胡子健经典奥数：九宫格 幻方 数阵图

胡子健

九宫格

九宫格实际就是洛书图。其口诀为：

四二为肩，

八六为足，

左三右七，

带九屦一，

五居中央。

汉代徐岳《术数记遗》：“九宫算，五行参数，犹如循环。”北周甄鸾注曰：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”我们准此，即可得到《九宫算图》

492

357

816

四为东南方、九为正南方、二为西南方。

三为正东方、五为正中央、七为正西方。

八为东北方、一为正北方、六为西北方。

徐岳曰“九宫算，五行参数，犹如循环”，是因为古人赋予了一至九数的五行和方位属性。一、六为水，七、二为火，九、四为金，三、八为木，五为土。而且是水克火→火克金→金克木→木克土→土克水的五行相克循环。方位是：水数一居北，水数六居西北，火数七居西，火数二居西南，金数九居南，金数四居东南，木数三居东，木数八居东北，土数五居中央。

相传伏羲氏在得到天下后，从黄河中，跳出了一匹龙马，而其背上有一幅图，上面画有八卦，而此龙马则将这幅图，献给了伏羲氏，所以河图，又称之为黄河之图。至於洛书，则传说是，大禹在治水时，从水中出现了一只神龟，而在其背上，驮著一部书，内有九个数，其也将此书献给了大禹。据说这河图与洛书，隐含治天下的道理，从而使这二位圣贤，明白如何治理天下。

到了宋代，有人将「河图」与「洛书」，与所谓的「九宫」关联在一起。例如刘牧在《易书钓隐》中曾提到：河图就是「九宫」，而洛书是一种，由十个数所排列出的「天地生成数图」。不过，在理学极盛的朱熹时代，人们又把河图与洛书的说法颠到过来，认为洛书是一到九排例成纵、横、斜，各方向数字和皆为十五的数字魔阵，而河图则是一到五相加而成的数列，这并且也被后世的人，说成是中国数学魔阵奥秘的起源。而在卜筮、术数或风水学方面，河图与洛书，也经常成为其引用理论来源，因而可说是中国「五术」（山、医、命、相、卜）的根源。

在《射雕英雄传》中黄蓉曾破解九宫格，口诀：戴九履一，右三左七，二四为肩，六八为足。

还有口诀：“一居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框时向下放，右出框时向左放；排重便在下格填，右上排重一个样。” 这口诀不仅适用于九宫,也适用于推广的奇数九宫,如五五图,七七图等等.

九宫格：

2 9 4

7 5 3

6 1 8

另：

九宫格为数独的“前身”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。儒家典籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。

九宫格的做法：

1，中间数×3等于每一行，每一列，对角线的和。

2，中间行，中间列，对角线成等差数列。

3，弹弓法

九宫格口诀“大白话”讲解!

一居上行正中央,

依次斜填切莫忘；

上出框时向下放,

右出框时向左放；

排重便在下格填,

右上排重一个样.

胡子健经典奥数之幻方与数阵图

幻方与数阵图练习

三阶幻方的口诀是：

9子斜排   

上下对易   

左右相更                               

四维挺出

角块等于对角两棱快之和的一半

练习

1、用2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数编制三阶幻方，并求幻和。

2、2、用1、2、3、7、8、9、13、14、15这九个数数编制三阶幻方，并求幻和。

3、在幻方的空格中填入恰当的数，使幻和等于27.

4、在三阶幻方的空格内填入适当的数，使它成为一个三阶幻方。

5、将3、6、9、12、15这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。

6、将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个字之和等于20。

7、将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等

8、1～9这九个数分别填入右上图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法)

         

胡子健经典奥数之趣味数学—数阵图与幻方

知识框架

一、数阵图定义及分类：

定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.

数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.

二、解题方法：

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：

第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；

第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；

第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．

三、幻方起源：

幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：

我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．

四、幻方定义：

幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的的数阵称作三阶幻方，的数阵称作四阶幻方，的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，

。

五、解决这幻方常用的方法：

⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．

⑵适用于三阶幻方的三大法则有：

①求幻和：所有数的和÷行数（或列数）

②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．

③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．

六、数独简介：

数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。 

1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square）的游戏，这个游戏是一个n×n的数字方阵，每一行和每一列都是由不重复的n个数字或者字母组成的。　19世纪70年代，美国的一家数学逻辑游戏杂志《戴尔铅笔字谜和词语游戏》（Dell Puzzle Mαgαzines）开始刊登现在称为“数独”的这种游戏，当时人们称之为“数字拼图”（Number Place），在这个时候，9×9的81格数字游戏才开始成型。填充完整后1984年4月，在日本游戏杂志《字谜通讯Nikoil》（《パズル通信ニコリ》）上出现了“数独”游戏，提出了“独立的数字”的概念，意思就是“这个数字只能出现一次”或者“这个数字必须是唯一的”，并将这个游戏命名为“数独”（sudoku）。 

一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould）在1997年3月到日本东京旅游时，无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。从此，这个游戏开始风靡全球。后来更因数独的流行衍生了许多类似的数学智力拼图游戏，例如：数和、杀手数独。 

中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独. 2007年2月28日，北京晚报智力休闲数独俱乐部(数独联盟sudokufederation前身)在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式，会上谜题联合会秘书长皮特-里米斯特和俱乐部会长在证书上签字，这标志着北京晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合会的39个成员之一，这也标志着俱乐部走向国际舞台，它将给数独爱好者带来更多与世界数独爱好者们交流的机会。

七、解题技巧：

数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。

总结4个小技巧：

1、 巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而大小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要考虑大小关系的限制。

2、 相对不确定法：有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯定不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。举例说明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两者之中，A行其他位置不可能出现1或者2.

3、 相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。举例说明，A行中已经确定5个数字，还有4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其他单元我们知道A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，这个时候我们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4，我们就可以不用考虑A1，这样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进行确定。

4、 假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能进行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。举例说明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，这个时候我们就应该假设B3填入2，这样就可以确定A3填入3，B4填入1，然后以这个为基础进行推理。

例题练习

一、辐射型数阵图

【例 1】 把1991，1992，1993，1994，1995分别填入图2的5个方格中，使得横排的三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和。则中间方格中能填的数是____________。

【例 2】 请你把1～7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？

【例 3】 将 1～11 十一个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和相等。

二、封闭型数阵

【例 4】 把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入○中，使三角形各边上的数字和都是12。

【例 5】 把1～9九个数字，分别填入下图○中，使每边上四个数的和都是21。

三、复合型数阵图

【例 6】 右边的一排方格中，除、外，每个方格中的字都表示一个数(不同的字可以表示相同的数)，已知其中任何个连续方格中的数相加起来都为，则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=

【例 7】 如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数A与B的和是________。

【例 8】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

四、数阵图与数论

【例 9】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．

五、数独

【例 10】 在下图中的每个□填入一位适当的数字，使每一行、每一列、每一宫中包含数字1到4，并且每个数字只出现一次。

六、幻方

【例 11】 的正方形中，在每个格子里分别填入的个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法）．

【例 12】 在图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则N=。

作业练习

把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。

将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？

用11，13，15，17，19，21，23，25，

27编制成一个三阶幻方。