重温“希尔伯特旅馆”

孤帆飘影

希尔伯特旅馆

新型冠状肺炎病毒漫延全国，据报，抗击疫情的前沿武汉因确诊和疑似病患较多，隔离病房不够用，征集一些酒店和招待所建立隔离病房，由此我联想起那个传说中的希尔伯特旅馆。

特殊时期，响应政府号召，在家少出门，重温希尔伯特旅馆，对可数无限从量变到质变加深理解。

希尔伯特旅馆是一座虚拟的旅馆，有可数无限个房间，每个房间都按自然数的排序编号，每个房间仅可入住一位客人。

这天，一位旅行者来到旅馆，此时已客满，旅行者询问前台，可否安排入住，前台经理说可以，他是怎样安排客人入住呢？

前台经理重新安排原有的客人，让1号房间的客人挪到2号房间，让2号房间的客人挪到3号房间，让3号房间的客人挪到4号房间，让n号房间的客人挪到n+1号房间……，这样的结果是1号房间被腾空，安排新来的旅行者入住在1号房间。

你看，在可数有限房间的旅馆，客满后，无法安排新来客人入住，而在可数无限房间的旅馆，客满后，仍可安排新来客人入住，这是有限与无限的区别与不同。

刚安排好这位旅行者，又来了一个旅行团队，这个团队有可数无限个客人，领队问前台经理，能否安排入住，经理说可以，他是怎样安排这个团队入住呢？

经理让原来的所有客人搬出已住的房间，重新安排，让原住1号房间的客人入住2号房间，原住2号房间的客人入住4号房间，原住3号房间的客人入住6号房间，原住n号房间的客人入住2n号房间……致使原来的客人都住在偶数（双数）号房间，而所有奇数（单数）号房间被腾空，让新来的旅游团队可数无限个客人入住。

刚安排好这个团队，又来了一群客人，足足有10000个旅游团队，每个团队都有可数无限个客人，他们问前台经理，能否安排入住？经理答道，没问题，完全可以。

经理先让新来的10000个团队的领队为各自团队客人按自然数排序编号,又让已入住的客人腾出原先住宿的房间，重新安排，让原住1号房间的客人住在10001号房间，原住2号房间的客人入住20002号房间，原住3号房间的客人入住30003号房间，原住n号房间客人入住10001乘以n号房间……这样的结果，使每一个原住客的房间前面都有10000个空房间，再让新来的10000个旅游团队的所有1号客人入住在第一组10000个空房间，各团队的所有2号客人入住第二组10000个空房间，各团队的所有3号客人入住第3组10000个空房间，各团队的n号客人入住第n组10000个空房间，依次类推，所有客人就都有住宿的房间了。

前台的服务员见他们的部门经理井然有序地安顿好这么多来客,纷纷夸奖赞扬经理的智慧，前台经理内心洋洋得意，但表面上还保持着谦虚，说这有什么，很简单，不过是对客人进行了“分份”，前面来了一个旅游团队，原来的房客也可以看成一个团队，1加1等于2，就两个一份两个一份地“分份”，奇数号和偶数号房间，不过是两个一份的巧合，这次来10000个团队，加上原先的房客，10000加1等于10001，就按10001分份，如果再来1亿个团队，同样按1亿加1分份，没什么难的。

前台经理正说着，大堂外人声噪杂，又有客人来了，只是这次来了一大批客人，共有可数无限个团队，每个团队又有可数无限个客人，此时有一些客人涌进了大堂，纷纷询问前台经理，可否安排入住？

这时，前台经理有点不知所措，如果是可数有限个团队，他可用“分份”的方法使客人入住，即便是来了十亿个、百亿个团队，都会有一个具体的数字，他会用这个数字加上1去分份，可这次来的是可数无限个团队，没有具体的数字，无法分份，怎么办呢？他对问询的客人敷衍地说，请等一等，容我想想。

前台经理让前台服务员拿来纸笔，在一张纸上写写画画了一阵儿，然后语气坚定地告诉客人，可以安排入住。

前台经理让原先入住的所有客人都搬出房间，把他们也组成一个可数无限客人的团队，编为1号团队，与新来的可数无限个旅游团队合并,而新来的可数无限个旅游团队按顺序编为2号团队、3号团队、4号团队……

然后为这些可数无限个团队中的可数无限个客人编号，每个客人的编号由一个“整数对”组成，后面的数字是团队排序号，前面的数字是客人的排序号，中间用短斜线分隔。比如1号团队的1号客人编号为1/1，5号团队的9号客人编号为9/5，345号团队的876号客人编号为876/345，m号团队的n号客人就编成n/m，等等。

1号团队的客人依次编号为1/1，2/1，3/1，4/1……

2号团队的客人依次编号为1/2，2/2，3/2，4/2……

3号团队的客人依次编号为1/3，2/3，3/3，4/3……

4号团队的客人依次编号为1/4，2/4，3/4，4/4……

…………………………………………………………

这样做的结果是这些可数无限个团队中可数无限个客人，每个人都有唯一的一个编号。

随后，前台经理要求所有客人把他们编号中的两个数字相加，相加后出现的数字和，依照由小到大的顺序重新排队，就是这个样子：

相加后是2：1/1

相加后是3：2/1、1/2

相加后是4：3/1、2/2、1/3

相加后是5：4/1、3/2、2/3、1/4

相加后是6：5/1、4/2、3/3、2/4、1/5

………………………………………………

接着就可以按照这个次序安排房间了，让编号1/1的客人入住1号房间，编号2/1、1/2的客人入住2号、3号房间，让编号3/1、2/2、1/3的客人入住4号、5号、6号房间，等等，这样最终的结果是所有的客人都安排了房间，解决了住宿的问题。

可数无限个旅游团中可数无限个客人，都安置了房间，问题妥善解决了，但这个事例却引起新的思考。

我们回到前台经理写画的纸片。

1/1 2/1 3/1 4/1 …… n/1 ……

1/2 2/2 3/2 4/2 …… n/2 ……

1/3 2/3 3/3 4/3 …… n/3 ……

1/4 2/4 3/4 4/4 …… n/4 ……

…………………………………………

1/m 2/m 3/m 4/m …… n/m ……

…………………………………………

这是给客人的编号，排列成类似矩阵的行列式表格，每个客人的编号是整数对的形式，中间用短斜线分隔，这个短斜线仅是一个分隔符号。如果把这条短斜线，看作是分数线，那么每位客人的编号就是一个分数，编号变成了分数，并不影响上面安置房间的方法。

然而，这种安置客人的方法，恰好就是把一个可数无限的分数集合一一对应地放置到自然数集合中去，因任何分数q/p是有理数的表达，而自然数集合是有理数集合的真子集，也就是在可数无限的集合中，出现了部分等于全体的现象。

但上面这段话是有缺陷和漏洞的，因为这些分数不是有理数的全部，其中没有0，没有负数，一些分数不是最简分数，经约分后，会出现重复，因此共有3类缺陷，但这些缺陷属于技术性缺陷或称为操作性缺陷，可以通过改变客人编号进行弥补。

这里尝试重新给客人编号，团队编号作分母，客人编号作分子，客人由0开始按整数顺序编号，客人中有男有女，男客编为正数，女客变为负数，如果后面客人的编号经过约分化简与前面客人的编号重复，那么舍弃这个编号，由后续的编号递补。

现在开始依次编号，

0/1 1/1 2/1 3/1 …… -1/1 -2/1 -3/1 -4/1 ……

1/2 3/2 5/2 7/2 …… -1/2 -3/2 -5/2 -7/2 ……

1/3 2/3 4/3 5/3 …… -1/3 -2/3 -4/3 -5/3 ……

1/4 3/4 5/4 7/4 …… -1/4 -3/4 -5/4 -7/4 ……

1/5 2/5 3/5 4/5 …… -1/5 -2/5 -3/5 -4/5 ……

………………………………………………………………

这个重新排布的行列数表，就是完整的有理数集合。

依照前面分配房间的方法，将这些分数的绝对值分子与分母相加后的和由小至大排列

0/1

1/1、-1/1

2/1、1/2、-2/1、-1/2

3/1、1/3、-3/1、-1/3

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按照这个数表的次序，0/1号客人入住1号房间，1/1号、-1/1号客人入住2号、3号房间，2/1、1/2、-2/1、-1/2号的客人入住4、5、6、7号房间，依次安置……

由此，一个有理数集合填充到自然数集合中。

希尔伯特旅馆是德国著名数学家大卫·希尔伯特（1862-1943）在1924年的一次演讲中提出，表明有限与无限有着本质上的区别，揭示了可数无限集合的本质。

可数无限集合中，一定可以找到一个真子集，与全集一一对应。

如果一个集合中能够找到一个真子集，与全集一一对应，这个集合一定是可数无限集合。

在有限集合中，部分少于全体，这是个公理，也可以说是常识，但在无限集合中，有可能出现部分与全体相等的现象，这就是有限与无限本质的区别，量变引起质变。

希尔伯特旅馆不是为了解题，而是提供了数学文化和思想。

文字写于2020.02.04

照片取自网络

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