预备知识


只涉及初中知识:

  • 绝对值
  • 等差数列
  • 平方和公式
  • 函数
  • 二次求根

来龙去脉


元旦时,我随手出了一道迎新数学题,如下。


志定高远,求本溯源


我想探究更通用的结果,也就是题里的2020改成任意n,然后能有通项公式导出。


当然,可能不存在一般性的通项公式,但是需要证明。


头脑风暴


基于绝对值分段理论。该式子,若看成x的函数的话,那么函数特性是很清晰的: n个分界点(不可导点),n+1段直线/线段(一次函数,线性连续)。从而,其最小值仅可能在这n个分界点取得。


而真正最小值,当x确定后,令x取该值,基于绝对值几何含义做距离✖️权重的和,这里应该只是代数式的变换,应该是不难的了

初遇困阻


起初我认为应该都是在n这点取得最小值,但是借助计算机函数曲线分析,发现并非如此,而且似乎没有规律。


所以这里的难点就是如何得到最小值时x取值点的规律,然后进行严格数学证明

柳暗花明


正当一筹莫展时,看着函数曲线,我换了角度,结果是柳暗花明又一村。

从曲线中可见,虽然最小值点规律不明,但是似乎函数只存在一个“山谷”,也就是增减是分明的。从减开始,一直减到谷底后,就只会增,而不会再降了。

长剑出手


为了研究的严谨性,我们将更通用的问题用函数表示出来。

那么,我们就来研究增减性,从而看是否能得出谷底点。

好了,取值点得到了,那么计算最小值就简单了,基本是纯代数运算

锦囊妙计


好了,一切完毕,大功告成。我们重新汇总一下我们的所得,我称之为一个新的定理,后面可以直接拿来用。😃

小试牛刀


来验证一下我们定理的正确性,下图是几个不同式子的函数曲线,可以非常直观的看到在哪一点取得最小值以及最小值是多少。同时,可以用我的定理也来计算一下这两个值(最小值以及x的值),然后比较一下,是否正确。 哈哈,都是完全正确的。😃

不堪一击


好了,最后我们来打boss,解决我们出的问题本身。利用我的定理,瞬间可得当x=1429时,取得最小值 805312500