名师引领聚焦中考——碑林区董婉君初中数学“名师+”研修共同体暑期研讨活动

希望之星

为进一步提升碑林区教育科研水平，在碑林区教育局的领导及碑林进校的部署下，我区初中数学“名师+”研修共同体成员和种子教师，于2020年8月14日，在名师+研修共同体主持人董婉君老师的组织下开展了线上初中学业水平考试试题分析研讨活动，大家就陕西省2020年学业水平考试数学试题展开了深入的讨论和评析。 一、试题整体评价 2020年是中考考纲取消的第一年，今年的数学命题仍然坚持“立德树人、服务选才、引导教学”的核心立场，试题结构与往年保持一致，各题型所占的分值及分值分布没有变化，与往年相比较，题目的难易程度相当。但今年的数学试题返璞归真，删去了试题中的冗长背景，更注重考查考生的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，引导师生对数学核心素养的关注与落实。试题总体难度降低，适合大部分学生作答。1、试题整体较为稳定，但题位考点稳中求变。 例如，今年试题的第2、3、4、15、16题的考点和题型相较往年，在考查内容及形式略有微调，形式活泼、新颖，考察角度巧妙，但仍然考查学生基本的数学知识和基本技能，释放试卷结构或将调整的信号。2、试题关注数学与实际生活的联系，增强数学应用意识。 例如，第4、19、20、21、22、25均题以实际问题为背景，考查学生在新情境中运用数学知识解决实际问题的能力，关注学生“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”的能力。3、试题注重基础，淡化模型，重视创新，寻求突破。 例如，第14、25题打破以往最值计算和模型思想，从基础的知识出发，逐层拓展延伸，很好的考查了不同层次学生对知识掌握和应用能力，有助于推进课堂教学和中考备考的方向性，进一步落实新课标的理念，能够促进学生的数学学科核心素养的培养。 二、重点题位分析 本次研讨中，研修共同体成员对一些重点题位也有如下详细的分析：1、选择题分析： 今年的考题，在形式上兼顾数学基础知识点的同时，注重数学思维能力的考查，从不同角度考查学生的核心数学素养和灵活运用知识的能力，遵循了重基础，贯彻考试大纲的基本要求。 选择题注重考查基础知识，考点比较单一明确，相比较近几年，有如下变化：1）多年考查的几何体的三视图、平行线的性质和正比例函数的图象和性质被余角、科学计数法、分析图象获取信息计算温差所替代；2）整式运算的考查形式也发生发生改变，由四个式子判断运算正误以变为单独考查幂的积的幂的运算；3）别的题目变化不大，虽然考点发生改变，但替换来的这三个考点都很简单，没有难度，只要基础不是太差都能正确解答，这对考生来说其实是有利的。今年的中考试题与往年相比，题位设计稳中有变，灵活性更高了。正如学生所言，看起来比平时的练习题还简单，一做坑又比较多。4）选择第8题卡住了很多同学，分析能力较强的同学觉得有思路，就是计算复杂；有的同学好不容易算出CG=3，却忘了求差，选了C；还有一些自称“幸运”的同学找不到做题思路，索性用刻度尺“测量”，竟也得到了正确结果。学生的反应引起了我的兴趣，做了如下分析。 第8题网上盛传的解析：依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据梯形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．认为本题主要考查了平行四边形的性质以及梯形中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．但《课程标准》中并没有对梯形及中位线的要求，所以我认为本题另有考点。 首先，本题的逻辑思维是依据直角三角形斜边上中线的性质，得到EF的长，EF∥AB，联系E是边BC的中点，容易想到平行线分线段成比例，再由所求未知量DG，想到延长BC,AG构建相似三角形，求得CG的长，进而得出DG的长。所以本题不仅考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，还有对构建相似三角形解决简单问题的综合能力的考查。其中，学生对“平行线分线段成比例”这一基本事实的掌握，其与相似三角形这一知识体系的联系，以及如何利用相似三角形解决问题的综合考查浑然一体，学生对图形知识的整体认知程度，灵活运用的能力得到完整呈现，是一道不可多得的好题。 第8题再一次说明，复习时注重数学知识的形成过程，帮助学生建立知识之间的关系是我们不能忽视的重要环节，一味的补充诸如“梯形中位线”这样的课外知识，不仅增加学生的课业负担，更有买椟还珠之嫌。5）第10题作为选择题的压轴题，继续考查二次函数的图象与性质，是一个含参抛物线的问题，与往年比较风格一致，没有大的变化，主要考察学生对图形的平移，抛物线顶点坐标的求解方法，难度维持以往的水平，要求学生具有较强的概括，推理论证以及分析问题的能力，题目难度中等偏上。学生只要基本功扎实，基本不会丢分。2、填空题分析： 今年数学中考的填空题与往年比较没有太多变化，稳中求变，固本溯源。以14题为例：1）14题多以求最值为主，2017年和2018年是以四边形为载体求面积问题，而今年是以菱形为载体求线段的长度问题，但已知条件中又涉及到平分面积，与2017年中考试题25题第二问有着密切的联系。2）14题解法多样，这些解法都是常用求线段长度的方法---勾股定理、相似、三角函数等。所以在数学复习过程中要注意不同方法的探究，以达到拓展学生思维的目的。3、17题尺规作图分析 陕西中考尺规作图题从2015年以来都是围绕五种基本作图展开，今年最大的特点是考查到了三种基本作图，从不同角度分析可以得到不同的方法对应不同的作法，学生可操作性强，充分考查了学生最基本的分析问题解决问题的能力。 17题尺规作图学生分析之后容易想到以下三种作法：1.作一个角等于已知角；2.作线段的垂直平分线；3.过直线外一点作已知直线的垂线。 引用一名初一学生的做题感受：“我们刚学尺规作图，开始不会分析想套方法，后来掌握了画草图分析的方法之后，今年的中考题我竟然想到了两种方法。 4、19题统计题分析： 本题的考点有：用样本估计总体；平均数；中位数；众数。和往年相比，本题变化不大，难度也不大，属于送分题，但学生仍有很多易错点，依然是我们在平常教学中需要时时强调的内容。 首先是平均数，这是这道题最简单的一问，学生只要能看懂图便可列式计算，要求计算准确、带好单位、写好“答”即可。 其次是第一问的中位数和众数，这里有两个易错点。一个是需要带单位，一个是对中位数的理解。在平常的教学中会发现，仍有一些学生不能正确理解中位数，甚至会算成1,4,5,6,2,2这一批数据的中位数，究其原因，是没有正确认识需要研究的数据而出错，这一点我们应在初次教学时就倍加小心。 最后是第三问，题目已经指出用平均数来估计，因此使用第二问的数据即可（第二问计算的准确性更加重要了！），需要注意的是90%的存活率这一条件，部分学生审题不细致，导致漏看了这一条件而出错。在今后教学中应当鼓励学生圈出关键词，审题更仔细。5、23题分析 第23题主要考查了圆及特殊三角函数的应用，与2019年及以前陕西中考数学试题的考查内容、形式、难度基本保持一致。第一问3分，考查线线平行，利用切线的性质，圆心角和圆周角的性质及平行线的判定定理即可证明。 第一问在阅卷过程中考生主要出现了以下问题：1.未利用已知条件 ∠ABC=45°前提下，乱靠用定理条件，因果混乱的情况下错误方法证明了∠AOC=90°。2.书写格式不规范，例如辅助线不画、不描述，角的符号漏写，角的表示方法有误等等。第二问5分，有一定的综合性。考生答题方法多样，主要利用了特殊角的三角函数或两三角形相似的计算方法。阅卷过程中考生出现了半径计算错误、特殊三角函数值代入错误、数值化简不彻底等基本计算问题导致扣分。再者几何题中的因果关系的不完整，书写拖泥带水，重复赘述，貌似写了很多但找不出得分点等问题。通过对23题的阅卷，我觉得在平时课堂中需更加重视培养学生对定理理解的应用，帮助学生明确找出定理的因果关系，同时在平时的练习中要求学生找到解题方法后，加强对书写规范性的要求，做到简明扼要，快速规范，不拖泥带水。6、24题分析 第24题考查了二次函数与几何图形的综合应用——全等三角形存在性问题。第一问考查了抛物线解析式的求法，直接将点的坐标代入解析式得到关于b和c的二元一次方程组，解方程组即可，较为简单。第二问考查的是全等三角形的存在性问题，首先求出抛物线与坐标轴交点A、B、C的坐标，进而发现△AOC的特征为等腰直角三角形，△PDE为直角三角形。要使得2个三角形全等，根据判定定理SAS，只要保证直角边相等为3即可，因此可以先求出点P坐标（分类讨论：点P在对称轴的两侧），进而求出点E的坐标（分类讨论:点E在点D的上方和下方）；难度中等偏上。 整个题目体现了以函数学习的全过程为背景，整体把握函数学习的主线。学生在研究一个具体函数时，首先要分析函数表达式，对函数的性质进行初步的分析、猜想，在此基础上，通过对函数图象的分析，让学生从感性认识上升到理性认识，从而数形结合地解决问题，在寻找点的过程中还渗透了分类讨论的数学思想。试题给不同层次的学生以充分展示个人能力水平的空间，凸显了数学学科的特色，体现了几何直观和推理能力的数学素养。7、第25题压轴题分析： 第一问考查直角三角形中角平分线的性质，导出正方形，推出线段相等，较为简单； 第二问以半圆为背景，考查了圆弧与圆周角的关系、特殊角的三角函数，在求出AP和BP的长度后，利用等面积法或相似或角平分线定理求CF的长，难度中等； 第三问以圆为背景，考察几何图形的面积关系。第一小问通过同弧所对的圆周角相等，找出贯穿本题三问的“正方形”，为旋转和得到大三角形奠定基础，进而用含有x的代数式表示阴影面积；第二小问是在x给定的情况下，求四边形PEDF的面积，即PF的长，具体可以通过相似或者等面积法计算。第三问多次用到转化思想，有一定难度。 今年压轴题在延续之前风格，内容几何综合，方法一以贯之的基础上，弱化了模型思想，考察了函数思想，考察方式的改变对学生心理素质和应变能力有一定要求。压轴题的变化，突出了中考对基础知识、基本方法和关键能力的考察需求，需要我们在今后的复习备考中做到，轻模型意识、轻思维定势，重基础夯实、重方法引导。 总之，2020年中考数学试题难易适中，题型稳中求活，符合新课标“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念，突出数学核心素养和学生能力的考查，对初中数学教学具有很好的指导意义。 中学数学名师工作室主持人——董婉君 “名师+”研修共同体成员 种子教师