<h1><b><font color="#b04fbb">预备知识</font></b></h1><h3><br></h3><h3>只涉及初中知识：</h3><h3><ul><li>绝对值</li><li>等差数列</li><li>平方和公式</li><li>函数</li><li>二次求根</li></ul></h3> <h1><b><font color="#b04fbb">来龙去脉</font></b></h1><h3><br></h3><h3>元旦时，我随手出了一道迎新数学题，如下。</h3><h3><br></h3><h3></h3> <h1><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);"><b><font color="#b04fbb">志定高远，求本溯源</font></b></span></h1><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;"><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);"><br></span></h3><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;"><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);">我想探究更通用的结果，也就是题里的2020改成任意n，然后能有通项公式导出。</span></h3><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;"><br></h3><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;">当然，可能不存在一般性的通项公式，但是需要证明。</h3><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;"><br></h3><h1><b><font color="#b04fbb">头脑风暴</font></b></h1><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;"><br></h3><p style="text-align: left; white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;">基于绝对值分段理论。该式子，若看成x的函数的话，那么函数特性是很清晰的： n个分界点（不可导点），n+1段直线/线段（一次函数，线性连续）。从而，其最小值仅可能在这n个分界点取得。</h3><p style="text-align: left; white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;"><br></h3><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;">而真正最小值，当x确定后，令x取该值，基于绝对值几何含义做距离✖️权重的和，这里应该只是代数式的变换，应该是不难的了</h3> <h1><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);"><b><font color="#b04fbb">初遇困阻</font></b></span></h1><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;"><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);"><br></span></h3><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;"><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);">起初我认为应该都是在n这点取得最小值，但是借助计算机函数曲线分析，发现并非如此，而且似乎没有规律。</span></h3><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;"><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);"><br></span></h3><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;"><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);">所以这里的难点就是如何得到最小值时x</span><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);">取值点的规律，</span><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);">然后进行严格数学证明</span></h3> <h1><b><font color="#b04fbb">柳暗花明</font></b></h1><h3><br></h3><h3>正当一筹莫展时，看着函数曲线，我换了角度，结果是柳暗花明又一村。</h3> <h3>从曲线中可见，虽然最小值点规律不明，但是似乎函数只存在一个“山谷”，也就是增减是分明的。从减开始，一直减到谷底后，就只会增，而不会再降了。</h3> <h1><b><font color="#b04fbb">长剑出手</font></b></h1><h3><br></h3><h3>为了研究的严谨性，我们将更通用的问题用函数表示出来。</h3> <h3>那么，我们就来研究增减性，从而看是否能得出谷底点。</h3> <h3>好了，取值点得到了，那么计算最小值就简单了，基本是纯代数运算</h3> <h1><b><font color="#b04fbb">锦囊妙计</font></b></h1><h3><br></h3><h3>好了，一切完毕，大功告成。我们重新汇总一下我们的所得，我称之为一个新的定理，后面可以直接拿来用。😃</h3> <h1><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);"><b><font color="#b04fbb">小试牛刀</font></b></span></h1><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;"><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);"><br></span></h3><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;"><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);">来验证一下我们定理的正确性，下图是几个不同式子的函数曲线，可以非常直观的看到在哪一点取得最小值以及最小值是多少。同时，可以用我的定理也来计算一下这两个值（最小值以及x的值），然后比较一下，是否正确。 哈哈，都是完全正确的。😃</span></h3> <h1><b><font color="#b04fbb">不堪一击</font></b></h1><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;"><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);"><br></span></h3><p style="white-space: normal; -webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961); -webkit-text-size-adjust: auto;"><span style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(26, 26, 26, 0.301961);">好了，最后我们来打boss，解决我们出的问题本身。利用我的定理，瞬间可得当x=1429时，取得最小值 805312500</span><br></h3>