵∠B=2∠C

∴∠3=2∠C

又∵∠3=∠4+∠C

∴2∠C=∠4+∠C

即∠C=∠4

∴DE=CE

∴BD=CE

∵AE+EC=AC

∴AB+BD=AC

例4：如图，AC平分∠DAB，∠ADC+∠B=180°。求证：CD=CB。

证明：在AB上找一点E，使AE=AD，连接CE

∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠BAC

又∵AE=AD，AC=AC

∴△ACD≌△ACE(SAS)

∴∠ADC=∠AEC，CD=CE

∵∠ADC=∠AEC

∴∠AEC+∠B=∠ADC+∠B=180°

∵∠CEB+∠AEC=180°

∴∠B=∠CEB

∴CE=CB

∴CD=CB

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