翻折法作图(construction by reflection)是解作图题的一种常用方法,一些作图题可以通过固定图形中适当的一条直线或一点,将图形翻折,利用图形的对称性使某些几何元素移位,以寻求到作图的途径和方法,从而作出所求图形。

中文名 翻折法作图

外文名 construction by reflection

所属学科 数学

所属问题 平面几何(尺规作图)

简介 解作图题的一种常用方法

基本介绍

翻折法作图(construction by reflection)也称对称法作图,就是利用初中几何课中学到的轴对称和中心对称的知识去解几何题目,常收巧妙、简捷、明快之效,我们把这种方法称之为翻折法或对称法。具体的说,就是:假设图形已经作出,如将某定点或定线段以一已知直线(或线段)为对称轴,而得出它的对称点或线段。仍可具有原来的点或线殴所应满足的某些条件。这样:往往可将原问题化为比较简易的问题。

例如,已知直线XY同侧的两点A,B,在直线XY上求作一点P,使PA+PB为最短(如图).简要分析如下:

若将点A从直线XY所划分的上半平面翻折到下半平面的点A′,则斜线(或垂线)AP,AP1,AP2,AP3,…的长分别与对应斜线(或垂线)A′P,A′P1,A′P2,A′P3,…的长相等,因此折线APB,AP1B,AP2B,AP3B,…之长分别与对应折线(或线段)A′PB,A′P1B,A′P2B,A′P3B,…之长相等.于是使PA+PB最短的问题便化为使PA′+PB最短的问题.根据两点之线段比两点间折线短的原理知,线段A′B与直线XY的交点便是所求的点.

本题恒有解,包括直线AB与XY互相垂直的情形在内,那时AB的垂足即所求的点。[1]

举例分析

用中心对称法解题

把一个图形绕某一点旋转180°,便得到这个图形关于这个点的中心对称图形,因此中心对称法实际是一种旋转法(转180°), 以下只举一个例子[2] 。

例1 如图,△ABC中,边BC上的两点E,F把BC三等分,BM是AC边上的中线,AE、AF分BM为x、y、z三部分,求x:y:z。

解:以M为中心,作△ABC的中心对称图形△CB'A,则E、E'和F、F'都是关于点M为对称中心的对称点。

∴E'C//AE,F'C// AF,

由此可得 , ①

由①得x-y=z, ③

②+③,得,,

②-③,得

∴.

用轴对称法解题

有些书籍只将轴对称法又称翻折法,当几何问题条件不太集中,已知求证之间联系不大时,有时用翻折法可把条件相对集中,容易发现新的解题途径,下面按不同的对称轴介绍几种常见的翻折类型[2] 。

1.以角平分线为轴

例2 已知等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,∠B的平分线交AC于D,过C作BD的垂线交BD的延长线于E。

求证:BD= 2CE,证明:以角平分线BE为轴,作△BCE的轴对称图形△BFE,则C. E,F共线,且CE=EF,即CF= 2CE。

∵∠1=22.5°,

而∠ACF=90°-∠2-∠ACB=90°-22.5°-45°=22.5°,

又AB= AC,

∴△ABD≌△ACF,

∴BD=CF=2CE。

2.以高线为轴

例3已知锐角△ABC,AH是BC边上的高,若AB+ BH= HC,求证:∠B=2∠C[2] 。

证明:如图,以A为轴,作△ABH的对称图形△AB'H,则AB'= AB,HB' =BH,

∵AB+BH =HC,

∴AB'+ HB'=HC,

∴AB'= B'C,

∴∠C=∠B'AC,

而∠B=∠AB'B=∠B'AC+∠C,

∴∠B=2∠C.

3. 以直径为轴

例4如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于P,∠CPB=45°,⊙O的半径为1,求证: PC2+ PD2=2[2] 。

证明:以AB为轴,作PD的对称图形PD',连结DD',OD'、OC、CD',则有

PD= PD',∠CDD'=45°,∠D'PC = 2∠CDD'= 90°,

∴∠COD'= 2∠CDD'= 90°,

∴PC2+ PD2=PC2+ PD'2= CD'2= OC2+OD'2=2.

4. 折线问题

常用来解决折线的最小值问题,下面举一个和折线角度相关的问题[2] 。

例5 已知直线AB的同侧有两点P、Q (且PQ不垂直于AB),在AB上确定一点C,使∠PCA=2∠QCB。

作法:如图,以AB为轴作点Q的对称点Q',以Q'圆心,为半径作⊙O',过P作⊙O'的切线PD与AB交于C,则点C就是要 'Q'求的点。

证明:∵∠PCA=

∠BCD, CE是⊙O'的切线,

∴∠ ECQ'=∠DCQ',

又∵∠QCE=∠Q'CE,

∴∠PCA=2∠Q'CE= 2∠QCB[2] .