图象变换法

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数学里的图象变换，指一个图形（或表达式）到另一个图形（或表达式）的演变。图象变换是函数的一种作图方法。已知一个函数的图象，通过某种或多种连续方式变换，得到另一个与之相关的函数的图象。

中文名 图象变换

方式

常见的函数的图象变换有四种基本形式：平移变换、对称变换、伸缩变换和翻折变换。

1．平移变换

（1）横向平移变换

将函数y=f(x)的图象沿x轴方向平移 |m|个单位，得到函数y=f(x+m)(m≠0)的图象， 当m>0时，向左平移；当m<0时，向右平移。

（2）纵向平移变换

将函数y=f(x)的图象沿y轴方向平移|n|个单位，得到函数y=f(x)+n(n≠0)的图象。当n>0时，向上平移；当n<0时，向下平移。

2．对称变换

（1）作函数y=f(x)的图象关于x轴的对称图象，得到函数y=－f(x)的图象。

（2）作函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到函数y=f(－x)的图象。

（3）作函数y=f(x)的图象关于原点的对称图象，得到函数y=－f(－x)的图象。

（4）作函数y=f(x)的图象关于直线y=x的对称图象，得到函数y=f-1(x)的图象。

（5）作函数y=f(x)的图象关于直线x=a的对称图象，得到函数y=f (2a－x)的图象。

如图一。函数y=e^x的图象,通过（1）～（4）的变换，分别得到y=－e^x，y=e^（-x），y=－e^(-x)，y=lnx的图象。

3．翻折变换

（1）上下翻折变换

将函数y=f(x)在x轴上方的图象保留，下方的图象翻折到上方去，得到函数y=|f(x)|的图象。

（2）左右翻折变换

将函数y=f(x)在y轴右侧的图象保留，再作其关于y轴的对称图象，并去掉y轴左侧的原图象，得到函数y=f(|x|)的图象。如图二。函数y=1/e^x的图象变换得y=1/e^|x|的图象。

变换

1．正弦曲线到正弦型曲线的变换

正弦型函数y=Asin(ωx+φ)，当A≠0, ω≠0, x∈R时的曲线，可以由正弦曲线y=sinx，通过以下一系列图象变换而得到：

（1）横向平移变换

将函数y=sinx的图象沿x轴向左（当φ≥0时）,向右（当φ<0时）平移|φ|个单位，得到函数y= sin(x+φ)的图象。

（2）再将函数y= sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标伸长（当|ω|<1时），缩短（当|ω|>1时）到原来的1/|ω|倍，纵坐标不变，得到函数y=sin(ωx+φ)的图象。

（3）再将函数y= sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长（当|A|>1时），缩短（当|A|<1时）到原来的|A|倍，横坐标不变，得到正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象。

如图三。由正弦曲线y=sinx，通过上述变换，得正弦型曲线y=3sin(2x+π/3) [1] 。

2．简谐运动的图象变换

正弦型函数y=Asin(ωx+φ)，当A>0, ω>0,x≥0时，它刻划的是物理的简谐运动的位移与时间，交流电的电流与时间的函数关系。

这时，上述变换又可依次称为（1）相位变换、（2）周期变换、（3）振幅变换。

值得注意的是，若先作周期变换，再作相位变换，则平移量不是|φ|，而是|φ/ω|.

新旧图象的关系

为简便起见，我们把变换前的图象叫旧图象，变换后的图象叫新图象。

1．对应观点

上述变换，除翻折变换的第（2）项左右翻折变换外，其他的变换，新图象和旧图象上的点存在一一对应关系。这是我们解决新旧图象关系的最基本最关键的出发点。也是解决其对应的新旧解析式的最基本最关键的出发点。

2．数形结合观点

函数的图象变换，是从“形”的角度使函数发生变化。新旧图象表示两个函数。与之对应的两个函数的解析式也从“式”的角度发生了变化。

3．保距性

在上述图象变换中，平移变换和对称变换能保持图形上任何两点之间的距离不变。可以看成“保距”变换。

但是，翻折变换和伸缩变换不具有这一性质[2] 。

4．可逆性

每种形式的函数的图象变换都有它自己的变换意义，按照它的变换意义将一个函数y=f(x)的图象以变成另一个函数y=h(x)的图象，这是它的正向意义。而根据“相反意义”实施逆变换，将函数y=h(x)的图象变成函数y=f(x)的图象，这是它的逆向意义。函数的图象变换具有双向意义[3] 。

几点说明

1．图象变换的本质

函数图象变换的本质，是用图象的形式表示的函数，由一个函数变化到另一个函数。即新旧图象是两个函数。

2．图象变换体现的数学思想

函数图象变换的过程体现了由简单到复杂，特殊到一般的化归思想。

3．图象变换的基本元素

函数图象变换的基本元素是自变量“x”。解答有关图象变换的问题时，“确保x的系数是1”是避免出现错误的重要策略[3] 。

4.参考资料

[1]中学数学教师手册

[2]高中课程标准实验教科书数学

[3]高中数学教师教学用书

[4]高中数学函数

[5]高等数学手册

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